机械能守恒与能量守恒定律经典习题.doc

专题二 机械能守恒与能量守恒
［高考要求］
内 容
要求
重力势能、做功与重力势能改变的关系
Ⅱ
弹性势能
Ⅰ
机械能守恒定律
Ⅱ
能量守恒定律
II
本专题涉及的考点有：重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、能量转化及守恒定律都是历年高考的必考内容，考查的知识点覆盖面全，频率高，题型全。机械能守恒定律、能的转化和守恒定律是力学中的重点和难点，用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之一。
《考纲》对本部分考点要求为Ⅱ类有三个。考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒定律、电磁学等方面知识综合，物理过程复杂，综合分析的能力要求较高，这部分知识能密切联系生活实际、联系现代科学技术，因此，每年高考的压轴题，高难度的综合题经常涉及本专题知识。它的特点：一般过程复杂、难度大、能力要求高。还常考查考生将物理问题经过分析、推理转化为数学问题，然后运用数学知识解决物理问题的能力。所以复习时要重视对基本概念、规律的理解掌握，加强建立物理模型、运用数学知识解决物理问题的能力。
由于新课程标准更注重联系生活、生产实际，更重视能源、环保、节能等问题，因此，能量的转化及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所体现，师生们应引起足够的重视。
［知识体系］

功

机械能
动能：
EK=
重力势能：EK=mgh
弹性势能：

动能定理：
W合=
抛体运动
单摆
弹簧振子
功能关系：
WG=mgh1-mgh2
W弹力=
W其它=
机械能守恒定律
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
能的转化及
守恒定律

［知识点拨］
1、机械能守恒定律
机械能守恒的条件：系统内只有重力（或弹力）做功，其它力不做功（或没有受到其它力作用）
①从做功的角度看，只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功，机械能守恒。
②从能量的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，没有机械能与其他形式能量之间的转化，机械能守恒。
机械能守恒的方程：
①初始等于最终：
②减少等于增加：
用第二种方法有时更简捷。
对机械能守恒定律的理解：
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟弹性势能相关的弹力做功。在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能，而不涉及运动的各个过程的详细情况；因此，用来分析某些过程的状态量十分简便。
机械能中的势能是指重力势能和弹性势能，不包括电势能和分子势能，这一点要注意。
思维误区警示：
对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。
2、能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。
（2）对能量守恒定律的理解：
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（3）能量转化和转移具有方向性
第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。
3、各定理、定律对比

适用条件
表达式
研究对象
备注
*动量守恒定律
系统所受的合外力为零
P总0=P总t
一定是两个物体或两个以上物体组成的系统
注意动量守恒和机械能守恒的条件的区别
机械能守恒定律
只有重力或弹簧的弹力做功时
E1=E2
△EP减=△Ek增
一个或多个物体组成的系统
E为机械能
能量守恒定律
均适用
E总1=E总2
△E减=△E增
一个或多个物体组成的系统
E为总能量；自然界均遵从能量守恒。
4、求各变化量（△Ek、 △EP、△E机）的常用方法：

常用方法
求△Ek
ΔEk=EK2-EK1
ΔEk = W合 通过求合外力做功求动能的变化量（更常用）
求△EP
△EP=EP2-EP1
ΔEP= WG =mgΔh通过求重力做功求ΔEP； 当WG 做正功时，EP减小；当WG 做负功时，EP增加( 常用）
求△E机
△E机=E2-E1
ΔE机=WG其它 通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量（更常用）
5、重力做功的特点：
WG=EP1-EP2=mgΔh
重力做功与路径无关
重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加
注意：ΔEP和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）
［专题探究］
（一）利用机械能守恒定律求解抛体运动问题
案例1、从离水平地面高为H的A点以速度v0斜向上抛出一个质量为m的石块，已知v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：
图1
(1)石块所能达到的最大高度
(2)石块落地时的速度
命题解读：本题研究抛体运动中的机械能守恒定律。斜抛运动的水平分运动是匀速直线运动，因此石块在最高点的速度是抛出初速度的水平分量。石块只受重力的作用，机械能守恒。
分析与解：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守恒，作出石块的运动示意图
（1）设石块在运动的最高点B处与抛出点A的竖直高度差为h，水平速度为vB，
则vB=vOx=v0cosθ
石块从A到B，根据机械能守恒定律ΔEk减=ΔEp增
得：mgh=mv02-mvB2
联立得：
则石块所能达到的（距地面）最大高度为：H+h=H+
（2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A至落地点C的整个运动过程应用机械能守恒定律得mvC2=mv02+mgH
解得石块落地时的速度大小为：vC=
变式训练：
某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。弧形轨道末端水平，离地面的高度为H。将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s．
（1）若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足s2＝　　　　　　（用H、h表示）。
（2）该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：

