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第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1.经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程,进一步体会不等式的模型思想,建立符号意识. 2.结合具体问题,了解不等式的意义. 3.探索并掌握不等式的基本性质. 4.理解不等式(组)的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示一元一次不等式的解集;会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集. 5.通过经历用数轴表示不等式(组)的解集的过程,体会数形结合思想. 6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理,发展应用意识. 经历将一些实际问题抽象为不等式的过程,体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型,感受不等式、方程、函数之间的联系与区别,研究用不等式解决实际问题的方法. 1.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别. 2.进一步感受数学和生活的联系,体会数学的价值. 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系,通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在此之前,学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,以此为基础展开不等式的学习,顺理成章. 本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法. 根据学生现有的认知基础和认知特点,本章的设计主要有下列特点: (1)提供丰富的实际背景.如等周问题、测树围研究树龄问题、打折销售问题等,这些都为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、丰富的背景.通过研究这些问题,可以进一步发展学生的符号意识,提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,发展模型思想. (2)突出知识之间的内在联系.不等式与方程、函数一样,都是反映客观事物变化规律及其关系的模型,函数能够刻画事物之间对应变化的过程,方程能够刻画某个变化过程的一瞬间,而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象.本章教科书充分注意了这三者之间的联系,并专设一节“一元一次不等式与一次函数”,意在引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函数、方程、不等式等重要的数学思想,发展几何直观. 具体来讲,第1节“不等关系”,用实例引入,使学生在归纳的过程中认识不等式模型,体会到生活中的不等关系大量存在,并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节“不等式的基本性质”,类比等式的基本性质研究不等式的基本性质,让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程,探索不等式的三条基本性质,使学生能够将不等式进行简单转化.第3节“不等式的解集”,用烟花引火线的实例引入,在建立不等式之后研究其解集及数轴表示,让学生结合实际意义来理解不等式的解集,并引导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节“一元一次不等式”,经历认识一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式,以及应用一元一次不等式的过程,逐步积累数学活动经验.本节设计了大量实际问题,如打折销售、知识竞赛等,意图是进一步培养学生的数学应用意识.第5节“一元一次不等式与一次函数”,研究一元一次不等式与一次函数的联系,发展学生对数学的综合认识,建立数学学科内部知识之间的联系,完善学生的认知结构,并运用这种联系解决一些简单的实际问题,发展学生的应用意识.第6节“一元一次不等式组”,将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题,再借助数轴确定其解集. 【重点】 1.不等式的基本性质. 2.不等式(组)的解法. 3.不等式(组)的解集及不等式(组)解集的数轴表示. 4.不等式与一次函数的关系. 【难点】 1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程. 2.不等式及不等式组的解法. 3.根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题. 数学教学是数学活动的教学,是师生交流、互动和共同发展的过程,教学中,要将学生推到学习的前沿,注重发挥学生的学习主体性和主观能动性. 1.关注与旧知识的联系,提高思维能力. 有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始.教学过程中,要关注不等式、函数、方程的内在联系,不等关系与相等关系的辩证关系,要类比等式(方程)进行不等式的教学,这样不仅有利于学生认识不等式,而且可以使学生体会知识之间的内在联系,从整体上把握知识,发展学生的辩证思维.例如,在研究不等式的基本性质时,可以类比等式的基本性质,并比较其异同. 2.设置丰富的问题情境,体会知识的发生、发展过程. 教学中,要充分发挥教科书中“做一做”“想一想”“议一议”等栏目提供的问题情境,组织学生进行探究性学习.例如,在“不等关系”一节的教学中,要让学生经历探索不等式模型的形成过程,要给学生留有充分的思考与活动时间,使其初步体会学习不等式的价值,通过充分经历观察、试验、归纳、类比、概括和数学表示的过程,自然过渡到“模型化”,教师不要急于求成,要关注学生学习能力的提高. 3.恰当把握打牢基础与培养能力的关系. 