天津市民族中学2018高二9月月考数学试题解析.doc

天津市民族中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得
成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
2． 若是定义在上的偶函数，，有，则
（ ）
A． B．
C． D．
3． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.
4． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）
A． B．
C． D．
5． 已知，，，若，则（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
6． 已知直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆的两个交点为，当最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
7． 如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与
的变化关系，其中正确的是（ ）

A． B． C. D．1111]
8． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，
末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）
A．33% B．49% C．62% D．88%
9． 已知函数（），若数列满足，数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
10．已知不等式组表示的平面区域为，若内存在一点,使，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．“”是“圆关于直线成轴对称图形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
12．已知函数，，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的距离的2倍，则 .
14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
15．已知为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集
是 ▲ ．
16．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一
个红球的概率为 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相
交于点，为上一点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的长．

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

18．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
得到的数据：

赞同
反对
合计
男
50
150
200
女
30
170
200
合计
80
320
400
（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述
发言，设发言的女士人数为，求的分布列和期望．
参考公式：，

19．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对三项重点工程竞标成功的概率分别为，，，已知三项工程都竞标成功的概率为，至少有一项工程竞标成功的概率为．
（1）求与的值；
（2）公司准备对该公司参加三个项目的竞标团队进行奖励，项目竞标成功奖励2万元，项目竞标成功奖励4万元，项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．

20．已知函数．
（1）令，讨论的单调区间；
（2）若，正实数满足，证明．

21． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，
，点在棱上.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若，求二面角的余弦值.

22．（本小题12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
.111]
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.

天津市民族中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】B

【解析】
2． 【答案】D
3． 【答案】B
【解析】
4． 【答案】D111]
【解析】
考点：相等函数的概念.
5． 【答案】A
【解析】
6． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆的方程为，直线的普通方程为，直线过定点，∵，∴点在圆的内部．当最小时，直线直线，，∴直线的斜率为，∴，选A．
7． 【答案】A
【解析】
考点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.

8． 【答案】B
【解析】
9． 【答案】A.

【解析】
10．【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域如图所示，先求的最小值，当时，，在点取得最小值；当时，，在点取得最小值．若内存在一点,使，则有的最小值小于，∴或，∴，选A．

11．【答案】

【解析】
12．【答案】A
【解析】
试题分析：,由周期公式可得,且,即函数奇函数，故选A.
考点：1、正弦函数的奇偶性及周期性；2、两角差的余弦公式及正弦的二倍角公式.1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】9
【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.
14．【答案】
【解析】作出可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线：，当直线经过点时，取得最大值，∴，所以，故．

15．【答案】
考点：利用函数性质解不等式1111]
16．【答案】
【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．
三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵,
∴∽,∴……………………2分
又∵,∴, ∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，∴∽，
∴，∴，又∵，∴．
∵,，∴ ，∵，∴，解得.
∴．∵是⊙的切线，∴
∴，解得．……………………10分
18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．
的分布列为：

0
1
2
3

的数学期望为 ………………12分
19．【答案】
【解析】（1）由题意，得，因为，解得．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量，
则的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
而；；
； ；
； ；
．…………………9分
所以的分布列为：

0
2
4
6
8
10
12

于是，．……………12分
20．【答案】（1）当时，函数单调递增区间为，无递减区间，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
试题解析：

（2）当时，，
由可得，
即，
令，则，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，
又，故，
由可知．1
考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
（3）因为平面，所以平面的一个法向量.由知为的三等分点且此时.在平面中，，.所以平面的一个法向量.……………………10分
所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.……………………………………………………………………12分
22．【答案】（1）；（2）.

（2），………………6分
，①
.②……………8分
①-②得，…………10分
所以.………………12分
考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设的公差为，的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得和，进而可得，的通项公式；（2）数列的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和.

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