   请在坐标纸上作出s2--h关系图．。
（3）对比实验结果与理论计算得到的s2--h关系图线（图中已画出），自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速度 　　　　　（填“小于”或“大于”）理论值．
（4）从s2--h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是 　　　　　　．
动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大。
解析：（1）由钢球在弧形槽上运动，机械能守恒：

离开弧形槽后，钢球做平抛运动：
水平方向：
竖直方向：
联立解得：s2=4Hh
（2）由实验数据作图，得到一条通过原点的斜率比理论图线小的直线。
（3）实验图和理论图比较可以发现，小球从相同高度下落，对应的s实<s理，又s∝v，说明自同一高度静止释放的小球，水平抛出的速率小于理论值。
（4）实验中速率差十分明显，可能是一部分重力势能转变成钢球的转动动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大的原因。
（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题
图
案例2、 如图所示，一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数为k的轻质弹簧上。求：当物体速度达到最大值v时，弹簧对物体做的功为多少?
命题解读：弹簧的弹力是变力，弹力做功是变力做功，本题由于形变量不清楚，不能运用F—l图象求弹力做的功；只能根据机械能守恒定律先求解出弹性势能的变化，再运用功能关系求解弹力做的功。同时要注意物体在平衡位置时动能最大，运动的速度最大。
分析与解：在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F逐渐增大，物体的加速度a逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v。设物体向下的速度v最大时，弹簧的形变量即压缩量为x，则
平衡时：mg=kx
物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。
当物体速度达到最大v时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有：
mg(h+x)=mv2+Ep
由上面两式可得：Ep=mgh+-mv2，
由功能关系可知，弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等。故弹簧对物体所做的功为：W=-Ep=mv2-mgh-
变式训练：
O A B
变式1、如图所示的弹性系统中，接触面光滑，O为弹簧自由伸长状态。第一次将物体从O点拉到A点释放，第二次将物体从O点拉到B点释放，物体返回到O点时，下列说法正确的是：（ ）
A、弹力做功一定相同
B、到达O点时动能期一定相同
C、物体在B点的弹性势能大
D、系统的机械能不守恒
解析：弹簧的形变不同，弹力做功不同，A错。弹力做功不同，弹性势能的减少量不同，由机械能守恒定律知，物体回到O点的动能不同，B错误。物体在B点形变最大，弹性势能最大，C正确。系统只有弹力做功，机械能一定守恒，D错误。
正确答案选C。
变式2、如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m1+ m3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g
解析： 开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为，有
挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为，
有
B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

联立解得
（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题
图2
案例1、如图所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l>h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是多少?
命题解读：本题考查系统机械能守恒定律。对每个小球而言，由于绳子的拉力做功，每个小球的机械能不守恒。而且只能分段运用机械能守恒定律求解。运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比较麻烦。
分析与解：当A小球刚要落地时，三小球速度相等设为v1，三个小球机械能守恒。
解得：
图
当B球刚要落地时，B、C机械能守恒。B、C有共同速度，设v2
解得：
可见：C球离开桌边时的速度大小是
变式训练：
R
M
m
变式1、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M的速度和两小球的质量之比。
解析：对系统运用机械能守恒定律

M在最高点时，

联立解得：
变式2、如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图中位置释放（无初速度），则小球在下摆过程中（ ）
A．绳对小车的拉力不做功 B．绳对小球的拉力做正功
C．小球的合外力不做功 D．绳对小球的拉力做负功
解析：由于绳子的拉力对物体做功，每个物体的机械能不守恒。对系统没有机械能的能量损失，因此系统的机械能是守恒的。小球由静止开始做变速曲线运动，动能增加，合力做正功，C错误。小车在拉力作用下运动，绳子对小车的拉力做正功，绳子对小球的拉力做负功，D正确，A、B错误。
正确答案：D

