北京市海淀区20122013高二年级第一学期期末练习数学理.doc

海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学（理科） 2013.1
学校___________ 班级 姓名 成绩 ___
本试卷共100分,考试时间90分钟.

一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 如果, 则( )
A． B． C． D．
2．已知数列满足（其中为常数），若, 则=( )
A． 4 B．5 C．6 D．7
3. 下列四个点中，在不等式组 所表示的平面区域内的点是( )
A． B． C． D．
4. 已知数列满足，则( )
A. 数列是公比为2的等比数列 B. 数列是公比为4的等比数列
C. 数列是公差为2的等差数列 D. 数列是公差为4的等差数列
5.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知点为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，若，则的值为( )
A. 4 B. C. 8 D.
7. 已知点为椭圆上动点，,分别是椭圆的焦点，则的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
8. 设,分别是椭圆的焦点，若椭圆上存在点，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
9.双曲线的渐近线方程为_____________.
10.命题，则命题是 .
11.已知集合是不等式的解集，集合.若,则的最小值是_______________.
12.已知点为椭圆 上的动点，且的最小值为1，其中为坐标原点，则________.
13. 设，. 给出下面4个式子：
①；②；③；④.
其中恒大于1的是 .（写出所有满足条件的式子的序号）
14.已知数列满足且，则____________；
若设，则数列的通项公式为__________________.
三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分10分）
已知直线交抛物线于A,B两点，且, 其中，点为坐标原点，点的坐标为.
（I）求抛物线的方程；
（II）求点的坐标.

16. （本小题满分12分）
已知数列的前n项和.
(I)求数列的通项公式；
(II)求的最大值；
(III)设，求数列的前n项和.

17. （本小题满分10分）
已知函数.
（I）当时，解关于x的不等式；
（II）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

18. （本小题满分12分）
椭圆的中心为坐标原点,点分别是椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,一个焦点为,离心率为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）若把直线的斜率分别记作，求证：；
(III) 是否存在点使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学（理科）
参考答案及评分标准
2013.1
一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
A
A
D
C
二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.
9. 10. R , 11.
12. 1 13. ①④ 14. ；(第一空2分，第二空2分)
三.解答题:本大题共4小题,共44分.
15. （本小题满分10分）
解: （I）因为点在抛物线上，
所以, -------------2分
解得, -------------3分
故抛物线C的方程为. -------------4分
（II）设点的坐标为 ,由题意可知,
直线的斜率,直线的斜率 ,
因为，所以, -------------6分
又因为点在抛物线上，
所以 , -------------7分
联立 解得或 （舍）, -------------9分
所以点的坐标为. -------------10分
16．（本小题满分12分）
解: （I）当时，； -------------1分
当时，.-----3分
综上可知，数列的通项公式为. -------------4分
（II）解法1:， -------------6分
所以，当时，取得最大值. -------------7分
解法2:令，得,
即此等差数列前5项为正数,从第6项起开始为负数,
所以,最大, -------------6分
故. -------------7分
(III) 令，得. -------------8分
,
当时，. -------------9分
当时，
. -------------11分
综上可知，数列的前项和 . -------12分
17.（本小题满分10分）
解: （I）令得 -------------1分
，
因为，所以，即， -------------2分
由，解得 . -------------4分
（II）解法1：当时，， ，不符合题意. -----5分
当时，，若，不等式恒成立，
则有 解得. -------------7分
当时，，若，不等式恒成立，
则有 无解. ------------9分
综上，实数的取值范围是. -------------10分
解法2：的图像是开口向上的抛物线， --------5分
若，不等式恒成立，需且仅需
-------------7分
解得 所以
故实数的取值范围是. -------------10分
18．（本小题满分12分）
解: （I）由题意，可设椭圆C的方程为,则，，
所以，， -------------2分
所以椭圆C的方程为. -------------3分
（II）由椭圆C的方程可知，点的坐标为，点的坐标为,
设动点的坐标为，由题意可知,
直线的斜率，直线的斜率,
所以 , -------------4分
因为点在椭圆上，
所以,即, -------------5分
所以 -------------6分
（III）设直线的方程为，
令，得，所以点的坐标为, --------7分
设直线的方程为，
令，得，所以点的坐标为, ---------8分
由椭圆方程可知，点的坐标为,
由，得,
由题意，可得
整理得, ---------9分
与联立,消可得,
解得或 , ---------10分
所以直线的直线方程为或,
因为与椭圆交于上顶点，不符合题意.
把代入椭圆方程,得,
解得或, ---------11分
因为，所以点的坐标为. ---------12分
说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.

- 7 -