资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数则函数值域是（）
A. B.
C. D.
3．计算的值为
A. B.
C. D.
4．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是
A. B.
C. D.
5．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）
(参考数据：)
A. B.
C. D.
7．已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．下列函数中，表示同一个函数的是
A.与
B.与
C.与
D.与
9．圆与圆的位置关系为（）
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
10．已知函数，有下面四个结论：①的一个周期为 ；②的图像关于直线对称；③当时，的值域是；④在(单调递减，其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数，若，则______.
12．已知向量不共线，，若，则___
13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
14．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______
15．记函数的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率等于__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数的定义域为
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；
（3）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值
17．已知函数，.
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)
（1）选择一个恰当函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型
19．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值
20．已知函数.
（1）根据定义证明：函数在上是增函数；
（2）根据定义证明：函数是奇函数.
21．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；
详解】
，
，，
，
故选：D
2、B
【解析】结合分段函数的单调性来求得的值域.
【详解】当吋，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.
故选：B
3、D
【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】由二倍角公式得：，
故选D.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
4、D
【解析】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,
5、B
【解析】由图像求出周期再根据可得，再由，代入可求，进而可求出解析式.
【详解】由图象可知，，得，
又∵，∴.
当时，，即，
解得.又，则，
∴函数的解析式为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了由三角函数的图像求函数解析式，需熟记正弦型三角函数的周期公式，属于基础题.
6、B
【解析】根据列式求解即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.
7、C
【解析】
利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.
详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，
由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
8、D
【解析】对于A，B，C三个选项中函数定义域不同，只有D中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，定义域为，的定义域为R，定义域不同，故不为同一函数；
对于D，与定义域和对应法则完全相同，故选D.
【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题
9、A
【解析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系.
【详解】圆，圆心，半径为；
，圆心，半径为；
两圆圆心距，所以相离.
故选：A.
10、B
【解析】函数周期.，故是函数的对称轴.由于，故③错误.，函数在不单调.故有个结论正确.
【点睛】本题主要考查三角函数图像与性质，包括了周期性，对称性，值域和单调性.三角函数的周期性，其中正弦和余弦函数的周期都是利用公式来求解，而正切函数函数是利用公式来求解.三角函数的对称轴是使得函数取得最大值或者最小值的地方.对于选择题
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、16或-2
【解析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.
【详解】当时，，成立，
当时，，成立，
所以或.
故答案为：或
12、
【解析】由，将表示为的数乘，求出参数
【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得
【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得
13、
【解析】按a值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.
【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14、
【解析】按的取值范围分类讨论.
【详解】当时，定义域，，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
当时，定义域，，
，满足要求；
当时，定义域，取，
，时，，不满足要求；
综上：
故答案为：
【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.
15、
【解析】因为；
所以的概率等于
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）函数，所以函数的值域为
（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有 成立，即，只要即可，由，故， 所以，故的取值范围是；
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值； 当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值.
【点睛】利用函数的单调性求值域是求值域的一种重要方法．特别注意当函数含有参数时，而参数又会影响了函数的单调性，从而需要分类讨论求函数的值域
17、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）讨论和时实数的取值范围，再结合的范围与函数的对称轴讨论使得在上是减函数的范围即可；
（2）假设存在整数，使得的解集恰好是．则，由，解出整数，再代入不等式检验即可
小问1详解】
解：令，则.
当，即时，恒成立，
所以.
因为在上是减函数，
所以，解得，
所以.
由，解得或.
当时，的图象对称轴，且方程的两根均为正，
此时在为减函数，所以符合条件.
当时，的图象对称轴，且方程的根为一正一负，
要使在单调递减，则，解得.
综上可知，实数的取值范围为
【小问2详解】
解：假设存在整数，使的解集恰好是，则
①若函数在上单调递增，则，且，
即
作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均不满足要求；
②若函数在上单调递减，则，且，
即
作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均不满足要求；
③若函数在上不单调，则，且，
即作差得到，代回得到：，即，由于均为整数，
故，，或，，，经检验均满足要求；
综上，符合要求的整数是或
【点睛】关键点点睛：本题第一问解题的关键在于先根据判别式求出的取值范围，再结合范围和二次函数的性质讨论求解；第二问解题的关键在于分类讨论，将问题转化为函数在上单调递增、单调递减、不单调三种情况求解即可.
18、（1）可用③来描述x，y之间的关系，y＝log2(x－1)；（2）该企业要考虑转型.
【解析】（1）把(3，1)，(5，2)分别代入三个函数中，求出函数解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，则选择此模型；
（2）由（1）可知函数模型为y＝log2(x－1)，令log2(x－1)>6，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得
∴.
当时，，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得∴y＝log2(x－1)
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．（也可通过画散点图或不同增长方式选择）
（2）令log2(x－1)≥6，则x≥65.
∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型
19、（1）
（2）
【解析】(1)根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简计算可得，
结合公式计算即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系和角的范围求出，根据
和两角和的正弦公式直接计算即可.
【小问1详解】
最小正周期
【小问2详解】
，因为，，
若，则，不合题意，
又，所以，
因为，所以，
所以
20、⑴见解析;⑵见解析.
【解析】(1)利用单调性定义证明函数的单调性；（2）利用奇偶性定义证明函数奇偶性.
试题解析：
⑴设任意的，且，
则
，，即，
又，
，即，
在上是增函数
⑵，
,
，即
所以函数是奇函数.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性
21、（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.
【解析】（1）利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
（2）因为底面，底面，所以，又因为，
，平面，所以平面，而平面，
所以.
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