菱形地判定及性质.doc

(完整版)菱形地判定及性质
菱形的判定和性质

一、知识点归纳
(一）菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二)菱形的性质：
因为ABCD是菱形Þ
菱形是轴对称图形；

边
角
对角线
对称性
菱形
对边平行；
四边相等
对角相等；
邻角互补
互相垂直平分且平分对角
轴对称
（三）菱形的判定:
Þ四边形ABCD是菱形。
（四）菱形的面积
1、 可以用平行四边形的面积算（S=底×高）
2、 用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=ab)
A
B
C
D
E

二、例题讲解
考点一 ：菱形的判定
例1：下列命题正确的是（ )
（A） 一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B） 对角线相等的四边形一定是矩形
（C） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
练习
1：菱形的对角线具有（ )
A．互相平分且不垂直 B．互相平分且相等 C．互相平分且垂直 D．互相平分、垂直且相等
2：如图,菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，
则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
C．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
D
B
C
A
N
M
O

3:如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△ 沿线段翻折,使点落在边上,记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A．是△的中位线 B．是边上的中线
C．是边上的高 D．是△的角平分线
A
B
C
D

4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③

A
B
D
C
F
E
A
B
C
D
F
E
例2 ：已知AD是△ABC的平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F，则四边形AEDF是什么四边形？
请说明理由．

变化：若D是等腰三角形底边BC的中点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F,
则四边形AEDF是什么四边形？请说明理由．

课后练习
1：如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F,
C
A
D
B
E
F
G
试说明四边形AEFG是菱形．

2：如图,E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H,交CB延长线于点F，交AB于点G，求证：AB与EF互相平分。

3：如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，∠BAC＝60°,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证:四边形ACEF是菱形。

考点二：菱形的性质
例1:如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点,且∠DEA＝∠ACB＝45°，BG⊥AE于G,
求证:（1）四边形AFGD是菱形； （2)若AC＝BC＝10，求菱形的面积。

练习
1：如图,在菱形ABCD中，E是AB中点,且DE⊥AB，AB＝4，
求：（1）∠ABC的度数； （2）菱形ABCD的面积。

例2 ：如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,．
（1）求证：△ABD是正三角形； (2）求 AC的长（结果可保留根号)．
O
D
C
B
A

练习
1:若菱形的边长为1cm,其中一内角为60°，则它的面积为 ( )
A． B． C． D．
2：若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ )
（A） 4cm （B）8cm （C）16cm （D)20cm
3:已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )
A．21㎝ B．22㎝ C．23㎝ D．24㎝
例3: 如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，
沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．

练习1：菱形的两条对角线分别是12cm、16cm,则菱形的周长是（ ）
A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm
练习2:若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BC的长是（ )
（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm
练习3：若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm,则其面积为（ )
A．240 cm2 B．120 cm2 C．60 cm2 D．30 cm2
例4：如图，菱形ABCD,E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°求∠CEF的度数。

课后练习
1：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°,AB＝2，E、F分别是BC．CD的中点，连接AE、EF、AF,
则△AEF的周长为（ ）
1. B． C． D．

2：如图,在菱形中,，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_____________．
3：如图所示，已知菱形ABCD中,E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=15°，
求∠CEF的度数.

例5：如图，菱形ABCD是边长为13cm，其中对角线AC=10cm，
求(1)菱形ABCD的面积； （2）作BC边上的高AH，求出AH的长度

练习、
1：如图，在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2，周长是48cm．
求：（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．

例6： 已知：如图,在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°,∠BCD=130°，求∠AHC的度数。

练习
1： 如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD,AE交BD于M，试说明BE=AM。

2:如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1) 求证：△BDE≌△BCF；
(2) 判断△BEF的形状，并说明理由；
(3) 设△BEF的面积为S,求S的取值范围．

考点三：综合
例1：如图，菱形的边长为1，；作于点，以为一边,做第二个菱形,使;作于点,以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 ．
1
B33

A
C2
B2
C3
D3
B1
D2
C1

例2：菱形ABCD的对角线交于O,AO=1，且∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4;④．SABCD=2;⑤菱形ABCD的周长是8，其中正确的有( ）
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①②③

例3：如图所示,在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接
（1）求证：四边形是菱形；
(2)连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？
A
D
F
C
E
G
B

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