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第七章 不 等 式 考纲链接 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 3．二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0) (1)了解基本不等式的证明过程． (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
§7.1 不等关系与不等式
1．两个实数大小的比较 (1)a＞b⇔a－b________； (2)a＝b⇔a－b________； (3)a＜b⇔a－b________. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔__________； (2)传递性：a>b，b>c⇒__________； (3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c； (4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________， 不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________； (5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________； ※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d； (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________； ※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd； ※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b； (10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________； (11)不等式的开方：a>b>0⇒______________． ※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．
自查自纠： 1．＞0 ＝0 ＜0 2．(1)b<a (2)a>c (3)> (4)ac>bc ac<bc (5)a＋c>b＋d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N且n≥2) (11)na>nb(n∈N且n≥2)
(2014•山东)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x2＋1＞1y2＋1 B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sinx＞siny D．x3＞y3 解：根据指数函数的性质得x＞y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．故选D. (2015•烟台模拟)设a，b∈(－∞，0)，则“a>b”是“a－1a>b－1b”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：∵a－1a－b－1b＝(a－b)1＋1ab，又1＋1ab>0，若a>b，则(a－b)1＋1ab>0，∴a－1a>b－1b成立；反之，若(a－b)1＋1ab>0，则a>b成立．故选C. 已知a＞0，b＞0，则aabb与abba的大小关系为( ) A．aabb≥abba B．aabb＜abba C．aabb≤abba D．与a，b的大小有关 解：不妨设a≥b＞0，则ab≥1，a－b≥0.aabbabba＝aba－b≥1，即aabb≥abba.同理当b＞a＞0时，亦有aabb≥abba.故选A. 已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是a b. 解：由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2－b2＝28－14－83＝14－83＝874－3＞0，从而a＞b.故填＞. (2015•济南模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的是________(填序号)． 解：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)， ∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确． 故填②③④.
类型一 建立不等关系 (2015•湖北)设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1得1≤t<2，由[t2]＝2得2≤t2<3，由[t4]＝4得4≤t4<5，所以2≤t2<5，由[t3]＝3得3≤t3<4，所以6≤t5<45，由[t5]＝5得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.故选B.
点拨： 解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x]表示不超过x的最大整数，故由[x]＝k，可得k≤x<k＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n的最大值．
用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计) 解：假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k，有47＋47k＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k2，此时应有47＋47k＋47k2，有47＋47k＋47k2≥1. 所以可从中提炼出一个不等式组：47＋47k＜1，47＋47k＋47k2≥1. 类型二 不等式的性质 已知下列三个不等式①ab＞0；②ca＞db；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？ 解：(1)对②变形ca＞db⇔bc－adab＞0，由ab＞0，bc＞ad得②成立，∴①③⇒②. (2)若ab＞0，bc－adab＞0，则bc＞ad，∴①②⇒③. (3)若bc＞ad，bc－adab＞0，则ab＞0，∴②③⇒①. 综上所述可组成3个正确命题．
点拨： 运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0，c＜0三个方面讨论．
(2014•四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.ac＞bd B.ac＜bd C.ad＞bc D.ad＜bc 解：由c＜d＜0⇒－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－ad＞－bc＞0，所以ad＜bc.故选D. 类型三 不等式性质的应用 (1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________． 解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是－32，112.故填－32，112.
点拨： ①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和－4＜β＜2两式相减来得到α2－β的范围．②此类题目用线性规划也可解．
(2)已知－1＜a＋b＜3且2＜a－b＜4，则2a＋3b的取值范围是________． 解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴x＋y＝2，x－y＝3.解得x＝52，y＝－12. ∴－52＜52(a＋b)＜152，－2＜－12(a－b)＜－1. ∴－92＜52(a＋b)－12(a－b)＜132， 即－92＜2a＋3b＜132.故填－92，132.
点拨： 由于a＋b，a－b的范围已知，所以要求2a＋3b的取值范围，只需将2a＋3b用已知量a＋b，a－b表示出来，可设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解．
(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 解：∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2，而α＜β，∴－π＜α－β＜0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈－3π2，π2.故填－3π2，π2.
