2017高考数学一轮考点训练不等式带答案.docx

第七章不等式 考纲链接 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 2一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 4基本不等式：abab2(a0，b0) (1)了解基本不等式的证明过程 (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题7.1不等关系与不等式1两个实数大小的比较 (1)abab_； (2)abab_； (3)abab_. 2不等式的性质 (1)对称性：ab_； (2)传递性：ab，bc_； (3)不等式加等量：abac_bc； (4)不等式乘正量：ab，c0_， 不等式乘负量：ab，cb，cd_； (6)异向不等式相减：ab，cb0，cd0_； (8)异向不等式相除：ab0，0cb，ab01a1b； (10)不等式的乘方：ab0_； (11)不等式的开方：ab0_ 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除自查自纠： 1000 2(1)bc(3)(4)acbcacbd(7)acbd (10)anbn(nN且n2) (11)nanb(nN且n2)(2014山东)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是() A.1x211y21 Bln(x21)ln(y21) Csinxsiny Dx3y3 解：根据指数函数的性质得xy，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立故选D. (2015烟台模拟)设a，b(，0)，则“ab”是“a1ab1b”成立的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：a1ab1b(ab)11ab，又11ab0，若ab，则(ab)11ab0，a1ab1b成立；反之，若(ab)11ab0，则ab成立故选C. 已知a0，b0，则aabb与abba的大小关系为() Aaabbabba Baabbabba Caabbabba D与a，b的大小有关 解：不妨设ab0，则ab1，ab0.aabbabbaabab1，即aabbabba.同理当ba0时，亦有aabbabba.故选A. 已知a27，b622，则a，b的大小关系是a b. 解：由于a27，b622，平方作差得a2b2281483148387430，从而ab.故填. (2015济南模拟)若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；adbc0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的是_(填序号) 解：a0b，cd0，ad0，bc0， adbc，故错误 a0ba，ab0， cd0，cd0，a(c)(b)(d)， acbd0，adbcacbdcd0，故正确 cd，cd，ab， a(c)b(d)，acbd，故正确 ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确 故填.类型一建立不等关系 (2015湖北)设xR，x表示不超过x的最大整数若存在实数t，使得t1，t22，tnn 同时成立，则正整数n的最大值是() A3 B4 C5 D6 解：因为x表示不超过x的最大整数由t1得1t2，由t22得2t23，由t44得4t45，所以2t25，由t33得3t34，所以6t545，由t55得5t56，与6t545矛盾，故正整数n的最大值是4.故选B.点拨： 解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型本例x表示不超过x的最大整数，故由xk，可得kxad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？ 解：(1)对变形cadbbcadab0，由ab0，bcad得成立，. (2)若ab0，bcadab0，则bcad，. (3)若bcad，bcadab0，则ab0，. 综上所述可组成3个正确命题点拨： 运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c0，c0，c0三个方面讨论(2014四川)若ab0，cd0，则一定有() A.acbd B.acbd C.adbc D.adbc 解：由cd01d1c0，又ab0，故由不等式性质，得adbc0，所以adbc.故选D. 类型三不等式性质的应用 (1)若13，42，则2的取值范围是_ 解：由13得12232，由42得24，所以2的取值范围是32，112.故填32，112.点拨： 需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12232和42两式相减来得到2的范围此类题目用线性规划也可解(2)已知1ab3且2ab4，则2a3b的取值范围是_ 解：设2a3bx(ab)y(ab)， xy2，xy3.解得x52，y12. 5252(ab)152，212(ab)1. 9252(ab)12(ab)132， 即922a3b132.故填92，132.点拨： 由于ab，ab的范围已知，所以要求2a3b的取值范围，只需将2a3b用已知量ab，ab表示出来，可设2a3bx(ab)y(ab)，用待定系数法求出x，y，再利用同向不等式的可加性求解(1)若角，满足22时，比较cn与anbn的大小，则anbn_cn. 解：a，b，cR，an，bn，cn0，而anbncnacnbcn.a2b2c2，ac2bc21，0ac1，0bc2时，acnac2，bcnbc2，anbncnacnbcna2b2c21，anbnbd”是“ab且cd”的() A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件 C充分必要条件 D必要不充分条件 解：由“acbd”不能得知“ab且cd”，反过来，由“ab且cd”可得知“acbd”，因此“acbd”是“ab且cd”的必要不充分条件故选D. 2已知a，b为正数，ab，n为正整数，则anbabnan1bn1的正负情况为 () A恒为正 B恒为负 C与n的奇偶性有关 D与a，b的大小有关 解：anbabnan1bn1an(ba)bn(ab) (ab)(anbn)， 因为(ab)与(anbn)同号，所以anbabnan1bn1b，则下列不等式一定成立的是() Aacbc B(ab)c20 Cacbc D.c2ab0 解：A项：当c0时，不等式acbab0，c20，故(ab)c20；C项：当c0时，acbc；D项：当c0时，c2ab0.