5月高考理科数学三轮考试题带答案福建师大附中.docx

福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷 数学理科试题 注意事项： 1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名； 2本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 参考公式：第卷 （选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置） 1复数 （是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知集合 ， ,且 ,则 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 74设z=x+y，其中x，y满足 当Z的最大值为6时， 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 5阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 ，则输出 的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 6 的三个内角 对应的边分别 ，且 成等差数列，则角 等于（ ） A . B. C. D. 7设 ，则二项式 展开式中的 项的系数为（ ） A . B. 20 C. D. 160 8.如下图所示，在棱长为2的正方体 内（含正方体表面）任取一点 ，则 的概率 （ ） A. B. C. D. 9已知平面上的线段及点 ，在上任取一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段的距离，记作 设是长为2的线段，点集 所表示图形的面积为（ ） A. B. C. D.10如下图所示，有三根针和套在一根针上的 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。 （1） 每次只能移动一个金属片； （2） 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。 若将 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为 ，则 =（ ） A. 33 B. 31 C.17 D. 15二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置 11在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的 ，且样本容量为160，则中间一组的频数为 12.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的焦距为8，则 13.如图，矩形 的一边 在 轴上，另外两个顶点 在函数 的图象上.若点 的坐标为 且 ，记矩形 的周长为 ，则 14已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为15.我国齐梁时代的数学家祖（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等 设：由曲线 和直线 ， 所围成的平面图形，绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 ；由同时满足 ， ， ， 的点 构成的平面图形,绕 轴旋转一周所得到的旋转体为 .根据祖原理等知识，通过考察 可以得到 的体积为 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(本小题满分13分) 已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向量，同时称函数 为向量 的伴随函数 （）设函数 ，试求 的伴随向量 的模； （）记 的伴随函数为 ，求使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围17（本小题满分13分） 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励 （）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率； （）记 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望18（本小题满分13分） 如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点， 垂直于半圆 所在的平面， ， ， ， 证明：平面 平面 ； 当三棱锥 体积最大时，求二面 角 的余弦值19（本小题满分13分） 已知圆 ，椭圆 （）若点 在圆 上，线段 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点 的横坐标； （）现有如下真命题： “过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直”； “过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直” 据此,写出一般结论，并加以证明 20（本小题满分14分）已知函数 ， （ ） （1）若函数 存在极值点，求实数b的取值范围； （2）求函数 的单调区间； （3）当 且 时，令 ， ( )， ( )为曲线y= 上的两动点，O为坐标原点，能否使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分 （1）(本小题满分7分)选修42：矩阵与变换 已知矩阵A= 有一个属于特征值1的特征向量 . () 求矩阵A； () 若矩阵B= ，求直线 先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数） （）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）设直线与 轴的交点是 , 是曲线 上一动点,求 的最大值. (3)（本小题满分7分）选修 ：不等式选讲 （I）试证明柯西不等式： （II）已知 ，且 ，求 的最小值福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷 数学理科试题参考答案1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14 15. 16解：（） ， 2分 4分 故 . 5分 （）由已知可得 ，7分 ， ， 故 . 9分 当 时，函数 单调递增，且 ； 当 时，函数 单调递减，且 . 使得关于 的方程 在 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为 13分17（）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件 ， 则 ， 故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 4分 （）解：随机变量 的所有取值为 5分 ， ， ， ， 10分 所以，随机变量 的分布列为:11分 13分 18（）证明：因为 是直径，所以 1分， 因为 平面 ，所以 2分， 因为 ，所以 平面 3分 因为 ， ，所以 是平行四边形， ，所以 平面 4分， 因为 平面 ，所以平面 平面 5分 （）依题意， 6分， 由（）知 ，当且仅当 时等号成立 8分 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，则 ， ， ， 9分 设面 的法向量为 ， ，即 ， 10分 设面 的法向量为 ， ，即 ， 12分 可以判断 与二面角 的平面角互补 二面角 的余弦值为 。 13分 19. 解法一： （）设点 ，则 ， （1） 1分 设线段 的垂直平分线与 相交于点 ，则 ，2分 椭圆 的右焦点 ， 3分 , ， ， ， （2）4分 由（1），（2），解得 ， 点 的横坐标为 5分 （）一般结论为： “过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，则这两条切线互相垂直” 6分 证明如下： （。惫点 与椭圆 相切的一条切线的斜率 不存在时，此时切线方程为 ， 点 在圆 上 ， ， 直线 恰好为过点 与椭圆 相切的另一条切线 两切线互相垂直7分 （）当过点 与椭圆 相切的切线的斜率存在时， 可设切线方程为 ， 由 得 ， 整理得 ，8分 直线与椭圆相切， ， 整理得 ，9分 ， 10分 点 在圆 上， ， ， ， 两切线互相垂直， 综上所述，命题成立13分 解法二： （）设点 ，则 ， （1）1分 椭圆 的右焦点 ，2分 点 在线段 的垂直平分线上， ， ， ， （2）4分 由（1），（2），解得 ， 点 的横坐标为 5分 （）同解法一 20. 解：（） ，若 存在极值点，则 有两个不相等实数根。所以 ， 2分 解得 3分 () 4分 当 时， ，函数 的单调递增区间为 ；5分当 时， ，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 7分 （） 当 且 时， 假设使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则 且 。8分 不妨设 。故 ，则 。 ， 该方程有解 9分 当 时，则 ，代入方程 得 即 ，而此方程无实数解； 10分 当 时， 则 ； 11分 当 时，则 ，代入方程 得 即 ， 12分 设 ，则 在 上恒成立。 在 上单调递增，从而 ，则值域为 。 当 时，方程 有解，即方程 有解。13分 综上所述，对任意给定的正实数 ，曲线上总存在 两点，使得 是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。14分 21（1）【解析】()由已知得 ，所以 2分 解得 故A= . 3分 () BA= = ，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线 上的两点（0，1），（-1，2）， 4分 ， ，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） 6分 从而直线 在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为 .7分 （2）解：（）曲线 的极坐标方程可化为 ， 又 , 所以曲线 的直角坐标方程为 3分 （）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得 ,4分 令 ,得 ,即 点的坐标为(2,0). 又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(0,1)， 半径 ，则 ,6分 所以 .即 的最大值为 7分 （3）（）证明：左边= , 右边= , 左边 右边 , 2分 左边 右边 , 命题得证 . 3分 （）令 ，则 , , , , 4分 由柯西不等式得： , 5分 当且仅当 ，即 ，或 时6分 的最小值是1 . 7分 解法2： , , , 4分 ， 5分 当且仅当 ，或 时 6分 的最小值是1. 7分20 20