（四）利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题
案例3 如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？
命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一部分来讲都是变力，运用动能定理难以解决过程中变力做的功。但运用机械能守恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态，不必考虑运动过程，因此解题就简单了。此类问题的重力势能要取每部分的中心，要选好参考平面，尽量使解题简捷。
分析与解：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒。以桌面为重力势能参考面
松手时，桌外部分的质量为ｍ，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－ｍgL＝－mgL
铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下L处
此时铁链的重力势能为：－
设此时铁链的速度为v，由机械能守恒定律有：

解得：
故铁链末端经过桌边时，铁链的运动速度是
变式训练：
变式1、如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5，现将铁链由静止释放，当多少？
解析：选取滑轮中心水平线为参考平面，设绳子总长为l
根据系统机械能守恒定律：

解得铁链子刚刚离开滑轮时，链子的运动速度是：

图16
v0
R
变式2、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道？
解析：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小值v，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为λ，则有：

要使列车能通过圆形轨道，则必有v>0
解得
（五）利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题
案例5、粗细均匀的U型管两端开口，左端用活塞压着液体，此时两液面的高度差为h，液体的总长度为L，U型管的截面积为s，液体的密度为ρ。现在突然抽去活塞，（1）不计阻力影响，当两端液面相平时，液体运动的速度是多少？（2）若最终液体静止不动，则系统产生的内能是多少？
命题解读：流体的运动也是“变力”作用的运动，但在一定的位置流体的运动状态是一定的。研究流体的运动速度，能量问题，最好运用机械能守恒定律和能量转化及守恒定律。研究的方法是把变质量看作定质量，运用“补偿法”、“等效法”、“整体法”、“对称法”去解决问题。
分析与解：（1）若不计阻力。如图所示，当两端液面相平时，可以等效地认为是把高度为的液体对称地补偿到另一端，看成是定质量问题。系统重力势能的减少量等于动能的增加量。
即：
解得两端液面相平时，液体运动的速度是
（2）根据能量转化及守恒定律，系统重力势能的减少量等于内能的增加量
所以增加的内能是：
变式训练：
如图所示,容器A、B各有一个可以自由移动的活塞,活塞截面积分别为SA、SB,活塞下面是水,上面是空气,大气压恒为P0,A、B底部与带有阀门K的管道相连,整个装置与外界绝热原先,A中水面比B中高h,打开阀门,使A中水逐渐流向B中,最后达平衡,在这个过程中,大气压对水做功为______,水的内能增加为______(设水的密度为ρ)
解析：（1）设平衡时，左侧水面下降高度hA，右侧水面下降高度hB，
两侧体积相等，即：
左侧大气压对水做正功：
右侧大气压对水做负功：
大气压对水做的总功为W=WA+WB=0
（2）由能量转化及守恒定律得：
水的内能增加
（六）利用机械能守恒定律解决圆周运动的问题
当系统内的物体都在做圆周运动，若机械能守恒，则可利用机械能守恒定律列一个方程，但未知数有多个，因此必须利用圆周运动的知识补充方程，才能解答相关问题。
图16
A
B
案例6、如图所示，半径为r，质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
命题解读：这是一道机械能与圆周运动综合的问题，注意到两球任意时刻的角速度相等。过程中系统的始态、末态的重力势能，因参考面的选取会有所不同，但重力势能的变化是绝对的，不会因参考面的选取而异。机械能守恒的表达方式可记为：，也可写作：。
分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为vA，B
θ
图17
球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：

据圆周运动的知识可知：vA=2vB
由上述二式可求得vA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图17所示），则据机械能守恒定律可得：

解得θ=sin-1=370
变式训练：
D
d
L
O
m
B
C
A
图15
小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d的取值范围。
解析： 为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零，即有：

根据机械能守恒定律可得
由以上两式可求得：
（七）用能量守恒解相对运动问题
案例7、如图所示，小车的质量为，后端放一质量为的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为，它们一起以速度沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？
命题解读：本题考查动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律。两个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力Ff与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即。利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。
分析与解：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向，设共同速度为，则：
解得：
以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为S车
则：
即：
系统损耗机械能为：

