资源描述
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
一．填空题（共17小题）
1．（2014•永川区校级学业考试）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是
．
2．（2013•江苏）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为 ．
3．（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则
（1）a3= ；
（2）S1+S2+…+S100= ．
4．（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，ai=1，当0≤i≤k﹣1时，ai为0或1．定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0．
（1）b2+b4+b6+b8= ；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 ．
5．（2012•河北）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．
6．（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是 ．
7．（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令．当bk是数列{bn}的最大项时，k= ．
8．（2011•浙江）若数列中的最大项是第k项，则k= ．
9．（2010•天津）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0= ．
10．（2013•湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
11．（2010•湖南）若数列{an}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列{（an）+}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，an=n2，则（a5）+= ，（（an）+）+= ．
12．（2010•辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
13．（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2009棵树种植点的坐标应为 ．
14．（2008•天津）已知数列{an}中，，则= ．
15．（2006•天津）设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则= ．
16．（2005•上海）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n（n∈N），当|f（an）﹣2005|取得最小值时，n= ．
17．（2006•湖北）将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则= ．
二．解答题（共13小题）
18．（2008•安徽）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．
19．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．
20．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
21．（2014秋•渝中区校级月考）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．
（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．
22．（2010•荔湾区校级模拟）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．
（1）证明；
（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．
23．（2010•安徽）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．
（Ⅰ）证明：{rn}为等比数列；
（Ⅱ）设r1=1，求数列的前n项和．
24．（2010•湖南）给出下面的数表序列：
其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n﹣1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{bn}求和：（n∈N+）
25．（2010•湖北）已知数列{an}满足：，anan+1＜0（n≥1），数列{bn}满足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式
（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
26．（2009•广东）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}前n项和为Tn，问满足Tn＞的最小正整数n是多少？
27．（2009•江西）数列{an}的通项an=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为Sn．
（1）求Sn；
（2）bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
28．（2009•重庆）已知，
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：．
29．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，
（Ⅰ）求a1，a4
（Ⅱ）证明：{an+1﹣2an}是等比数列；
（Ⅲ）求{an}的通项公式．
30．（2007•福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，，．
（1）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn；
（2）设（n∈N+），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共17小题）
1．（2014•永川区校级学业考试）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是
．
考点：
等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．
解答：
解：∵a1，a3，a9成等比数列，
∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），
∴a1=d，
∴=，
故答案是：．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．
2．（2013•江苏）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为 12 ．
考点：
等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．
解答：
解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，
由题意可得，解之可得：a1=，q=2，
故其通项公式为an==2n﹣6．
记Tn=a1+a2+…+an==，
Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．
由题意可得Tn＞Sn，即＞，
化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，
因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0
解得 ＜n＜，
由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．
故答案为：12
点评：
本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．
3．（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则
（1）a3= ﹣ ；
（2）S1+S2+…+S100= ．
考点：
数列的求和；数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：
压轴题；等差数列与等比数列．
分析：
（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
解答：
解：由，n∈N*，
当n=1时，有，得．
当n≥2时，．
即．
若n为偶数，则．
所以（n为正奇数）；
若n为奇数，则=．
所以（n为正偶数）．
所以（1）．
故答案为﹣；
（2）因为（n为正奇数），所以﹣，
又（n为正偶数），所以．
则．
，．
则．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
=．
故答案为．
点评：
本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．
4．（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，ai=1，当0≤i≤k﹣1时，ai为0或1．定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0．
（1）b2+b4+b6+b8= 3 ；
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 2 ．
考点：
数列的应用；数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：
压轴题；新定义．
分析：
（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；
（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，cm=2；当a2a1a0=001时，cm=0；当a2a1a0=010时，cm=1；当a2a1a0=011时，cm=0；当a2a1a0=100时，cm=2；当a2a1a0=101时，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，cm=2；当末位有奇数个1时，cm=1；当末位有偶数个1时，cm=0，由此可得cm的最大值．
解答：
解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1
∴b2+b4+b6+b8=3
（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；
