高一数学上学期周清-第三周周清-正余弦定理小结与复习.doc

第三周周清 正余弦定理小结与复习
核心知识
1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
自我检测
1. 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，
即cos A＝－，∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝，
则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4，
有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝.
2.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解　(1)因为cos B＝，所以sin B＝.
由正弦定理＝，可得＝，
所以a＝.
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，
所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
所以a＋c＝2.　　
3.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a.
(1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B.
[尝试解答]　(1)由正弦定理得，
sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即
sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.
故sin B＝sin A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝，所以B＝45°.