；
变式训练：
变式1、如图4-4所示，质量为M，长为L的木板（端点为A、B，中点为O）在光滑水平面上以v0的水平速度向右运动，把质量为m、长度可忽略的小木块置于B端（对地初速度为0），它与木板间的动摩擦因数为μ，问v0在什么范围内才能使小木块停在O、A之间？
解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒。设木块、木板相对静止时速度为 v，
则 (M +m)v = Mv0
能量守恒定律得：
滑动摩擦力做功转化为内能：
相对位移的范围是：
解得v0 的范围应是：
≤v0≤
变式2、在光滑水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的轻弹簧牢固连接，弹簧的另一端与小车左端连接。将弹簧压缩x0后用细线把物体与小车拴住，使物体静止于车上A点，如图4所示。物体m与小车间的动摩擦因素为μ，O为弹簧原长时物体右端所在位置。然后将细线烧断，物体和小车都要开始运动。求：
　　（1）当物体在车上运动到距O点多远处，小车获得的速度最大？
　　（2）若小车的最大速度是v1，则此过程中弹簧释放的弹性势能是多少？
解析：（1）物块m和小车M组成的系统动量守恒。当物块速度最大时，小车的速度也最大。对物块m，速度最大时，加速度为零。
则有kx=μmg，所以x=μmg/k。
　　（2）由系统动量守恒，得Mv1-mv2=0，V2=Mv1/m
由能量守恒定律可知，，弹簧释放的弹性势能转化为动能和内能，有
△Ep=EkM+Ekm+Q
而Q=fs相对=μmg(x0-μmg/k)，
△Ep=Mv12(M+m)/2m+μmg(x0-μmg/k)
（八）用能量守恒解决传送带的运动问题
案例8、图7
如图7所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求（1）物体从A端运动到B端所需的时间是多少？（2）这个过程中系统产生的内能。(sin37°=0.6，cos37°=0.8)　 　　　　
命题解读：该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，若μ＞0.75，第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动；若L＜5m，物体将一直加速运动。因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出现两种结果的特殊过程都要进行判断。
分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

开始阶段由牛顿第二定律
图8
mgsinθ＋μmgcosθ=ma1　　
解得a1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s2　　
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间t1＝v/a1＝1s　　
发生的位移为s＝a1ｔ12＝5m＜16m　　
可知物体加速到10m/s时仍未到达B点　　
第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律
有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2 　　
所以a2＝2m/s2　　
设第二阶段物体滑动到B端的时间为t2
则LAB－s＝vｔ2＋a2ｔ22　　
解得t2＝1sｔ2′=-11s（舍去）　　
故物体经历的总时间ｔ=t1＋t2=2s　　
（2）W1=fs1=μmgcosθ·s1=10J
W2=-fs2=-μmgcosθ·s2= -22J
所以，W=W1+W2=10-22=-12J
故知系统发热产生的内能是12J
变式训练：
如图12所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。现把一质量m=10kg的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2。求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。
解析：由题意可知皮带长s=h/sin30°=3m.
工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移为
达到v0后做匀速运动的位移s-s1=v0（t-t1）
加速运动的加速度为a=v0/t1=2.5m/s2
工件受的支持力FN= mgcosθ，
对工件据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma
解出动摩擦因数为
在时间t1内，皮带运动位移s2=v0t1=1.6m
工件相对皮带的位移△s=s2-s1=0.8m
在时间t1内，摩擦生热Q=μmgcosθ△s=60J
工件获得的动能Ek=mv02/2=20J
工件增加的势能Ep=mgh=150J
电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep=230J