当a2a1a0=001时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=010时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当a2a1a0=011时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=100时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a0=101时，bi+1=0，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当末位有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当末位有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值为2．
点评：
对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口．
5．（2012•河北）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为 1830 ．
考点：
数列递推式；数列的求和．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=bn+16可得数列{bn}是以16为公差的等差数列，而{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和，由等差数列的求和公式可求
解答：
解：∵，
∴
令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，
a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，
则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16
∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和
∵b1=a1+a2+a3+a4=10
∴=1830
点评：
本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列
6．（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是 ．
考点：
数列与函数的综合．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
根据，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．
解答：
解：∵，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），
∴a1=1，，，a7=，，
∵a2010=a2012，
∴
∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…
依次往前推得到a20=
∴a20+a11=
故答案为：
点评：
本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件an+2=f（an），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．
7．（2012•上海）已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令．当bk是数列{bn}的最大项时，k= 1006 ．
考点：
数列与不等式的综合；等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
设，，由，根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，由此能求出结果．
解答：
解：设，，
∵，
∴根据基本不等式（x+y）2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2（x2+y2），
得bn2=（）2≤2（an+a2012﹣n）=2（2a1006）=4a1006，
当且仅当an=a2012﹣n时，bn取到最大值，
此时n=1006，所以k=1006．
故答案为：1006．
点评：
本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
8．（2011•浙江）若数列中的最大项是第k项，则k= 4 ．
考点：
数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
解答：
解：令，
假设=≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，
又n是整数，即n≤3时，an+1＞an，
当n≥4时，an+1＜an，
所以a4最大．
故答案为：4．
点评：
本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式．
9．（2010•天津）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0= 4 ．
考点：
等比数列的前n项和；等比数列的性质．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式．再根据基本不等式得出n0
解答：
解：
=
=
因为≧8，当且仅当=4，
即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值．
故答案为：4．
点评：
本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．
10．（2013•湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0
（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 2 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 17 ．
考点：
数列的求和；交集及其运算．菁优网版权所有
专题：
压轴题；新定义．
分析：
（1）利用“特征数列”的定义即可得出；
（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．
解答：
解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；
（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100 满足Pi+Pi+1=1，1≤i≤99，
∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．
则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，
又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．
∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．
则Q={a1，a4，a7，…，a100}
则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．
∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．
故答案分别为2，17．
点评：
正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．
11．（2010•湖南）若数列{an}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列{（an）+}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，an=n2，则（a5）+= 2 ，（（an）+）+= n2 ．
考点：
数列的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；新定义．
分析：
根据题意，若am＜5，而an=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（an）+）+=n2．
解答：
解：∵am＜5，而an=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．
∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，
（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，
（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，
∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，
猜想：（（an）+）+=n2．
答案：2，n2．
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．
12．（2010•辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
考点：
数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由累加法求出an=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
解答：
解：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n
所以
设f（n）=，令f′（n）=，
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
点评：
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
13．（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 （1，2） ；第2009棵树种植点的坐标应为 （4，402） ．
考点：
数列的应用．菁优网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
由题意可知，数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．
解答：
解：∵组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…
一一代入计算得数列xn为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即xn的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．