(2)设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围为________． 解法一：由已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4.①② f(－2)＝4a－2b. 设4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)(m，n为待定系数)， 即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b， 于是得m＋n＝4，m－n＝2.解得m＝3，n＝1. 由①×3＋②×1得5≤4a－2b≤10，即5≤f(－2)≤10. 解法二：由a－b＝f（－1），a＋b＝f（1）得 a＝12[f（1）＋f（－1）]，b＝12[f（1）－f（－1）]. ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，后面同解法一． 故填[5，10]． 类型四 比较大小 实数b＞a＞0，实数m＞0，比较a＋mb＋m与ab的大小，则a＋mb＋m________ab. 解法一：(作差比较)： a＋mb＋m－ab＝b（a＋m）－a（b＋m）b（b＋m）＝m（b－a）b（b＋m）， ∵b＞a＞0，m＞0，∴m（b－a）b（b＋m）＞0，∴a＋mb＋m＞ab. 解法二(作商比较)：∵b＞a＞0，m＞0， ∴bm＞am⇒ab＋bm＞ab＋am＞0， ∴ab＋bmab＋am＞1，即a＋mb＋m•ba＞1⇒a＋mb＋m＞ab.故填＞.
点拨： 本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
(2015•福建月考)已知a，b，c∈R＋，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小，则an＋bn________cn. 解：∵a，b，c∈R＋，∴an，bn，cn>0，而an＋bncn＝acn＋bcn.∵a2＋b2＝c2，∴ac2＋bc2＝1，∴0<ac<1，0<bc<1.当n∈N，n>2时，acn<ac2，bcn<bc2，∴an＋bncn＝acn＋bcn<a2＋b2c2＝1，∴an＋bn<cn.故填＜.
1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础． 2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件． 3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础． 4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围． 5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系． 6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．
1．(2015•厦门模拟) “a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( ) A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件 解：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．故选D. 2．已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb＋abn－an＋1－bn＋1的正负情况为 ( ) A．恒为正 B．恒为负 C．与n的奇偶性有关 D．与a，b的大小有关 解：anb＋abn－an＋1－bn＋1＝an(b－a)＋bn(a－b) ＝－(a－b)(an－bn)， 因为(a－b)与(an－bn)同号，所以anb＋abn－an＋1－bn＋1<0恒成立．故选B. 3．(2015•云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0 C．ac>bc D.c2a－b>0 解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b－c可能成立；B项：a>b⇒a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a－b＝0.故选B. 4．(2014•湖南)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(�q)；④(�p)∨q中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解：当x＞y时，两边乘以－1可得－x＜－y，∴命题p为真命题；当x＝1，y＝－2时，显然x2＜y2，∴命题q为假命题，∴②③为真命题．故选C. 5．(2014•浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( ) A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9 解：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c，消去c得3a－b＝7，5a－b＝19， 解得a＝6，b＝11，于是0＜c－6≤3，即6＜c≤9.故选C. 6．如果0＜m＜b＜a，则( ) A．cosb＋ma＋m＜cosba＜cosb－ma－m B．cosba＜cosb－ma－m＜cosb＋ma＋m C．cosb－ma－m＜cosba＜cosb＋ma＋m D．cosb＋ma＋m＜cosb－ma－m＜cosba 解：作商比较：b＋ma＋m÷ba＝ab＋amab＋bm＞1，所以1＞b＋ma＋m＞ba＞0，同理，0＜b－ma－m＜ba＜1，∴1＞b＋ma＋m＞ba＞b－ma－m＞0.而y＝cosx在0，π2上单调递减，所以cosb＋ma＋m＜cosba＜cosb－ma－m(也可取特殊值判断)．故选A. 7．(2015•江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则a，b，c的大小关系为________． 解：∵e＜10，∴lge＜lg10＝12，∴(lge)2＜12•lge＝lge，即b＜c.又∵e＜e，∴lge＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a. 8．(2015•安徽模拟)定义a*b＝a，a＜b，b，a≥b. 已知a＝30.3，b＝0.33，c＝log30.3，则(a*b)*c＝________．(结果用a，b，c表示) 解：∵log30.3<0<0.33<1<30.3，∴c<b<a，∴(a*b)*c＝b*c＝c.故填c. 9．设实数a，b，c满足 ①b＋c＝6－4a＋3a2， ②c－b＝4－4a＋a2. 试确定a，b，c的大小关系． 解：∵c－b＝(a－2)2≥0，∴c≥b， 又2b＝2＋2a2，∴b＝1＋a2， ∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34＞0， ∴b＞a，从而c≥b＞a. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人． (1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元． 则y＝1 000＋30x800＋ax(a∈N*，1≤x≤10)． 假设会超过1.5万元，则当a＝10时有1 000＋30x800＋10x＞1.5，解得x＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元． (2)设1≤x1＜x2≤10，y＝f(x)＝1 000＋30x800＋ax， 则f(x2)－f(x1)＝1 000＋30x2800＋ax2－1 000＋30x1800＋ax1 ＝（30×800－1 000a）（x2－x1）（800＋ax2）（800＋ax1）＞0， 所以30×800－1 000a＞0，得a＜24. 所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 11．(2015•云南模拟改编)已知a＋b＋c＝0，且a>b>c，求ca的取值范围． 解：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．又a>b>c， ∴a>－(a＋c)>c，且3a＞a＋b＋c＝0＞3c， 则a>0，c<0，∴1>－a＋ca＞ca， 即1＞－1－ca＞ca，∴2ca＜－1，ca＞－2， 解得－2＜ca＜－12. 故ca的取值范围是－2，－12. 设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①ca>cb；②ac<bc；③logba－c>logab－c. 其中所有正确结论的序号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解：①∵a>b>1，∴0<1a<1b<1，又c<0，∴ca>cb，①正确；②由于a>b>1，可设f(x)＝ax，g(x)＝bx，当x＝c＜0时，根据指数函数的性质，得ac<bc，②正确；③∵a＞b＞1，c＜0，即a－c＞b－c＞1，∴loga(a－c)＞loga(b－c)，又由对数函数的性质知logb(a－c)＞loga(a－c)，∴logb(a－c)＞loga(b－c)，③正确．故选D.
