高一数学下学期周练4.doc

江苏省泰兴中学高一数学周末作业（4）2016/3/20
班级 姓名 学号 得分
一、填空题：（每小题5分）
1. 等差数列中，若，，则 .
2. 已知数列满足，()，则 .
3. 数列0.2，0.22，0.222，0.2222，…….的一个通项公式是 .
4. 在中，角所对的边分别为，若， ，
，则 ．
5. 在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．
6. 若，则化简为＿＿＿＿＿＿.
7. 已知的面积为，则角的度数为 .
8. 已知是第二象限角，且，则的值为 .
9. 已知数列的前n项和，则通项公式 .
10. ＝________.
11. 已知函数，数列满足（），
且 是递增数列，则实数的取值范围是_______ .
12．在△ABC中，、、分别是角A、B、C所对的边长，则：
① 若，则在R上是增函数；
②若，则△ABC为直角三角形；
③ 的最小值是；
④ 若，则；
⑤若，则，
其中错误命题的序号是
13. 已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则＝________．
14．在中，则的面积为 .
二、解答题：
15. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是，b，c，且b＝3，c＝1，
A＝2B. (1)求的值； (2)求sin的值．

16. 已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

17. 在中，内角所对的边分别是，已知.
⑴若，求的值；
⑵若角为锐角，设的周长为，试求函数的最大值.

18.如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

19．如图，已知圆O的半径为1，AD为圆O的一条不过圆心O的动弦，以弦AD为一条边向圆O外作正方形ABCD，连接OA，OC，OD，BD，设．
（1）将线段OC的长度表示为的函数，求的表达式并指出函数的定义域；
（2）求函数的值域；
（3）若，，求实数的值．

20. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列是公方差为（>0, >0）的等方差数列，求的通项公式；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列;
（3）设数列是首项为2，公方差为2正项等方差数列，试证明：．

江苏省泰兴中学高一数学周末作业（4）答案
一、填空题：
1.9 2.55 3. 4. 5.1
6. 7． 8.7 9.
10. －4. 11. 2<a<3 12．③⑤ 13.
14．
解析：（构造角）
在边BC上取点D，使BD=AD=x，则CD=x，在
中，，

二、解答题：
15.解：(1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin B·cos B.
由正、余弦定理得a＝2b·.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，所以a＝2.
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－.
由于0<A<π，所以sin A＝＝＝.
故sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝.

16.解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋×cos＋
＝sin＋.
(1)∵m·n＝1，∴sin＝，
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)·cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，
∴cos B＝，B＝. ∴0<A<. ∴<＋<， <sin<1.
又∵f(x)＝m·n＝sin＋，
∴f(A)＝sin＋，
故1<f(A)<.
故函数f(A)的取值范围是.

17.解：⑴

当时，
同理：当时，…
⑵
由得，

当且仅当时，

18.
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则
则BC=4，由已知得
在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：
在△ABE中，由余弦定理得：

所以船速 答：该船的速度为 km/h

H

19．解：（1）过点O作于H，
则，
在中，由余弦定理得：

所以，定义域为． …… 6分
（2）因为，所以，则
所以的值域为． …… 11分
（3）易知，
，
所以．

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