（九）用能量守恒解决热力学问题
案例9、如图6所示的A、B是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同之外，其他一切全同。将此两容器抽成真空，再同时分别插入两个水银池中，当水银柱停止运动时，问二管中水银的温度是否相同？为什么?设水银与外界没有热交换。
命题解读：本题主要研究液体内部能量的转化与守恒问题。液体中的能量问题除了重力势能，还有内能，要结合功能关系，搞清能量的守恒关系。
分析与解：不同。A管中水银的温度略高于B管中水银的温度。两管插入水银池时，大气压强均为P0，进入管中的水银的体积均为V，所以大气压力对两池中水银所做的功相同，但两装置中水银重力势能的增量不同，所以两者内能改变量也不同。由图可知，A管中水银的重力势能较小，所以A管中水银的内能增量较多，其温度应略高。
变式训练：
有人设计了这样一台“永动机”：如图，距地面一定高度架设一个水槽，水从槽底的管中流出，冲击一个水轮机，水轮机的轴上安装一个抽水机和一个砂轮．他指望抽水机把地面水槽里的水抽上去，这样循环不已，机器不停地转动，就可以永久地用砂轮磨制工件做功了。
请你分析一下，高处水槽中水的重力势能共转变成哪几种形式的能，说明这个机器是否能够永远运动下去。
解析：高处水槽中水的重力势能转变成了水的动能、砂轮磨制工件产生的内能，水轮机与轴摩擦产生的内能。
这个机器不可能够永远运动下去。一方面摩擦产生内能，损失机械能；另一方面抽水机向上抽水，消耗电能。
（十）用能量守恒解决电学问题
案例10、有一台内阻和损耗均不计的直流发电机，其定子的磁场恒定。先把它的电枢（转子）线圈与一个电阻R连接，再在电枢的转子轴上缠绕上足够长的轻绳绳端悬挂一质量为m的重物，如图9所示，重物最后以速率v1匀速下降。现将一电动势为E，内阻不计的电源，如图10所示，接入电路中，使发电机作为电动机用。悬挂重物不变，最后重物匀速上升。求重物上升的速率v2。
命题解读：本题涉及发电机与电动机的能量转化及守恒问题。一个是机械能转化为电能；另一个电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出。搞清能量守恒关系就能顺利解题。
分析与解：在图9的物理过程中，重物以速率v1匀速下降，带动发电机线圈匀速转动，切割磁感线产生感应电动势，将机械能转化为电能，在电路中消耗。由能量守恒定律可得：
mgv1t=I12Rt
在图10的物理过程中，电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出。
由能量守恒定律可得：EI2t=I22Rt+mgv2t
在两次工作过程中电机的线圈都匀速转动。作用在转轴上力矩都平衡，而两次重力矩相等，从而两次作用在线圈上的磁力矩相等，所以有： I1=I2
联立解得：
变式训练：
某一用直流电动机提升重物的装置，如图11所示，重物的质量m=50kg，电源电动势E=110V，不计电源电阻及各处摩擦，当电动机以v=0.90m/s的恒定速度向上提升重物时，电路中的电流强度I=5A，由此可知，电动机线圈的电阻R是多少?（g=10m/s2）。
解析：在图11的物理过程中，电源工作将其他形式的能转化电能输入电路，电流通过电机将电能转化为机械能输出
由能量守恒定律可得：
EIt=I2Rt+mgvt
解得电动机线圈的电阻R=4Ω.
（十一）用能量守恒解决电磁感应中的能量问题
案例11、如图16（a）所示，倾角为θ=37°，电阻不计，间距L=0.3m，长度足够的平行导轨所在处，加有磁感应强度B=1T，方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R=2Ω的电阻。另一横跨在平行导轨间的金属棒质量m=1kg，电阻r=2Ω，其与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上的初速度v0=10m/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端的电量Δq=0.1C（g=10m/s2，sin370=0.6），求上端电阻R上产生的焦耳热热Q。
命题解读：本题涉及到外力、重力、安培力、滑动摩擦力做功及动能、势能、内能的关系，重点考查电磁感应的受力分析与能量关系。
分析与解：金属棒以初速度v0向上滑行的过程中克服重力、安培力和摩擦力做功，动能分别转化为重力势能、电能和内能。从电路构成可知导轨上、下端电阻发出的热量相等，由焦耳定律可求出金属棒发热是R发热的四倍。由电磁感应定律可得△q=△φ/R，可求出金属棒扫过的面积和沿导轨上滑的距离。由电流定义式和并联电路规律，闭合电路欧姆定律和电磁感应定律，可得
2△q=I△t=E△t/R=△φ/R总
所以△φ=2△qR总=0.6Wb
由磁通量定义，可得△S=△φ/B=0.6m2
金属棒沿导轨上滑的距离L0为L0=△S/L=2m
金属棒沿导轨上滑的受力如图16（b）所示。金属棒所受各力中安培力是变力，其做负功使机械能转化为电能，进而变为内能。由能量守恒定律可得
Q总=mv02/2-mgLsinθ-μmgLcosθ=30J。
则上端电阻发热量Q=Q总/6=5J
变式训练：
如图17所示间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感强度为B的匀强磁场中，一端接阻值是R的电阻。一电阻是R0，质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t=0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律v=vmsinωt，不计导轨电阻。求：
（1）从t=0到t=2π/ω时间内电阻R产生的热量。
（2）从t=0到t=π/2ω时间内外力F所做的功。
解析：（1）导体棒产生的感应电动势e=BLvmsinωt是正弦交流电，
其有效值：
在△t=2π/ω=T的时间内，电阻R上产生的热量为：
Q=I2RT=πRB2L2vm/ω(R+R0)2
（2）t=0到t=π/2ω时间是1/4，在这段时间内对导体棒运用能量守恒定律有：
W外=mvm2/2 +Q′，Q′是这段时间内电阻R和R0产生的热量
Q′= E2/(R+R0)·π/2ω=πB2L2vm2/4ω(R+R0)
所示这段时间内外力所做的功是：
W外=mvm2/2 + πB2L2vm2/4ω(R+R0)
［误区分析］
误区一、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，忽视功能关系的概念。