不等式的基本性质、不等式(组)的解法及不等式(组)解集的数轴表示是学生后续学习的重要基础和必备技能,一定量的练习是完全必要的,但不宜停留在简单的模仿训练与机械记忆的层次上,更不必强调解不等式(组)的步骤,要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变为另一种形式,它的解集为什么能在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解集,发展其代数变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式(组)的基本训练要自始至终加以关注,而不宜一步到位突击训练.如解决一些实际问题时,建立不等式模型之后要关注其求解过程、结果的准确性、解释结果的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会解不等式(组)与解方程(组)的异同. 4.恰当把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考. 对于一元一次不等式(组)的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背景的题目的难度要控制在教科书例题、习题的难度以下,不要人为加大难度.相应地,教师要鼓励学生自主探索与合作交流,引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等活动.同时,要鼓励解法的多样性,如对某些实际问题,学生可用方程、函数知识处理,只要学生的解法合理,就应当予以鼓励,不必强求统一.重要的是发展学生的思维策略,促进学生一般数学观的建立. 5.关注学生的个体差异,提高学生的学习积极性. 教学过程中,要尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.《标准》指出:“学生的个体差异表现为认知方式与思维谋略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要.”本章教学要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出错,对学习有困难的学生,教师要耐心倾听他们的看法,适时引导,增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力的学生,要多提供一些材料,指导他们自学,发展他们的数学才能.例如,对于本章“读一读”中一元一次不等式组的应用的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实际问题,从中体会最优化思想. 1 不等关系 1课时 2 不等式的基本性质 1课时 3 不等式的解集 1课时 4 一元一次不等式 2课时 5 一元一次不等式与一次函数 2课时 6 一元一次不等式组 2课时 回顾与思考 1课时
1 不等关系 1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义. 2.初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型. 1.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力. 2.在探索中发展学生归纳、猜想的能力及有条理地表达的能力.
培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,从交流中受益. 【重点】 1.不等式概念的总结. 2.建立不等关系. 【难点】 从现实情境中建立不等关系. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习课本有关知识. 导入一: 师:我们学过等式,等式的定义是什么? 生:表示相等关系的式子叫等式. 师:我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些含有不等关系的例子. (同学们各抒己见) 生1:每天我都比弟弟早起5分钟. 生2:我的年龄不小于13岁. 生3:我的体重不低于30公斤. [设计意图] 通过这一活动,使学生体会到不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质. 导入二: 教师用课件出示商品图片,如:手机、电视、冰箱、电脑、电话等,说明规则:男、女生各派一名代表,看教师出示的商品,猜商品的价格,时间为一分钟,谁在一分钟之内猜出的商品多,谁就获胜.男先女后. 如:教师出示一部彩屏手机的图片,请学生猜价格.“高了”指所猜价格大于手机真实价格,“低了”指所猜价格小于手机真实价格,只有1460元才和这部手机的真实价格相等. 通过游戏,大家也发现了相等是一种特殊情况,而不等是一般情况.现实生活中存在着大量的不等关系,研究这些不等关系有助于我们把握事物的变化规律. [设计意图] 使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生的学习兴趣. 一、不等式的概念 思路一 [过渡语] 同学们,我们如何用式子来表示不等关系呢?现在我们来看下面的问题. 【课件1】 (1)如果某等腰三角形的底边长为a cm,这边上的高为4 cm,且这个三角形的面积不大于8 cm2,那么a应该满足的关系式为 (注意“不大于”的含义); (2)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别为 a cm,b cm,c cm, 请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 . 【课件2】 某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为x m(x≤5)的装潢条镶嵌(不计接缝),现有两种设计方案,如下图所示. (1)填写下表: 通风口规格 x满足的关系式 正方形面积不大于1 m2 圆的面积不大于1.5 m2 (2)探究: x/m 正方形的 面积/m2 圆的面 积/m2 S正与S圆 的关系 1 4 5 【课件3】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式. 总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”) [设计意图] 通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系. 思路二 [过渡语] 既然不等关系在现实生活中并不少见,那么大家肯定接触过不少,如何用式子表示不等关系呢?请看下面的问题. 