广州市高中毕业班综合测试文科数学试题一含答案.doc

绝密 ★ 启用前
2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）复数的虚部是
（A） （B） （C） （D）
（2）已知集合，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
开始
＝3
k＝k＋1

输出k ,n
结束
是
否
输入
（3）已知，且，则
(Ａ) 　　　 (Ｂ) 　　　　 (Ｃ) 　　 (Ｄ)
（4）阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知函数 则
(Ａ) 　　　 (Ｂ) 　　　　　 (Ｃ) 　　 (Ｄ)
（6）已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别
是双曲线的左, 右焦点, 点在双曲线上, 且, 则等于
（A） （B） （C） （D）

（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的
硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没
有相邻的两个人站起来的概率为
（A） （B） （C） （D）
（8）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是
某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,
且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是

（A） （B） （C） （D）
（9）设函数，若曲线在点处的切线方程为
，则点的坐标为
(Ａ) (Ｂ) 　 　(Ｃ) 　　　(Ｄ) 或
（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四
个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, ⊥平面,
，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面
积为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知函数是奇函数，直线
与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
（A）在上单调递减 （B）在上单调递减
（C）在上单调递增 （D）在上单调递增
（12）已知函数, 则的值为
（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）已知向量，，若∥，则 .
（14）若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的
标准方程是 .
（15）满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数
的值为 .
（16）在△中, , 当△的周长最短时,
的长是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且（nN*）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ) 求数列的前n项和．
（18）（本小题满分12分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
质量指标值
频数
(190,195]
9
(195,200]
10
(200,205]
17
(205,210]
8
(210,215]
6

图1：乙流水线样本频率分布直方图
表1：甲流水线样本的频数分布表

（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；
（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两
条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这
种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？

甲生产线
乙生产线
合计
合格品

不合格品

合计

附：（其中为样本容量）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

（19）（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形中，//，⊥，⊥, 点是边的
中点, 将△沿折起，使平面⊥平面，连接,,, 得到如
图2所示的几何体.
（Ⅰ）求证：⊥平面；
(Ⅱ) 若与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面
的距离.

图1 图2
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为, 且过点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线
的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

（21）（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 证明: 当时, .
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.

（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若R , 求证：.

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
文科数学试题答案及评分参考

评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）D （12）B
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
(17) 解:
（Ⅰ）当时，，即， ………………………………………1分
解得． ………………………………………………………2分
当时，， ………………3分
即， ………………………………………………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………………………………5分
所以（nN*）． ………………………………………………6分
(Ⅱ) 因为， ………………………………………………8分
所以 ………………………………………………9分
………………………………………………10分
………………………………………………11分
． ………………………………………………12分
(18) 解：
（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为
，
………………………………………1分
则 ……………………………3分
解得． ………………………………………4分
（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分
于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产
的不合格品件数分别为：
． …………………………8分
（Ⅲ）列联表:

甲生产线
乙生产线
合计
合格品
35
40
75
不合格品
15
10
25
合计
50
50
100
…………………………10分
则， ……………………………………………11分
因为
所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线
的选择有关”． ……………………………………………………12分
(19) 解：
(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，
又⊥，所以⊥平面. …………………………………1分
因为平面，所以⊥ …………………………………2分
又因为折叠前后均有⊥，∩, …………………………………3分
所以⊥平面. …………………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以在平面内的正投影为，
即∠为与其在平面内的正投影所成角. ……………………………5分
依题意，
因为 所以. …………………………6分
设，则,
因为△～△，所以， ………………………………7分
即，
解得，故. ………………………………8分
由于⊥平面，⊥, 为的中点,
由平面几何知识得,
同理,
所以. …………………………9分
因为⊥平面，所以. ………………………10分
设点到平面的距离为,
则, …………………………11分
所以，即点到平面的距离为. …………………………12分
(20) 解:
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,
所以, . ………………………………………………2分
因为,
解得, , ………………………………………………3分
所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分
(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对
称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. ………………………………5分
所以直线的方程为,直线的方程为.
设点, ,
由消去,得. ①
因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则,
……………………………………………6分
所以. ……………………………………………7分
同理. ……………………………………………8分
所以. ……………………………………………9分
又. ……………………………………………10分
所以直线的斜率为. …………………………………………11分
所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分
法2：设点，
则直线的斜率, 直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即, ① ………………………………………5分
因为点在椭圆上,
所以，②
. ③
由②得, 得, ④ ………………………6分
同理由③得, ⑤ ………………………………………………7分
由①④⑤得,
化简得, ⑥ ……………………………8分
由①得, ⑦ ……………………………9分
⑥⑦得. …………………………………………10分
②③得,得. …………………11分
所以直线的斜率为为定值. …………………………………12分
法3：设直线的方程为，点，
则,
直线的斜率, 直线的斜率. ………………………5分
因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即, ……………………………………………6分
化简得.
把代入上式, 并化简得
. (*) …………………………………7分
由消去得, (**)
则, ……………………………………………8分
代入(*)得, ……………………………9分
整理得,
所以或. ……………………………………………10分
若, 可得方程(**)的一个根为，不合题意. ………………………………11分
若时, 合题意.
所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分
(21) 解:
(Ⅰ)法1: 函数的定义域为.
由, 得. ……………………………………1分
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增. ………………………2分
当时, . …………………………………………………3分
当, 即时, 又, 则函数有零点. …4分
所以实数的取值范围为. ……………………………………………………5分
法2：函数的定义域为.
由, 得. …………………………………………………1分
令，则.
当时, ; 当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减. ……………………2分
故时, 函数取得最大值. …………………………3分
因而函数有零点, 则. ………………………………………4分
所以实数的取值范围为. …………………………………………………5分
(Ⅱ) 要证明当时, ,
即证明当时, , 即.………………………6分
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, . ……………………………………………………7分
于是,当时, ① ……………………………………8分
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, . ……………………………………………………9分
于是, 当时, ② ……………………………………………………10分
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分
故当时, . ……………………………………………………12分
（22）解：
(Ⅰ) 由 消去得, ………………………………………1分
所以直线的普通方程为. ………………………………………2分
由, ……3分
得. ………………………………………4分
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为, ………………………………6分
则点到直线的距离为…………………………7分

………………………………………8分
当时, , ………………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
法2: 设与直线平行的直线为, ………………………………………6分
当直线与圆相切时, 得, ………………………………………7分
解得或(舍去),
所以直线的方程为. ………………………………………8分
所以直线与直线的距离为. …………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为. ………………………………10分
（23）解：
(Ⅰ) 因为，所以. ………………………………………1分
① 当时，得，解得，所以; ……………2分
② 当时，得，解得，所以; ……………3分
③ 当时，得，解得，所以; ……………4分
综上所述，实数的取值范围是. ………………………………………5分
(Ⅱ) 因为R ,
所以 ……………………………7分
……………………………………………………………………8分
……………………………………………………………………9分
. ……………………………………………………………………10分