高考数学一轮总复习不等式推理与证明二元一次不等式组及简单的线性规划问题模拟演练理.doc

2023版高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.3 二元一次不等式(组)及简朴的线性规划问题模拟演练 理
[A级　基础达标](时间：40分钟)
1．[2023·北京高考]若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)
A．0 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z过点A(1,2)时，z最大，zmax＝4.故选C.

2．设关于x，y的不等式组表达的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　图中阴影部分表达可行域，规定可行域内包含y＝x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝x－1下方，也就是m<－m－1，即m<－.故选C.

3．已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D

解析　画出线性约束条件
的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目的函数z＝2x＋y过点(m，m)时有最小值，zmin＝3m；过点(1,1)时有最大值，zmax＝3，由于z的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m，即m＝.
4．[2023·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)
A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
答案　B

解析　设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件
下，
求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．运用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值．故选B.
5．变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　)
A．{－3,0} B．{3，－1} C．{0,1} D．{－3,0,1}
答案　B

解析　作出不等式组所表达的平面区域，如图所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，
∴a＝－1或a＝3.
6．[2023·安徽高考]不等式组表达的平面区域的面积为________．
答案　4
解析　作出不等式组表达的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.

7．[2023·厦门模拟]设变量x，y满足约束条件则目的函数z＝x＋2y的最小值为________．
答案　3
解析　画出不等式组所拟定的可行域(如图阴影部分)．

由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，作直线l：y＝－x，平移l，由图形可知当l通过可行域中的点A(1，1)时，z取最小值，所以zmin＝1＋2×1＝3.
8．[2023·辽宁模拟]设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为________．
答案　55

解析　不等式组表达的区域如图所示，令z＝2x＋3y，目的函数变为y＝－x＋，因此截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y通过点A时，z最大，由于⇒故点A的坐标为(5,15)，代入z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值为55.

9．当x，y满足约束条件
(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．
解　在平面直角坐标系中画出不等式组所表达的平面区域(如图所示)．

当直线y＝－x＋z通过区域中的点A时，截距最大．
由
得x＝y＝－.
∴点A的坐标为，
则z的最大值为－＋3＝－k，
令－＝12，得k＝－9.
∴所求实数k的值为－9.
10．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

解　由约束条件

作出(x，y)的可行域如图所示．
由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)由于z＝＝，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观测图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝，所以2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.所以16≤z≤64.
[B级　知能提高](时间：20分钟)
11．设x，y满足约束条件则下列不等式恒成立的是(　　)
A．x≥3 B．y≥4
C．x＋2y－8≥0 D．2x－y＋1≥0
答案　C
解析　不等式组表达的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x≥2，y≥3，A、B错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x－y＋1≥0，D错误；设z＝x＋2y，y＝－x＋z，由图象可知当其通过点(2,3)时，z取得最小值8.

12．[2023·太原模拟]设不等式组所表达的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象通过区域M，则实数k的取值范围是(　　)
A．[3,5] B．[－1,1] C．[－1,3] D.
答案　D

解析　画出不等式组
，所表达的平面区域M，如图中阴影部分所示，函数y＝k(x＋1)＋1的图象表达一条通过定点P(－1,1)的直线，当直线通过区域M内的点A(0,2)时斜率最大，为1，当直线通过区域M内的点B(1,0)时斜率最小，为－，故实数k的取值范围是，选D.
13．[2023·山西质检]若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．
答案　[－2,2]
解析　作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，通过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，通过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．

14．[2023·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种重要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表达计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的利润？并求出此最大利润．

解　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表达的平面区域为图1中的阴影部分：

(2)设利润为z万元，则目的函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又由于x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y通过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．