§7.2 一元二次不等式及其解法
1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是； (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的； (3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示． 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集． (4)一元二次不等式的解：
函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－b2a 无实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ① ② R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ③ 4.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式． (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x）g（x）＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0； f（x）g（x）＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0； f（x）g（x）≥0 ⇔ f（x）g（x）≥0，g（x）≠0； f（x）g（x）≤0 ⇔ f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.
自查自纠： 1．(1)同解不等式 (2)同解变形 2.x|x＞ba x|x＜ba a＝0，b＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①xx＜x1或x＞x2 ②xx≠－b2a ③∅
(2014•课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] B．[－1，2) C．[－1，1] D．[1，2) 解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．故选A. 设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( ) A．{x|x∈R} B．{x|x≠1，x∈R} C．{x|x≥1} D．{x|x≤1} 解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b， 由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b， 解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0， x的取值范围是x≠1.故选B. 已知－12<1x<2，则x的取值范围是( ) A．(－2，0)∪0，12 B.－12，2 C.－∞，－12∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪12，＋∞ 解：当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2. 所以x的取值范围是x<－2或x>12，故选D. 不等式2x2－x<4的解集为____________． 解：由2x2－x<4得x2－x<2，解得－1<x<2，即不等式2x2－x<4的解集为{x|－1<x<2}． 故填{x|－1<x<2}． (2014•武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 解：显然k≠0.则2k＜0，Δ＜0， 解得k∈(－3，0)．故填(－3，0)．
类型一 一元一次不等式的解法 已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为－∞，－13，则关于x的不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集为________． 解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集为－∞，－13， 得a＋b＞0，且3b－2aa＋b＝－13， 从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0， 将a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0， 得－bx－3b＞0，x＜－3，故填{x|x＜－3}．
点拨： 一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．挖掘隐含条件a＋b＞0且3b－2aa＋b＝－13是解本题的关键．
解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2. 解：(1)当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时， ①当m＝－2时，原不等式的解集为∅， ②当m＝2时，原不等式的解集为R. (2)当m2－4＞0，即m＜－2或m＞2时，x＜1m－2. (3)当m2－4＜0，即－2＜m＜2时，x＞1m－2. 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0. 解：(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4. 而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}． (2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1. 而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}． (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1. 而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅. (4)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R.
点拨： 解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
(2015•贵州模拟)关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是________． 解：原不等式可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5；当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]． 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 (2015•贵州模拟)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为( ) A.xx<－1或x>12 B.x|－1<x<12 C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0. 由韦达定理得－1＋2＝－ba，（－1）×2＝2a⇒a＝－1，b＝1. ∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0. 解得－1＜x＜12.故选B.
点拨： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式cx2－bx＋a＞0的解集为________． 解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}， ∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－ba＝2＋3，ca＝2×3，a＜0. 即b＝－5a，c＝6a，a＜0. 代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0)． 即6x2＋5x＋1＜0，解得－12＜x＜－13. 故填x|－12＜x＜－13. 类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0. 解：(1)当m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}； (2)当m≠0时，不等式为mx－1m(x－1)＜0. ①当m＜0，不等式为x－1m(x－1)＞0， ∵1m＜1，∴不等式的解集为x|x＜1m或x＞1. ②当m＞0，不等式为x－1m(x－1)＜0. (Ⅰ)若1m＜1，即m＞1时， 不等式的解集为x|1m＜x＜1； (Ⅱ)若1m＞1，即0＜m＜1时， 不等式的解集为x|1＜x＜1m； (Ⅲ)若1m＝1，即m＝1时，不等式的解集为∅.