【课件1】 如图所示,用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2, 那么绳长l应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式? (3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?改变l的取值再试一试,由此你能得到什么猜想? 【课件2】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6 cm,在一定生长期内每年增加约3 cm,设经过x年后这棵树的树围超过30 cm,请你列出x满足的关系式. 总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”) [设计意图] 通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重要模型,并初步感知最优化思想. 二、例题讲解 [过渡语] 刚刚我们学习了什么是不等式,现在我们通过下面的例题来看看同学们理解得怎么样. (补充例题)用不等式表示下列关系. (1)a是正数; (2)a是负数; (3)a与6的和小于5; (4)x与2的差不小于-1; (5)x的4倍不大于7; (6)y的一半小于3. 解:(1)a>0. (2)a<0. (3)a+6<5. (4)x-2≥-1. (5)4x≤7. (6)y<3. [设计意图] 对本节知识进行巩固练习,及时反馈,使学生会运用适当的不等号表示不等关系. 本课我们主要学习了根据题意列出不等式,并由此总结出不等式的概念.在列不等式时,要特别注意“不大于”“不小于”等词语的含义,通过表示不等关系的式子归纳出不等式的概念. 1.下面给出了5个式子:①3>0;②4x+3y>0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤3.其中不等式有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析:根据不等式的定义可知不等式为①②⑤.故选B. 2.a,b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是 ( ) A.a>0,b<0 B.a<0,b>0 C.ab>0 D.以上均不对 解析:根据数轴上的位置可知a>0,b<0,所以ab<0.故选A. 3.a是非负数的表达式是 ( ) A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.|a|≥0 解析:非负数就是大于或等于零的数.故选B. 4.用不等号连接下列各组数: (1)- -; (2)x2+1 0. 解析:两个负数,绝对值大的反而小.因为<,所以->-;因为x2≥0,所以x2+1>0. 答案:(1)> (2)> 5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为 . 答案:3y+4x<0 6.一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒,假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒,如果这名运动员破纪录,那么 ;如果这名运动员没破纪录,那么 . 答案:x<11.7 x≥11.7 7.用适当的符号表示下列关系: (1)a的2倍比a与3的和小; (2)y的一半与5的差是非负数; (3)x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差. 解:(1)2a<a+3. (2)y-5≥0. (3)3x+1<2x-5. 8.用不等式表示下列关系: (1)一个数的平方是非负数; (2)某天的气温不高于 25 ℃. 解:(1)设这个数为x,则x2≥0. (2)设这天的气温为t ℃,则t≤25. 1 不等关系 一、不等式的概念 二、例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第38页随堂练习的1,2题. 【选做题】 教材第38页习题2.1的1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列不等关系一定正确的是 ( ) A.|a|>0 B.-x2<0 C.(x+1)2≥0 D.a2>0 2.小林在水果摊上称了2斤苹果,摊主称了几个苹果说:“你看秤,高高的.”如果设苹果的实际质量为x斤,用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是 ( ) A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2 【能力提升】 3.若0<a<1,则用“<”连接a,1,的结果为 . 4.从2,3,4,5,6中任取两个数组成一组数,其中两数之和小于10的数组共有 组. 5.有如下图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个长方形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,这种大小关系可以用含字母a,b的不等式表示为 . 【拓展探究】 6.用不等式表示下列关系:a与b的和大于a的2倍且小于b的3倍. 7.某班同学去春游花了250元包租了一辆客车,如果参加春游的同学每人交8元钱租车费,还不够,如果每人交9元,还用不了.用不等式表示出上述问题中存在的不等关系. 8.工人小王4月份计划生产零件270个,前 10天平均每天生产5个,后来改进技术,提前3天超额完成任务.设小王10天之后平均每天生产零件x个,请你试着写出x所满足的关系式. 9.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不答或答错一题扣2分.某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式) 10.比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”),并回答问题. (1)32+42 2×3×4; (2)22+22 2×2×2; (3)12+ 2×1×; (4)(-2) 2+52 2×(-2)×5; (5)+ 2××. 观察上面的算式,请你用含字母a,b的式子来表示上面算式反映的一般规律. 【答案与解析】 1.C 2.C(解析:“高高的”的意思是苹果的实际质量大于2斤.