数列{yn}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即yn的重复规律是y5n+k=n，0≤k＜5．
∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用．
14．（2008•天津）已知数列{an}中，，则= ．
考点：
数列的求和；极限及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
首先由求an可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到an的表达式，再求极限即可．
解答：
解：因为
所以an是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，
所以．
所以答案为
点评：
此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．
15．（2006•天津）设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则= 1 ．
考点：
数列的极限．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），则能推导出Sn=，由此能导出．
解答：
解：设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），
若向量=，
θn是与的夹角，
（其中），
设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=，
则=1．
点评：
本题考查数列的极限和运算，解题时要注意三角函数的灵活运用．
16．（2005•上海）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n（n∈N），当|f（an）﹣2005|取得最小值时，n= 110 ．
考点：
数列的函数特性；等差数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
要使|f（an）﹣2005|取得最小值，可令|f（an）﹣2005|=0，即20.1n+log20.1n=2005，对n值进行粗略估算可得答案．
解答：
解：|f（an）﹣2005|=|f（0．n）﹣2005|=|20.1n+log20.1n﹣2005|，（1）
要使（1）式取得最小值，可令（1）式等于0，即|20.1n+log20.1n﹣2005|=0，
20.1n+log20.1n=2005，
又210=1024，211=2048，
则当n=100时，210=1024，log210≈3，（1）式约等于978，
当n=110时，211≈2048，log211≈3，（1）式约等于40，
当n＜100或n＞110式（1）式的值会变大，
所以n=110，
故答案为：110．
点评：
本题考查数列的函数特性、指数函数对数函数的性质，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
17．（2006•湖北）将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则= ．
考点：
数列的求和；极限及其运算．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；探究型．
分析：
通过观察可得=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）﹣（++…+）〕=1﹣+﹣=+﹣．进而可得．
解答：
解：第一个空通过观察可得．
=
=（1+﹣1）+（）+（+﹣）+（+﹣）+…+（+﹣）+（+﹣）
=（1+++…+）+（++++…+）﹣2（++…+）
=〔（1+++…+）﹣（++…+）〕+〔（++++…+）
﹣（++…+）〕
=1﹣+﹣
=+﹣
所以=．
答案：．
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
二．解答题（共13小题）
18．（2008•安徽）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1．
考点：
数列的求和；数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（Ⅰ）需要观察题设条件进行恒等变形，构造an﹣1=c（an﹣1﹣1）利用迭代法计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论求出数列的通项，观察知应用错位相减法求和；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的结论知an=（a﹣1）cn﹣1+1．接合题设条件得出，．然后再用反证法通过讨论得出c的范围．
解答：
解：（Ⅰ）由题设得：n≥2时，an﹣1=c（an﹣1﹣1）=c2（an﹣2﹣1）=…=cn﹣1（a1﹣1）=（a﹣1）cn﹣1．
所以an=（a﹣1）cn﹣1+1．
当n=1时，a1=a也满足上式．
故所求的数列{an}的通项公式为：an=（a﹣1）cn﹣1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：.，
∴．
∴
所以∴．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知an=（a﹣1）cn﹣1+1．
若0＜（a﹣1）cn﹣1+1＜1，则0＜（1﹣a）cn﹣1＜1．
因为0＜a1=a＜1，∴．
由于cn﹣1＞0对于任意n∈N+成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=cx的图象知，当n→+∞时，cn﹣1→+∞，
所以不能对任意n∈N+恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1
点评：
本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运送知识分析问题和解决问题的能力．第三问中特值法与反证法想接合，对做题方向与方法选取要求较高．是一个技能性较强的题．
19．（2011•广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．
考点：
数列递推式；数列与不等式的综合．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．
（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．
解答：
解：（1）∵（n≥2），
∴（n≥2），
当b=1时，（n≥2），
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，
当b＞0，且b≠1时，（n≥2），
即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，
∴=×=，即an=，
∴数列{an}的通项公式是
（2）证明：当b=1时，不等式显然成立
当b＞0，且b≠1时，an=，要证对于一切正整数n，2an≤bn+1+1，只需证2×≤bn+1+1，即证
∵
=
=（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）
=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）
=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]
≥bn（2+2+…+2）=2nbn
所以不等式成立，
综上所述，对于一切正整数n，有2an≤bn+1+1，
点评：
本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．
20．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
考点：
等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．
（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．
解答：
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ），
，①
Sn=，②
①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，
则===．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
21．（2014秋•渝中区校级月考）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．
（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．
考点：
数列递推式；数学归纳法．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）令c=代入到an+1=c﹣中整理并令bn=进行替换，得到关系式bn+1=4bn+2，进而可得到{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，先得到{}的通项公式，即可得到数列{bn}的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时an＜an+1，然后当c＞2时，令α=，根据由可发现c＞时不能满足条件，进而可确定c的范围．
解答：
解：（1），
，即bn+1=4bn+2
，a1=1，故
所以{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，
，
（Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1得c＞2．
用数学归纳法证明：当c＞2时an＜an+1．
（ⅰ）当n=1时，a2=c﹣＞a1，命题成立；
（ii）设当n=k时，ak＜ak+1，
则当n=k+1时，
故由（i）（ii）知当c＞2时，an＜an+1
当c＞2时，令α=，由
当2＜c≤时，an＜α≤3
当c＞时，α＞3且1≤an＜α
于是
α﹣an+1≤（α﹣1），
当n＞
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范围是（2，]．
点评：
本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．
22．（2010•荔湾区校级模拟）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．
（1）证明；
（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．
考点：
等比数列的前n项和；对数的运算性质；不等式的证明．菁优网版权所有
专题：
计算题；证明题；压
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