角平分线的性质与判定.ppt

角平分线的性质与判定 什么是角的平分什么是角的平分线？怎？怎样画一画一个角的平分个角的平分线？操作与思考1：BOAC信不信由你信不信由你如如图，ABAD，BCDC，沿着，沿着AC画一条射画一条射线AE，AE就是就是BAC的角平分的角平分线，你知道，你知道为什么什么吗？DCBAE分分别以，以，为圆心大于心大于 的的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的的内部交于内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以以为圆心，适当心，适当长为半径作弧，交于，半径作弧，交于，交于交于作射作射线OC则射射线即即为所求所求探究 探索1将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论OABAOBED角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边的距离相等。边的距离相等。在在AOB的平分的平分线OC上上任取一点任取一点P，然后，作，然后，作点点P到到AOB两两边的垂的垂线段段PD、PE，画一画，画一画，量一量，从中你有什么量一量，从中你有什么新新发现？你能？你能说明其中明其中的道理的道理吗？BOACDPE画一画,想一想,议一议命命题：在角平分：在角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离相等的距离相等题设：一个点在一个角的平分：一个点在一个角的平分线上上结论：它到角的两：它到角的两边的距离相等的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分的平分线，点，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分，垂足分别是是D、E.求求证：PD=PE.AOBPED角平分角平分线的性的性质定理：在角平分定理：在角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离相等的距离相等用符号用符号语言表示言表示为：AOBPED121=2 PD OA，PE OB PD=PE.随堂练习随堂练习BOACDPE1.如如图，OC是是 AOB的平分的平分线，PD=PEPD OA，PE OB2.2.如如图所示，在所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分的平分线交交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，则点点D到到AB的距离的距离为_。动脑筋动脑筋3.在在Rt ABC中，中，BD平分平分ABC，DE AB于于E，则：图中相等的中相等的线段有哪些？相等的角段有哪些？相等的角呢？呢？哪条哪条线段与段与DE相等？相等？为什么？什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的的长和和AED的周的周长。EDCBA练一练3在在ABC中，中，AC BC，AD为BAC的平分的平分线，DE AB，AB7，AC3，求，求BE的的长。EDCBA 4.ABC4.ABC中中,C=90,C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB,且且BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求点求点D D到到ABAB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE（点（点D D到到ABAB的距离是的距离是3）如如图，由，由 于点于点 D，于点于点 E，PD=PE，可以得到什么可以得到什么结论？OBPE PD OA议一议 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。已知：如已知：如图，垂足分，垂足分别是是 A、B，PD=PE，求求证：点：点P在在 的角平分的角平分线上上。BADOPE 到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点 在角在角的平分线上。的平分线上。已知：如已知：如图，垂足分垂足分别是是 D、E，PD=PE，求求证：点：点P在在 的角平分的角平分线上上。证明：作射线OP 点点P在在 角的平分角的平分线上上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（HL）（全等三角形的对应角相等）OP =OP（公共边公共边）PD =PE （已已 知知 ）角平分线角平分线的判定的判定BADOPE角平分线的判定角平分线的判定的的应用用书写格式：写格式：OP 是是 的平分的平分线PD=PE （到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）DEOPAB角平分角平分线的性的性质：在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。角平分角平分线的判定的判定到一个角的两边的距离相等的到一个角的两边的距离相等的点，点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。BADOPECPD=PEOP 是是 的平分的平分线OP 是是 的平分的平分线PD=PE用途：用途：证线段相等段相等用途：判定一条射用途：判定一条射线是角平分是角平分线例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且且BEBECFCF。求证：。求证：ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线。A AB BC CE EF FD D4.已知：如已知：如图，C=C=90，AC=AC .求求证（1）ABC=ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不用三角形全等的判定）用三角形全等的判定）BCAC5 5已知：如图，已知：如图，BEBEACAC于于E E，CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD，BD=CD BD=CD。求证：求证：ADAD平分平分BAC BAC。ABCFED课堂练习课堂练习例例 已知：如已知：如图，ABC的角平分的角平分线BM、CN相相 交于交于点点P.求求证：点：点P到三到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：明：过点点P作作PD、PE、PF分分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足，垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分的角平分线，点，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分在角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离相等）的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：如如图，三条公路相交，三条公路相交，现在要修建一加在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站加油站该选在什么位置上？在什么位置上？拓展与延伸1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知、已知PA=PB，1+2=1800，求求证：OP平分平分AOBAOBP12EF 3 已知：如已知：如图，ABC的的B的外角的平分的外角的平分线BD和和C的外角平的外角平分分线CE相交于点相交于点P。求求证：点：点P在在BAC的的平分平分线上。上。CA B P DE课堂小堂小结 1.角平分角平分线的性的性质定理：定理：在角平分在角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离相等的距离相等 2.角平分角平分线的判定的判定定理定理:到一个角的两到一个角的两边的距离相等的点，在的距离相等的点，在这个角平分个角平分线上。上。3.角平分角平分线的性的性质定理和角平分定理和角平分线的判定的判定定定理是理是证明角相等、明角相等、线段相等的新途径段相等的新途径.谢谢！资料整理仅供参考,用药方面谨遵医嘱