故选B. 4(2014湖南)已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是() A B C D 解：当xy时，两边乘以1可得xy，命题p为真命题；当x1，y2时，显然x2y2，命题q为假命题，为真命题故选C. 5(2014浙江)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则() Ac3 B3c6 C6c9 Dc9 解：由f(1)f(2)f(3)得，1abc84a2bc279a3bc，消去c得3ab7，5ab19， 解得a6，b11，于是0c63，即6c9.故选C. 6如果0mba，则() Acosbmamcosbacosbmam Bcosbacosbmamcosbmam Ccosbmamcosbacosbmam Dcosbmamcosbmamcosba 解：作商比较：bmambaabamabbm1，所以1bmamba0，同理，0bmamba1，1bmambabmam0.而ycosx在0，2上单调递减，所以cosbmamcosbacosbmam(也可取特殊值判断)故选A. 7(2015江西模拟)设alge，b(lge)2，clge，则a，b，c的大小关系为_ 解：e10，lgelg1012，(lge)212lgelge，即bc.又ee，lgelge，即ca.故填bca. 8(2015安徽模拟)定义a*ba，ab，b，ab. 已知a30.3，b0.33，clog30.3，则(a*b)*c_(结果用a，b，c表示) 解：log30.300.33130.3，cbbc，求ca的取值范围 解：abc0，b(ac)又abc， a(ac)c，且3aabc03c， 则a0，cacaca， 即11caca，2ca1，ca2， 解得2ca12. 故ca的取值范围是2，12. 设ab1，ccb；aclogabc. 其中所有正确结论的序号是() A B C D 解：ab1，01a1b1，又ccb，正确；由于ab1，可设f(x)ax，g(x)bx，当xc0时，根据指数函数的性质，得acb的解集是R，则实数a，b满足的条件是 3一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式 (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_ (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2(此时b24ac0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集 (4)一元二次不等式的解：函数与不等式 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1x2) 有两相等实根 x1x2b2a 无实根 ax2bxc0 (a0)的解集 R ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 4.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f(x)g(x)0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0； f（x）g（x）0 f（x）g（x）0，g（x）0.自查自纠： 1(1)同解不等式(2)同解变形 2.x|xbax|xbaa0，b0 3(1)一元二次(2)解集(3)两边中间 (4)xxx1或xx2xxb2a(2014课标)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB() A2，1 B1，2) C1，1 D1，2) 解：Ax|x3或x1，Bx|2x2， ABx|2x12，1故选A. 设f(x)x2bx1且f(1)f(3)，则f(x)0的解集为() Ax|xR Bx|x1，xR Cx|x1 Dx|x1 解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b， 由f(1)f(3)，得2b103b， 解出b2，代入原函数，f(x)0即x22x10， x的取值范围是x1.故选B. 已知121x0时，x12；当x0时，x2. 所以x的取值范围是x12，故选D. 不等式2x2x4的解集为_ 解：由2x2x4得x2x2，解得1x2，即不等式2x2x4的解集为x|1x2 故填x|1x2 (2014武汉调研)若一元二次不等式2kx2kx380对一切实数x都成立，则k的取值范围为_ 解：显然k0.则2k0，0， 解得k(3，0)故填(3，0)类型一一元一次不等式的解法 已知关于x的不等式(ab)x2a3b0的解集为，13，则关于x的不等式(a3b)xb2a0的解集为_ 解：由(ab)x3b2a的解集为，13， 得ab0，且3b2aab13， 从而a2b，则ab3b0，即b0， 将a2b代入(a3b)xb2a0， 得bx3b0，x3，故填x|x3点拨： 一般地，一元一次不等式都可以化为axb(a0)的形式挖掘隐含条件ab0且3b2aab13是解本题的关键解关于x的不等式：(m24)xm2. 解：(1)当m240即m2或m2时， 当m2时，原不等式的解集为， 当m2时，原不等式的解集为R. (2)当m240，即m2或m2时，x1m2. (3)当m240，即2m2时，x1m2. 类型二一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)x27x120; (2)x22x30； (3)x22x10; (4)x22x20. 解：(1)方程x27x120的解为x13，x24. 而yx27x12的图象开口向上，可得原不等式x27x120的解集是x|x3或x4 (2)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30. 方程x22x30的解为x13，x21. 而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1 (3)方程x22x10有两个相同的解x1x21. 而yx22x1的图象开口向上，可得原不等式x22x10的解集为. (4)因为0，所以方程x22x20无实数解，而yx22x2的图象开口向上，可得原不等式x22x20的解集为R.