故选C.) 3.a<1<(解析:用特殊值法解决.设a=,则=2,所以a<1<.故填a<1<.) 4.8(解析:将所有情况列举出来,然后判断即可.) 5.a2+b2>ab(a>b)(解析:由图可看出图(1)的面积是a2+b2,图(2)的面积是ab.再根据图形面积的大小关系,可得a2+b2>ab(a>b).故填a2+b2>ab(a>b).) 6.解:2a<a+b<3b. 7.解:设参加春游的同学共有x人,根据每人交8元钱租车费,还不够,可得8x<250;根据每人交9元,还用不了,可得9x>250. 8.解:5×10+(30-10-3)x>270. 9.解:设该同学应答对x道题,依题意有6x-(16-x)×2>60. 10.解:(1)> (2)= (3)> (4)> (5)> a2+b2≥2ab(当a=b时取等号). 本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展了学生的符号感与数学化的能力. 本节课还是有很多的不足,学生平时缺少锻炼,使得课堂气氛没有达到最好的效果.学生在进行自主合作探究时,特别是在进行讨论时,有时讨论会偏离中心,提出一些与本节课内容无关的问题. 在教学中,充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习. 随堂练习(教材第38页) 2.解:(1)a≥0. (2)c>a,c>b. (3)x+17<5x. (4)a2+b2≥2ab(设这两个数分别为a和b). 习题2.1(教材第38页) 1.解:(1)3x+8>5x. (2)x2≥0. (3)S1>S2(S1表示地球上的海洋面积,S2表示地球上的陆地面积). (4)x>2y(x表示老师的年龄,y表示你的年龄). (5)m1>m2(m1表示铅球的质量,m2表示篮球的质量). 3.解:(1)600x+100(10-x)≥4200. (2)8x+4(10-x)≤72. 4.解:(1)0<x≤5. (2)0<y≤10. 深化对不等式的认识 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章教科书首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数之间的内在联系,遵循由浅入深的原则,体现数学中的数形结合思想. 本章教科书在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系.通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,但面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在小学,学生已经学过一些关于不等关系的相关知识,知道生活中大量存在着不等关系,了解“>”“<”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学语言表达.在相关知识的学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础. 班级50名学生上体育课,老师出了一道题目:现在拿来一些篮球,如果每5人一组玩一个篮球,那么有些同学没有球玩;如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.你们知道有几个篮球吗? 甲同学说:如果有x个篮球,那么有5x<50. 乙同学说:而且有6x>50. 丙同学说:还有6(x-1)<50. 你明白他们的意思吗? 解:甲同学说的意思是:如果每5人一组玩一个篮球,那么玩球的人数少于50人,即有些同学就没有球玩. 乙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人. 丙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,除了一个球以外,剩下的球每6人玩一个,还有几人(不足6人)玩另外一个篮球. 一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后,提出了一道有趣的问题.他说:比萨斜塔共有8层,其中顶层有12根石柱,中间6层,每层的石柱一样多,底层石柱只有中间每层石柱的一半,而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数.告诉你比萨斜塔由200多根石柱构成,但不会超过250根.则比萨斜塔由多少根石柱构成? 解:设比萨斜塔的底层有x根石柱,那么中间6层每层各有2x根,则比萨斜塔共有(13x+12)根石柱. 由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数,即x是5的倍数,因此x可取5,10,15,20,…. 当x取5,10时,总石柱数13x+12<200,不符合题意;当x取20时,13x+12>250,也不符合题意;当x=15时,13x+12=207,符合要求. 因此比萨斜塔由207根石柱构成.
2 不等式的基本性质 1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式. 1.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯. 2.通过类比等式的基本性质研究得到不等式的基本性质,体会类比的数学思想. 3.进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力. 1.通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心. 2.尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解. 【重点】 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. 【难点】 能根据不等式的基本性质进行化简. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习上一节不等关系的知识及等式的基本性质. 导入一: 请班上同学站在不同的位置上比高矮.在最高的同学和最矮的同学同时站在地面上、矮的同学站在桌子上、高的同学站到楼梯的下一层三种不同的情况下比较高矮.怎样比较才公平? [设计意图] 让学生体会当两位同学同时增高或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实. 