高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练34二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析北师大版.doc

考点规范练34　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
　考点规范练B册第21页　 
基础巩固组
1.如果点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为(　　)

A.2 B.1 C.3 D.0
答案:B
解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,
即(b-2)<0,解得<b<2,
则b应取的整数为1.
2.(2015北京,理2)若x,y满足则z=x+2y的最大值为(　　)
A.0 B.1 C. D.2
答案:D
解析:根据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.

目标函数z=x+2y,即y=-x+.由图可知当直线y=-x+过点B(0,1)时,z取最大值,且zmax=0+2×1=2.
3.

给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(　　)
A. B.
C.2 D.
答案:B
解析:直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.
∵kAC=-,∴-a=-,即a=.
4.(2015广东,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为(　　)
A.4 B. C.6 D.〚导学号92950502〛
答案:B
解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-x+.

指的是直线y=-x+在y轴上的截距,
根据图形可知当直线y=-x+通过点A时,可使取得最小值,即z取得最小值.
易知点A的坐标为,
所以zmin=3×1+2×.
5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是(　　)
A.(1-,2) B.(0,2)
C.(-1,2) D.(0,1+)
答案:A
解析:由顶点C在第一象限且与A,B构成正三角形可求得点C坐标为(1+,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,综合可知z的取值范围为(1-,2).
6.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)
A.或-1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.

(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.
7.(2015太原高三模拟)已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为(　　)
A.10 B.12 C.14 D.15
答案:A
解析:画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由解得x=2,y=4-c,
代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.
由得B(3,1).
当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.故选A.

8.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为(　　)
A.5 B.29 C.37 D.49
答案:C
解析:由题意,画出可行域Ω,圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,所以b=1.

所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a∈[-2,6].
所以a2+b2=a2+1∈[1,37],
所以a2+b2的最大值为37.故选C.
9.设x,y满足约束条件则z=x-2y的取值范围为　　　　　　　　　　. 
答案:[-3,3]
解析:作出不等式组的可行域,如图中阴影部分,作直线l0:x-2y=0,在可行域内平移至点A时,z=x-2y取得最大值,过点B时,z=x-2y取得最小值.

由得B点坐标为(1,2),
由得A点坐标为(3,0).
∴zmax=3-2×0=3,zmin=1-2×2=-3.
∴z∈[-3,3].
10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是　　　　　　　　. 
答案:
解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.

由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=.
11.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.
解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,则z=300x+400y,
在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,

当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,
即该公司可获得的最大利润是2 800元.〚导学号92950503〛
能力提升组
12.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(　　)
A.-3 B.1 C. D.3〚导学号92950504〛
答案:B
解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.

由解得则A(2,0).
由解得
则B(1-m,1+m).
同理C,M(-2m,0).
因为S△ABC=S△ABM-S△ACM
=·(2+2m)·,
由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).
13.(2015吉林通化一模)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为　. 
答案:1
解析:∵=1+,
而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,
∴可作出可行域,由题意知的最小值是,
即⇒a=1.

14.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　.〚导学号92950506〛 
答案:
解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y,即y=-ax+z.

作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在A(1,0),B(2,1),C处取得.
故由1≤z≤4恒成立,可得
解得1≤a≤.
15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为　　　　　.〚导学号92950507〛 
答案:2
解析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为l:y=-x+.由已知,得-<0,且纵截距最大时,z取到最大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最大值,即2a+4b=8,又a>0,b>0,由基本不等式,得2a+4b=8≥4,即ab≤2(当且仅当2a=4b=4,即a=2,b=1时取“=”),故ab的最大值为2.

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