典型案例1、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
错误解法：W=mgh+
应对办法：如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律先求解势能的变化，再根据弹力做功与弹性势能的关系求解弹力做的功。
走出误区：解法一 由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则：
系统机械守恒：mgh+=Ep+0
弹力做功：W弹力= 0-EP
解得： W弹簧= -（mgh+）= -125J
解法二 根据动能定理：
O
A
B

vA
vB
解得：W弹簧= -（mgh+）= -125J
误区二：误认为“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”都与杆或绳子垂直，都不做功，每个物体的机械能都守恒，忽视弹力做功的特点。
典型案例2、如图所示，在长为l的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
错误解法：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A、B两球均不做功。
应对办法：绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力对一个物体做正功，对另一个物体做负功，这一对作用力与反作用力做功的代数和为零，系统的机械能守恒。
走出误区：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：
2mgl=
又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上二式得：
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于A有
WA+mg= -0
所以WA=－mgl
对于B有WB+mgi=，所以WB=0.2mgl
误区三、误认为始末状态机械能守恒成立，忽视物体做圆周运动的过程特点。
典型案例3、如图所示，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球，L点是小球下垂时的平衡位置，Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OL直线上，N点在Q点正上方，且QN=QL，M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向L摆动，运动过程中空气阻力可忽略不计，小球到达L后。因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动，在此以后( )
图7
A．小球向右摆到M点，然后就摆回来
B．小球沿圆弧摆到N点，然后竖直下落
C．小球将绕Q点旋转，直线细绳完全缠绕在钉子上为止
D．以上说法都不正确
错误解法：因为全程只有重力做功，机械能一定守恒，从P到N运用机械能守恒定律，P点机械能为零，N点的机械能必为零，所以B正确。
应对办法：对于竖直面内的圆周运动问题，首先应该考虑圆周运动的临界条件，然后再考虑机械能守恒定律。运用机械能守恒定律常用关系：
。
走出误区：从P到M，根据机械能守恒定律得： vM>0 可见小球能够通过M点继续做圆周运动。A错误。
设QN=QL=R若使小球能够做圆周运动到达N点，至少有
根据机械能守恒定律，选取PN水平面势能为零。 要求PN两点的相对高度 小球不可能到达N点。B错误。
由上面的分析知道，小球只能在MN之间的某位置斜抛出去，C错误。
正确答案：D
误区四、误认为摩擦产生的热量就等于物体动能的增加，混淆能量的转化与守恒定律。
典型案例4、如图所示，传送带以v的初速度匀速运动。将质量为m的物体无初速度放在传送带上的A端，物体将被传送带带到B端，已知物体到达B端之前已和传送带相对静止，电动机的内阻不可忽略。则下列说法正确的是（ ）

A．传送带对物体做功为
B．传送带克服摩擦做功
C．电动机消耗的电能为
D．在传送物体过程产生的热量为
错误理解：两物体的相对位移就等于物体的对地位移，根据动能定理系统产生的热量就是物体动能的增加。D正确。
应对办法：这种解法结果虽然碰对了，但是理解却是完全错误的。首先能量守恒是对系统而言的，其次上述观点不符合能的转化及守恒定律。摩擦力对物体做了正功，物体的动能增加了，而物体的内能却也应该增加了，显然不符合能量转化及守恒定律。系统摩擦发热产生的内能，滑动摩擦力对系统做功是阻力做功才损失机械能，增加内能。
分析与解：物体先加速后匀速，在加速过程中滑动摩擦力对物体做功，使物体的动能增加，由动能定理知传送带对物体做功为，A正确。物体移动的位移是，皮带移动的位移是，根据功的定义，传送带克服摩擦做