正弦定理和余弦定理专题及解析.doc

正弦定理和余弦定理
教学目标　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角
或直角图形

关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A. B. C.2 D.3
解析　由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.
答案　D
3.(2017·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos＝，故选B.
答案　B
4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B. C.2 D.2
解析　因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
所以BC＝.
答案　B
5.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案　等腰三角形或直角三角形

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)
A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定
(2)(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(3)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
解析　(1)∵bsin A＝×＝，∴bsin A<a<b.
∴满足条件的三角形有2个.
(2)在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2＋3b，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1，因此AC＝1.
(3)因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.
又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，即＝，
解得b＝1.
答案　(1)B　(2)A　(3)1
【训练1】 (1)(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
(2)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
解析　(1)a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).
(2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，
可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
由正弦定理得b＝＝.
答案　(1)C　(2)
考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)
【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝.
答案　B
【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，
因为－π<A－B<π，所以A＝B.
法二　由正弦定理得2acos B＝c，
由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.
答案　B
【迁移探究2】 将本例条件变为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC(　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析　在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得
cos C＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形.
答案　C
【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状.
解　法一　利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，即c2＝b2＋c2－a2，
所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.
∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
法二　利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0，
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又0°<C<180°，所以C＝60°，
∴△ABC为等边三角形.
考点三　和三角形面积有关的问题
【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解　(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin B·cos A)＝sin C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
由C∈(0，π)知sin C≠0，
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin C＝，
又C＝，所以ab＝6，
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，
从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.
【训练2】 (2017·日照模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2a－b)cos C－ccos B＝0.
(1)求角C的值；
(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积.
解　(1)根据正弦定理，(2a－b)cos C－ccos B＝0可化为(2sin A－sin B)cos C－sin Ccos B＝0.
整理得2sin Acos C＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A.
∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos C＝.
又∵0<C<π，∴C＝.
(2)由(1)知cos C＝，又a＋b＝13，c＝7，
∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab＝49，解得ab＝40.
∴S△ABC＝absin C＝×40×sin＝10.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析　法一　∵S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，
即××1×sin A＝，∴sin A＝1，
由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.
法二　由正弦定理，得＝，即＝，
sin C＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.
答案　C
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于(　　)
A. B.
C.或 D.
解析　∵A＝，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得，
sin B＝sin A＝×＝.
∵A＝，∴B＝.
答案　D
3.(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
解析　因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案　B
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件.
答案　C
5.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A. B. C. D.
解析　在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，
即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
答案　C
二、填空题
6.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析　由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.
答案　4
7.(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.
解析　因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.
答案　
8.(2016·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
解析　在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
将A＝，a＝c代入，
可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，
整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，
得2＝＋，
可解得＝1.
答案　1
三、解答题
9.(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.
(1)求a和sin C的值；
(2)求cos的值.
解　(1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A＝3，
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.
由＝，得sin C＝.
(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin
＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.
10.(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解　(1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以
sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B.
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，
即∠B＝30°.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·郑州调研)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
解析　由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，
于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，∴cos A≥，
在△ABC中，A∈(0，π).
由余弦函数的性质，得0<A≤.
答案　C
12.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c＝(　　)
A.2 B.4 C.2 D.3
解析　∵＝2cos C，
由正弦定理，
得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，
由于0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，
∵S△ABC＝2＝absin C＝ab，∴ab＝8，
又a＋b＝6，解得或c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋16－8＝12，∴c＝2，故选C.
答案　C
13.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.
解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF<AB<BE.
在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－<AB<＋.
答案　(－，＋)
14.设f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.
解　(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立.
因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.