点拨： 解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合(2015贵州模拟)关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是_ 解：原不等式可化为(x1)(xa)1时，得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5；当a1时，得ax1，此时解集中的整数为2，1，0.则3a0的解集为x|1x2，则不等式2x2bxa0的解集为() A.xx12 B.x|1x12 Cx|2x1 Dx|x1 解：由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两根，且a0. 由韦达定理得12ba，（1）22aa1，b1. 不等式2x2bxa0，即2x2x10(a0) 即6x25x10，解得12x13. 故填x|12x13. 类型四含有参数的一元二次不等式 解关于x的不等式：mx2(m1)x10. 解：(1)当m0时，不等式为(x1)0，得x10，不等式的解集为x|x1； (2)当m0时，不等式为mx1m(x1)0. 当m0，不等式为x1m(x1)0， 1m1，不等式的解集为x|x1m或x1. 当m0，不等式为x1m(x1)0. ()若1m1，即m1时， 不等式的解集为x|1mx1； ()若1m1，即0m1时， 不等式的解集为x|1x1m； ()若1m1，即m1时，不等式的解集为.点拨： 当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0与m0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m0与m0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m1、m1与m1进行讨论解关于x的不等式ax222xax(aR) 解：不等式整理为ax2(a2)x20， 当a0时，解集为(，1 当a0时，ax2(a2)x20的两根为1，2a， 所以当a0时，解集为(，12a，； 当2a0时，解集为2a，1； 当a2时，解集为x|x1； 当a2时，解集为1，2a. 类型五分式不等式的解法 (1)不等式x12x11的解集为_ 解：x12x11 x12x110 x22x10 x22x10. 解法一：x22x10 （x2）（2x1）0，2x10. 得xx12或x2 解法二：x22x10 x20，2x10 或 x20，2x10. 得x|x12或x2 故填x|x12或x2(2)不等式x2x23x20的解集为 解：x2x23x20x2（x2）（x1）0 (x2)(x2)(x1)0， 数轴标根得x|2x1或x2， 故填x|2x1或x2点拨： 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数)(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零(1)若集合Ax|12x13， Bx|x2x0，则AB() Ax|1x0 Bx|0x1 Cx|0x2 Dx|0x1 解：易知Ax|1x1，B集合就是不等式组x（x2）0，x0 的解集，求出Bx|0x2，所以ABx|0x1故选B.(2)不等式x12x10的解集为() A.12，1 B.12，1 C.，121，) D.，121，) 解：x12x10（x1）（2x1）0，2x10 得120对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_ 解：不等式可变形为a2x14x12x14x，令12xt，则t0.y12x14xtt2t12214，因此当t12时，y取最大值14，故实数a的取值范围是a14.故填14，.(2)对于满足|a|2的所有实数a，使不等式x2ax12xa成立的x的取值范围为_ 解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)在2，2上恒大于0，故有：f（2）0，f（2）0， 即x24x30，x210， 解得x3或x1，x1或x1. x1或x3.故填(，1)(3，) 类型七二次方程根的讨论 若方程2ax2x10在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是() A(，1) B(1，) C(1，1) D0，1) 解法一：令f(x)2ax2x1，则f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1. 解法二：当a0时，x1，不合题意，故排除C，D；当a2时，方程可化为4x2x10，而1160，无实根，故a2不适合，排除A.故选B.点拨： 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：开口方向；判别式；区间端点函数值的正负；对称轴xb2a与区间端点的关系本书2.4节有较详细的讨论，可参看(2015贵州模拟)已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为_ 解：根据题意有f(2)f(1)0， (6a5)(2a3)0.32a1即为x2x11，解得1x0. 故填x|1x0 类型八一元二次不等式的应用 (2013上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得利润是1005x13x元 (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 解：(1)根据题意，2005x13x3 0005x143x05x214x30(5x1)(x3)0，又1x10，可解得3x10. (2)设利润为y元，则y900x1005x13x91043x21x5910431x1626112. 故x6时，ymax457 500元点拨： 和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视(2015河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围 解： (1)由题意得y1001x101001850x. 售价不能低于成本价，1001x10800. yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0，2 (2)由题意得20(10x)(50