导入二: 师:我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗? 生:记得.等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.等式的基本性质2:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. 师:不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将研究不等式的基本性质. [设计意图] 基于学生对等式的基本性质的认识,采用类比的方式进行教学,使学生接受起来比较容易. 一、不等式的基本性质 思路一 [过渡语] 同学们,你们还记得等式的基本性质吗?请用字母表示出来.不等式也有类似的性质吗?先猜一猜. 小组活动,共同探究,解决下列问题: (1)用等号或不等号完成下面的填空. 已知2<3,那么: 2×5 3×5; 2× 3×; 2×(-1) 3×(-1); 2×(-5) 3×(-5); 2× 3×. (2)用字母表示你所发现的结论. (3)与同伴交流你的结论,并展示. 生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:若a=b,则a±c=b±c.类似地,不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.用字母表示为:若a>b,则a±c>b±c. 生2:等式的基本性质2用字母可以表示为: 若a=b,则ac=bc,=(c≠0).经过前面的探索,可类似地得到:如果不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用字母表示为:若a>b,c>0,则ac>bc,>;若a>b,c<0,则ac<bc,<. 总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. [设计意图] 通过等式的基本性质类比得到不等式的基本性质,由特殊的数值到用字母代表数,并从中归纳出一般性结论,进一步发展学生的符号感和提出问题、分析问题、解决问题的能力. 思路二 [过渡语] 等式的基本性质我们已经掌握了,那么不等式的基本性质是否和等式的基本性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法. 生:已知3<5,且3+2<5+2,3-2<5-2,所以3+a<5+a,3-a<5-a,即在不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变. 师:很好.不等式的这一条性质和等式的基本性质相似.下面继续进行探究. 生1:已知3<5,且3×2<5×2,3×<5×,所以3•a<5•a,即在不等式的两边都乘同一个数,不等号的方向不变. 生2:不对.如3<5,但3×(-2)>5×(-2),所以他的总结是错的. 师:看来大家有不同意见,请大家互相讨论后举例说明. 生3:已知3<4,且3×3<4×3,3×<4×,3×(-3)>4×(-3),3×(-5)>4×(-5),由此看来,在不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向改变. 师:非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导. 生:当不等式的两边都除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边都除以同一个负数时,不等号的方向改变. 师:由此,大家可以总结得出不等式的基本性质2和基本性质3,同学们要学会灵活运用. 总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. [设计意图] 以问题的形式引导学生用类比的方法先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后总结、归纳出性质.在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁指引. 二、例题讲解 [过渡语] 刚刚我们学习了不等式的基本性质,下面我们通过几个例题来看看同学们理解得怎么样. (补充例题)用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>.你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗? 解:∵4π<16,∴>,由题意可知l2>0, 根据不等式的基本性质2, 此不等式两边都乘l2,可得> . (教材例题)将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1; (2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1, 两边都加5,得x>-1+5,即x>4. (2)根据不等式的基本性质3, 两边都除以-2,得x<-. [设计意图] 在讲解例题的过程中,要求学生说出每一步变形的依据,能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的. [知识拓展] 不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.它们的区别和联系是: (1)区别:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时,等式仍然成立;在不等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若乘(或除以)的是正数,则不等号方向不变,若乘(或除以)的是负数,则不等号的方向改变. (2)联系:不等式的基本性质和等式的基本性质都讨论的是在两边都加(或减)、都乘(或除以,除数不为0)同一个数时的情况,且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似. 1.不等式的基本性质的推导. 2.不等式的基本性质. 基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变; 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 3.利用不等式的基本性质进行简单的化简. 1.如果m<n<0,那么下列结论中错误的是 ( ) A.m-9<n-9 B.