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第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202377关于力矩与功量纲相同的成因*邱冰（桂林电子科技大学材料科学与工程学院，广西桂林541004)摘要：在国际标准单位制下力矩与功具有完全相同的量纲式，这使得导出量与基本量之间的依从关系无法在量纲式中得到准确地展现。本文通过分析发现有量纲为 1 的物理量参与是出现该现象的原因。只要选择合适的基本量，量纲式就可以准确描述导出量和基本量之间依从关系。关键词：力矩；功；量纲式；单位制；基本量中图分类号：O303 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2023)01-0077-030引言物理量的量纲式（下面简称“量纲”）是描述导出量和基本量之间依从关系的式子1。在物理学上，常常通过比较物理量的量纲，来判断导出量的种类，也常常通过比较量纲来检验推导过程的正确性，还可以通过量纲计算，绕过复杂的物理过程分析，直接解出物理量的表达式2-3。可见量纲分析是物理学中一种简便而高效的处理方法。在量纲理论中有两条基本原则4：原则一：能进行比较运算的物理量在同一单位制下必定具有相同的量纲。原则二：同类物理量在同一单位制下必定具有相同的量纲。那么这两个命题的逆命题是否也能成立呢？（1）在同一单位制下具有相同量纲的物理量一定可以进行比较运算。（2）在同一单位制下具有相同量纲的物理量一定是同类物理量。答案是否定的。举一个例子，在国际标准单位制下，力矩和功的量纲分别为：dimM=-ML T22 （1）dimW=ML T2-2 （2）可见它们的量纲是完全一样的。从它们的单位也可以看到，力矩的单位是“牛 米”，功的单位 1 焦耳=1牛 米。但力矩和功显然不是同类物理量，力矩的单位也不能称为焦耳，力矩和功也不能够进行比较运算。类似的情况还有角速度和频率，它们在国际标准单位制下的量纲分别为：dim=-T1（3）dim=T-1（4）所以，命题（1）和（2）都是假命题。可见有时候量纲并不能表述物理量之间的依从关系。下面，将探讨上述情况出现的原因和解决的办法。1国际标准单位制下的量纲式国际标准单位制是物理学中最常用的单位制。它的基本量有七个：长度、质量、时间、电流、热力学温收稿日期：2022-12-15*基金项目：国家自然科学基金项目(52161011)；广西自然科学基金项目(2020GXNSFAA297060)通讯作者：第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202378度、物质的量、发光强度。其他物理量的量纲式就是由这些基本量量纲的幂函数组成的。这套基本量的选择隐含了一个前提，那就是空间是用长度来描述的。在这个前提下定义的物理量被称为线量。比如，位移、速度、加速度这些物理量都是线量。它们的量纲中都含有长度 L 的一次方。比如：dimr=L（5）dimv=-LT1（6）dima=-LT2（7）这些是运动学量。如果想要得到动力学量就需要引入质量这个基本量。这样力的量纲可以写成：dimF=-MLT2（8）在这个式子中，可以看到力对空间的依从关系也是一次的，因为它的量纲中也含有长度的一次方。功被定义为力的作用对空间的积累。由于空间用长度来描述，所以，功的量纲式可由（8）式再添加一次长度量纲而获得：dimW=-ML T22（9）从（9）式中可以看到，功对空间的依从关系是二次的，一次来源于力对空间的依从关系，而另一次则来源于力的作用对空间的积累。2基本量的选择对量纲的影响并非所有单位制都以长度、时间和质量作为力学基本量。比如在工程单位制中，力学基本量就是长度、时间和力，它们对应的标准单位分别是米、秒和千克力。由于基本量不相同，所以在不同单位制下相同物理量的量纲式有可能是不同的。比如，在工程单位制下，力和功的量纲分别表述为：dimF=F （10）dimW=FL（11）虽然（11）式与（9）式看起来完全不同，但是功比力对空间的依从关系要多一次这点是相同的。也就是说物理量之间的依从关系不会因单位制的变化而发生改变。3无量纲量对量纲式的影响在对刚体的转动过程进行描述时，空间的量值不是用长度，而是用角度来描述的。但是在国际标准单位制中，并没有与角度相关的基本量。与此同时，国际标准单位制中的基本量长度在对转动过程的描述中仅与惯性的大小相关，而基本量质量也是与惯性大小相关的。也就是说，力学基本量中有两个量与惯性的大小相关，却没有一个与空间的描述有关。描述空间量值的物理量角位移在国际标准单位制中的量纲是 1（也称为无量纲5），这将导致许多导出量和空间之间的依从关系无法在量纲式中得以体现，因为乘 1 和什么也没乘看起来是一样的。比如，在国际标准单位制中，角速度和角加速度的量纲分别为：dim=-T1（12）dim=-T2（13）从这两个式子完全看不出这两个物理量与空间有什么关系。第 44 卷 第 1 期 广西物理 GUANGXI PHYSICS Vol.44 No.1 202379在对刚体转动过程的描述中，功被定义为力矩对空间的积累，也就是力矩对角位移的积累，而角位移的量纲是 1。因此功的量纲式为：dimdimW=M 1（14）于是就出现了（1）式和（2）式中功与力矩量纲相同的情况。（3）式和（4）式量纲相同也是因为角速度的量纲式中含有量纲为 1 的量。可见，如果在量纲式中出现了量纲为 1 的物理量，就会导致量纲式无法体现物理量之间依从关系。4定义“角单位制”为了解决这个问题，可以重新选择基本量，并在此基础上重新定义一套单位制。比如我们可以定义一个“角单位制”，它的力学基本量分别为：描述空间的角度 A、描述时间的 T 和描述惯性的转动惯量 J（这里暂时不讨论这些基本量的单位选取）。于是角位移、角速度和角加速度的量纲式分别写为：dim=A（15）dim=-AT1（16）dim=-AT2（17）可见它们与空间 A 的依从关系都是一次的。添加转动惯量后可以得到力矩的量纲：dimM=-JAT2 （18）在这个式子中，可以看到力矩这个物理量对空间的依从关系也是一次的，因为它的量纲中含有角度的一次方。功是力矩对空间的积累，因此功的量纲可写为：dimW=-JTA22 （19）对比（18）（19）式可以看到，力矩和功的量纲并不相同，功比力对空间的依从关系要多一次。将（15）（19）式和（5）（9）式做对比，可以看到角量对时间、空间和惯性的依从关系与线量是完全一致的。5结论本文对国际标准单位制中力矩与功具有相同量纲的现象进行了分析，发现量纲式有时不能正确体现物理量之间依从关系，原因是量纲式中出现了量纲为 1 的物理量，导致无论是否乘了这个量量纲式看起来都一样。解决这个问题的办法是重新选择基本量，保证所有基本量的量纲都不为 1，这样量纲式就可以体现导出量与基本量之间的依从关系了。参考文 献1 梁灿彬,曹周建.量纲理论与应用 M.北京:科学出版社,2020:9-15.2 王明美.玻尔氢原子公式的量纲分析 J.广西物理,2007,28(04):40-43.3 蓝善权,陈建明.量纲分析在大学物理热力学部分中的教学应用 J.大学物理,2020,39(01):18-21.4 白光富,胡林,刘盛华.大学物理教学中量纲分析与应用 J.物理与工程,2012,22(2):14-16.5丁祖荣，论“无量纲”与“量纲一”之争J/OL.力学与实践:1-4(2022-03-11)2022-10-15.http:/