福建省莆田四中、莆田六中2022年高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是
A. B.
C. D.
2．集合{|是小于4的正整数}，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）

A. B.
C. D.
3．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.7
B.9
C.11
D.13
4．已知函数的定义域是，那么函数在区间上（）
A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值
C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值
5．已知是方程的两根，且，则的值为
A. B.
C.或 D.
6．设函数，则下列结论错误的是（）
A.的一个周期为
B.的图像关于直线对称
C.的图像关于点对称
D.在有3个零点
7．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵．那么前3个儿子分到的绵的总数是（ ）
A.89斤 B.116斤
C.189斤 D.246斤
8．在下列函数中，既是奇函数并且定义域为是（ ）
A. B.
C. D.
9．下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A.0 B.1
C.2 D.3
10．若集合，则（）
A.或 B.或
C.或 D.或
11．要想得到函数的图像，只需将函数的图象
A.向左平移个单位，再向上平移1个单位 B.向右平移个单位，再向上平移1个单位
C.向左平移个单位，再向下平移1个单位 D.向右平移个单位，再向上平移1个单位
12．已知函数，若正数，，满足，则（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的直径为________
14．等比数列中，，则___________
15．总体由编号为，，，，的个个体组成.利用下面的随机数表选取样本，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________

16．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图,在矩形中,点是边上中点,点在边上

(1)若点是上靠近的三等分点,设,求的值
(2)若,当时,求的长
18．已知不等式 的解集为
（1）求a的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围.
19．已知，且的最小正周期为.
（1）求；
（2）当时，求函数的最大值和最小值并求相应的值.
20．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.
(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段长度的最小值

21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根
（1）求函数的值域；
22．若函数对任意，恒有
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，判断的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论
【详解】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确；
故选B
【点睛】本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题
2、B
【解析】先化简集合A，再判断阴影部分表示的集合为，求交集即得结果.
【详解】依题意，，阴影部分表示的集合为.
故选：B.
3、B
【解析】该几何体是一个圆上面挖掉一个半球，S=2π×3+π×12+=9π.
4、A
【解析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；
故选：A
5、A
【解析】∵是方程的两根，
∴，
∴
又，
∴，
∵，
∴又，
∴，
∴．选A
点睛：解决三角恒等变换中给值求角问题的注意点
解决“给值求角”问题时，解题的关键也是变角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出适合的一个三角函数值．再根据所给的条件确定所求角的范围，最后结合该范围求得角，有时为了解题需要压缩角的取值范围
6、D
【解析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可
【详解】，
对A，最小周期为，故也为周期，故A正确；
对B，当时，为的对称轴，故B正确；
对C，当时，，又为的对称点，故C正确；
对D，则，解得，故在内有共四个零点，故D错误
故选：D
7、D
【解析】利用等差数列的前项和的公式即可求解.
【详解】用表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
所以，解之得
所以，即前3个儿子分到的绵是246斤
故选：D
8、C
【解析】分别判断每个函数的定义域和奇偶性即可.
【详解】对A，的定义域为，故A错误；
对B，是偶函数，故B错误；
对C，令，的定义域为，且，所以为奇函数，故C正确.
对D，的定义域为，故D错误.
故选：C.
9、C
【解析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
10、B
【解析】根据补集的定义，即可求得的补集.
【详解】∵，∴或，
故选：B
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.
11、B
【解析】，因此把函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得的图象，故选B.
12、B
【解析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.
【详解】因为，所以函数在上单调递增；
因为，，，均为正数，所以，
又，所以，
所以，所以，
又因为
，所以，选项B正确；
当时，满足，但不满足，故选项A错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.
故选：B.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据题设条件可以判断球心的位置，进而求解
【详解】因为三棱柱的个顶点都在球的球面上，
若，，，，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面，其中点是球心，
即侧面，经过球球心，球的直径是侧面的对角线的长，
因为，，，
所以球的半径为：
故答案为：
14、
【解析】等比数列中，由可得．等比数列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以
【点睛】若数列为等比数列，则构成等比数列
15、
【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.
【详解】按照随机数表的读法所得样本编号依次为23,21,15，可知第3个个体的编号为15.
故答案为：15.
16、
【解析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案
【详解】若函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，
则，或
当时，解得＜a＜1，当时，不等式无解.
综上实数的取值范围是（，1）
故答案为（，1）．
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1);(2) .
【解析】（1） ,∵是边的中点,点是上靠近的三等分点,∴，又∵,,∴， ；
（2）设，则，以，为基底， ， ，
又，
∴，解得,故长为
18、（1）； （2）.
【解析】(1)根据题意得到方程 的两根为，由韦达定理可得到结果；（2）不等式的解集为R，则解出不等式即可.
【详解】（1）由已知，，且方程 的两根为.
有，解得；
（2）不等式的解集为R，
则，解得，
实数的取值范围为.
【点睛】这个题目考查了根和系数的关系，涉及到两根关系的题目，多数是可以考虑韦达定理的应用的，也考查到二次函数方程根的个数的问题.
19、（1）；（2）时，,时，.
【解析】（1）化简即得函数，再根据函数的周期求出，即得解；
（2）由题得，再根据三角函数的图像和性质即得解.
【详解】解:(1）函数
，
因为,
所以，
解得，
所以
(2)当时，，
当，即时，，
当，即时，，
所以，时，,时，.
20、（1）8（2）（3）
【解析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.
解析：
（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设
PA是圆的一条切线，
(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，
圆心，半径为
得圆N的方程为
即，有
由，解得或圆过定点
(3) 圆N的方程，即①
圆即②
②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：
圆心M(0,6)到直线AB的距离
弦长
当时，线段AB长度有最小值.
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；圆的问题经常应用的性质有垂径定理的应用，切线长定理的应用.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）根据对称轴以及判别式等于得出，再由基本不等式得出函数的值域；
（2）利用换元法结合对数函数以及二次函数的单调性得出a的值
【小问1详解】
依题意得，
因为，所以，
解得，，故，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立
当时，，当且仅当，即时，等号成立
故的值域为
【小问2详解】
，
令，则
①当时，，因为，所以，解得
因为，所以，解得或（舍去）
②当时，，因为，所以，解得
，解得或（舍去）
综上，a的值为或
22、（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递减，证明见解析；（3）
【解析】（1）利用赋值法求出，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性；
（3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论
【详解】（1）为奇函数；
证明：令，得，解得：
令，则，
所以函数为奇函数；
（2）在R上单调递减；
证明：任意取，且，则，
又，即
所以在R上单调递减；
（3）对任意实数x，恒有等价于成立
又在R上单调递减，
即对任意实数x，恒成立，
当时，即时，不恒成立；
当时，即时，则，解得：
所以实数k的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.