点拨： 当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论．
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，解集为(－∞，－1]． 当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，2a， 所以当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪2a，＋∞； 当－2＜a＜0时，解集为2a，－1； 当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，解集为－1，2a. 类型五 分式不等式的解法 (1)不等式x－12x＋1≤1的解集为________． 解：x－12x＋1≤1 ⇔ x－12x＋1－1≤0 ⇔ －x－22x＋1≤0 ⇔ x＋22x＋1≥0. 解法一：x＋22x＋1≥0 ⇔（x＋2）（2x＋1）≥0，2x＋1≠0. 得{xx＞－12或x≤－2}． 解法二：x＋22x＋1≥0 ⇔x＋2≥0，2x＋1＞0 或 x＋2≤0，2x＋1＜0. 得{x|x＞－12或x≤－2}． 故填{x|x＞－12或x≤－2}．
(2)不等式x－2x2＋3x＋2＞0的解集为． 解：x－2x2＋3x＋2＞0⇔x－2（x＋2）（x＋1）＞0⇔ (x－2)(x＋2)(x＋1)＞0， 数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}．
点拨： 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．
(1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}， B＝x|x－2x≤0，则A∩B＝( ) A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组x（x－2）≤0，x≠0 的解集，求出B＝x|0＜x≤2，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选B.
(2)不等式x－12x＋1≤0的解集为( ) A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x－12x＋1≤0⇔（x－1）（2x＋1）≤0，2x＋1≠0 得－12<x ≤1.故选A. 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则实数a的最小值为( ) A．0 B．－2 C．－52 D．－3 解法一：不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈0，12， ∴a≥－x＋1x.∵f(x)＝x＋1x在0，12上是减函数， ∴－x－1xmax＝－52.∴a≥－52. 解法二：令f(x)＝x2＋ax＋1，对称轴为x＝－a2. ①－a2≤0，f（0）≥0 ⇒a≥0.(如图1) ②0＜－a2＜12，f－a2≥0⇒－1＜a＜0.(如图2) ③－a2≥12，f12≥0 ⇒－52≤a≤－1.(如图3) 图1 图2 图3 综上 ①②③，a≥－52.故选C.
(2)已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( ) A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2 解：记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]， 依题意，只须g（1）＞0，g（－1）＞0⇒x2－3x＋2＞0，x2－5x＋6＞0⇒x＜1或x＞3，故选B.
点拨： (1)一元二次不等式恒成立问题，对于x变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a＞f(x)(a＜f(x))型恒成立问题，再利用a＞f(x)max(a＜f(x)min)，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围．
(1)(2015•甘肃模拟)若不等式a•4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 解：不等式可变形为a>2x－14x＝12x－14x，令12x＝t，则t>0.∴y＝12x－14x＝t－t2＝－t－122＋14，因此当t＝12时，y取最大值14，故实数a的取值范围是a>14.故填14，＋∞.
(2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________． 解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有：f（－2）＞0，f（2）＞0， 即x2－4x＋3＞0，x2－1＞0， 解得x＞3或x＜1，x＞1或x＜－1. ∴x＜－1或x＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 类型七 二次方程根的讨论 若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1) D．[0，1) 解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，则f(0)•f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1. 解法二：当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.
点拨： 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．
(2015•贵州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为________． 解：根据题意有f(－2)f(－1)<0， ∴(6a＋5)(2a＋3)<0.∴－32<a<－56. 又a∈Z，∴a＝－1.检验知合要求． 不等式f(x)>1即为－x2－x＋1>1，解得－1<x<0. ∴故填{x|－1＜x＜0}． 类型八 一元二次不等式的应用 (2013•上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是1005x＋1－3x元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解：(1)根据题意，2005x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. (2)设利润为y元，则y＝900x•1005x＋1－3x＝9×104－3x2＋1x＋5＝9×104－31x－162＋6112. 故x＝6时，ymax＝457 500元．
点拨： 和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．
(2015•河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围． 解： (1)由题意得y＝1001－x10•1001＋850x. ∵售价不能低于成本价，∴1001－x10－80≥0. ∴y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]． (2)由题意得20(10－x)(50
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