-m>-n C.> D.>1 答案:C 2.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是 ( ) A.a>b B.ab>0 C.<0 D.-a>-b 答案:D 3.由不等式ax>b可以推出x<,那么a的取值范围是 ( ) A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0 答案:B 4.若m<n,比较下列各式的大小: (1)m-3 n-3; (2)-5m -5n; (3)- -; (4)3-m 2-n; (5)0 m-n; (6)- -. 答案:(1)< (2)> (3)> (4)> (5)> (6)< 5.用“>”或“<”填空. (1)如果x-2<3,那么x 5; (2)如果-x<-1,那么x ; (3)如果x>-2,那么x -10; (4)如果-x>1,那么x -1. 答案:(1)< (2)> (3)> (4)< 6.由x<y得到ax>ay的条件是 . 答案:a<0 7.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式. (1)4x>3x+5; (2)-2x<17. 解:(1)x>5. (2)x>-. 8.若<,试判断a的正负性. 解:根据不等式的基本性质3, 两边都乘-12,得3a>4a. 根据不等式的基本性质1, 两边都减去3a,得0>a, 即a<0,所以a为负数. 2 不等式的基本性质 一、不等式的基本性质 二、例题讲解 一、教材作业 【必做题】 教材第41页随堂练习的1,2题. 【选做题】 教材第42页习题2.2的1,2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.如果t>0,那么a+t与a的大小关系是 ( ) A.a+t>a B.a+t<a C.a+t≥a D.不能确定 2.如果<,那么a必须满足 ( ) A.a≠0 B.a<0 C.a>0 D.a为任意实数 3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是 ( ) A.cb>ab B.ac>ab C.cb<ab D.c+b>a+b 4.下列说法: ①若a<b,则-a>-b; ②若xy<0,则x<0,y<0; ③若x<0,y<0,则xy<0; ④若a<b,则2a<a+b; ⑤若a<b,则>; ⑥若<,则x>y. 其中正确的说法有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.2a与3a的大小关系 ( ) A.2a<3a B.2a>3a C.2a=3a D.不能确定 【能力提升】 6.若x+y>x-y,y-x>y,则下列结论:①x+y>0;②y-x<0;③xy≤0;④<0.其中正确结论的序号为 . 7.满足-2x>-12的非负整数有 . 8.若ax>b,ac2<0,则x . 9.如果x-7<-5,那么x ;如果->0,那么x . 10.当x 时,代数式2x-3的值是正数. 【拓展探究】 11.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式. (1)0.3x<-0.9; (2)x<x-4. 12.下列各式分别在什么条件下成立? (1)a>-a; (2)|a|>a. 【答案与解析】 1.A(解析:∵t>0,∴根据不等式的基本性质1可得a+t与a的大小关系是a+t>a.故选A.) 2.C 3.A(解析:由数轴可知a>0,c<b<0,根据不等式的基本性质可知A正确.故选A.) 4.B(解析:①不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,所以①正确;②若xy<0,则x,y异号,所以②不正确;③若x<0,y<0,负负相乘得正,则xy>0,所以③不正确;④若a<b,则a+a<a+b,即2a<a+b,所以④正确;⑤若a<0<b,则<,所以⑤不正确;⑥若<,不等式两边同时乘2,再减去1,得到-x<-y,两边再同时除以-1,不等号的方向改变,则得到x>y,所以⑥正确.故正确的说法有3个.故选B.) 5.D(解析:要分a>0,a<0和a=0三种情况讨论,再根据不等式的基本性质来确定2a与3a的关系.故选D.) 6.④(解析:根据题意可判断出x<0,y>0,所以x-y<0;y-x>0;xy<0;<0.x+y的符号不能确定.所以④正确.故填④.) 7.0,1,2,3,4,5 8.<(解析:因为ac2<0,c2>0一定成立,所以有a<0.根据不等式的基本性质:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,在ax>b的两边同时除以负数a,即可得到x<.故填<.) 9.<2 <0 10.>(解析:若代数式2x-3的值是正数,则得到一个关于x的不等式2x-3>0,根据不等式的基本性质可得x>.故填>.) 11.解:(1)不等式的两边都除以0.3,得x<-3. (2)不等式的两边都减去x,得x<-4,在此不等式的两边都乘2,得x<-8. 12.解:(1)在不等式a>-a的两边同时加上a,得到2a>0,在此不等式的两边同时除以2,得到a>0,即当a>0时,不等式a>-a成立. (2)∵|a|>0,|a|>a,∴a<0.即当a<0时,不等式|a|>a成立. 本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质.教学中设置问题,通过与等式的基本性质相对比,引导学生自己先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后自己总结、归纳、完善性质并能用字母表示出来.在接下来讲解例题与练习的过程中,学生对不等式每一步变形的依据都能够正确回答,充分掌握了不等式的基本性质. 对于不等式的基本性质的应用,采用老师问学生答的形式,没有照顾到全体学生.不等式基本性质的总结没有放手让学生自己进行概括. 利用学生的好奇心设疑、解疑,组织有效的教学活动,使学生积极参与,大胆猜想,在自主探索和合作交流的过程中理解和掌握本节课的内容,力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动,体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体. 随堂练习(教材第41页) 1.解:(1)x>3. (2)x>-. (3)x≤6. 2.解:
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