一种求解高维优化问题的改进灰狼算法.pdf

第 39 卷第 2 期2024 年 4 月系 统 工 程 学 报JOURNAL OF SYSTEMS ENGINEERINGVol.39 No.2Apr.2024一种求解高维优化问题的改进灰狼算法李煜1,林笑笑2,刘景森3(1.河南大学管理科学与工程研究所,河南 开封 475004;2.河南大学商学院,河南 开封 475004;3.河南大学智能网络系统研究所,河南 开封 475004)摘要:为求解高维优化问题,提出基于反向学习和衰减因子的灰狼优化算法(grey wolf algorithm based on oppositionlearning and reduction factor,ORGWO).设计一种灰狼反向学习模型,模型考虑问题搜索边界信息和种群历史搜索信息,初始种群阶段增加反向学习,增强种群多样性.根据算法各个阶段不同特征引入衰减因子,平衡全局和局部勘探能力.选取 8 个高维函数和 23 个不同特征的优化函数对算法性能进行测试,进一步使用收敛性分析,寻优成功率,CPU 时间,Wilcoxon 秩和检验来评估改进算法,实验结果表明,ORGWO 算法在求解高维问题上具有较好的精度,鲁棒性和更快的收敛速度.关键词:灰狼优化算法;反向学习;衰减因子;高维优化问题中图分类号:TP273文献标识码:A文章编号:10005781(2024)02020017doi:10.13383/ki.jse.2024.02.004Improved grey wolf algorithm to solve high-dimensional optimizationproblemsLi Yu1,Lin Xiaoxiao2,Liu Jingsen3(1.Research Institute of Management Science and Engineering,Henan University,Kaifeng 475004,China;2.School of Business,Henan University,Kaifeng 475004,China;3.Institute of Intelligent Networks System,Henan University,Kaifeng 475004,China)Abstract:This paper proposes a grey wolf algorithm based on opposition-based learning and an attenuationfactor to solve high dimensional optimization problems(ORGWO).An opposition-based learning model isdesigned,considering the boundary search information and the population historical search information.Inthe initial population stage,an opposition-based learning is added,which enhances the diversity of the pop-ulation.An attenuation factor is introduced to balance the global and local exploration capabilities.Eighthigh-dimensional test functions and twenty-three benchmark functions with different characteristics are usedto test the performance of the algorithm.The convergence analysis,success rate,CPU time,and Wilcoxonrank sum test are used to evaluate the ORGWO.The experimental results show that the ORGWO has betterprecision,robustness and faster convergence speed in solving high dimensional problems.Key words:grey wolf optimization algorithm;opposition learning;reduction factor;high dimensional opti-mization problem收稿日期:20201118;修订日期:20231215.基金项目:国家自然科学基金资助项目(72104069);河南省重点研发与推广专项资助项目(222102210065);教育部青年基金人文社会科学基金资助项目(15YJC630079).*通信作者第 2 期李煜等:一种求解高维优化问题的改进灰狼算法2011引引引言言言智能优化作为一个新兴的交叉学科领域1,自 20 世纪后半叶以来,无论在理论探索还是在应用拓展方面,都取得了极大进展,在科学和工程技术领域显示了独特的能力和应用效果.针对经济和社会等工程技术和管理中的重大决策,以及科学研究领域中存在的复杂计算任务,智能优化无论是在面向这些任务的复杂系统建模与模拟方面,还是在复杂决策分析和优化问题的求解方面,均提出了一套崭新的研究思想和解决方案.与传统理论和方法相比,智能优化算法有着强大的全局搜索能力以及问题域的独立性,信息处理的隐并行性,应用的鲁棒性和操作的简明性,成为一种具有良好普适性和规模化的优化方法.进入 21 世纪以来,新的智能算法竞相涌现,各种算法百花齐放,例如粒子群算法2、花朵授粉算法3、探路者算法4、人工蜂群算法5、正弦余弦算法6、蝙蝠算法7以及灰狼优化算法8等.灰狼优化算法(Grey Wolf Optimizer Algorithm,GWO)是由澳大利亚学者 Mirjalili 于 2014 年提出的一种新型智能优化算法,它源于对自然界中灰狼群体社会等级制度和捕食行为的模拟,其优化过程主要包括灰狼社会等级分层,包围和攻击猎物 3 个步骤.因其具有较强的收敛性,参数少,易实现等特点而被广泛关注,目前该算法已经被运用到车间调度9、控制系统10、火电系统11、图像分割12、经济调度13以及机械设计14等实际应用问题中,并且取得较好的优化成果.灰狼算法作为一种新型的优化方法具有两面性,算法一方面具有良好的优化潜力,另一方面存在局部搜索能力较差和易早熟收敛等问题.许多学者对算法这些存在的问题进行了分析和研究,提出了一些改进方法.对灰狼算法的改进主要有初始种群优化策略,融合其它种群算法策略,因子扰动策略 3 个方面.Lu等15提出加入元胞自动机的灰狼优化算法,通过邻域间的重叠来实现信息扩散机制,保持种群多样性.张贾奎等16提出基于 Tent 混沌序列的局部搜索策略以及多样性维持策略,提高算法的局部搜索能力.Teng等17将粒子群算法的思想引用到灰狼算法中,利用粒子最优值和狼群最优值来更新每只灰狼位置信息,避免算法陷入局部最优.Gai 等18为避免局部极小化和早熟收敛提出一种基于余弦函数的非线性控制参数,并将遗传算法引入到改进后的灰狼算法中,根据群体适应度值动态调整交叉和变异的概率,保证较快的后期迭代收敛速度,使算法跳出局部最优.王秋萍等19提出基于余弦规律变化的收敛因子,同时引入基于步长欧式距离的比例权重更新灰狼位置,平衡了算法全局搜索和局部搜索能力,加快算法收敛速度.Yang14提出一种新的基于正弦函数的收敛因子非线性更新方程,平衡勘探能力和开发能力.高维复杂优化问题在科学研究和工程应用中广泛存在,高维问题一般指维数超过 100 维的优化问题,具有非线性,高复杂度等特点,存在着大量局部最优解,且随着维数不断增加问题复杂度逐渐增加.针对高维复杂优化问题,将反向学习策略,衰减因子与 GWO 算法结合提出一种改进的灰狼算法.反向学习模型与 GWO 算法深度结合,扩大种群搜索范围,提高种群多样性,衰减因子平衡算法局部和全局勘测能力,提高算法收敛精度和速度.ORGWO 算法测试 8 个高维(d=100/500/1 000)函数,横向对比 7 种经典算法和纵向对比 8 种其他学者改进的灰狼算法,仿真实验证明 ORGWO 算法具有更高求解精度和更快收敛速度.为进一步验证 ORGWO 算法的性能,将 ORGWO 算法测试 23 个不同类型函数,同时取得较优的结果.并利用收敛曲线,寻优成功率,CPU 时间,收敛性证明和 Wilcoxon 秩和检验,进一步证明 ORGWO 算法在求解高维问题上,具有更优性能.2灰灰灰狼狼狼优优优化化化算算算法法法灰狼算法的灵感来自于灰狼种群等级制度和狩猎行为,主要包括 3 个阶段:社会等级分层,包围和攻击猎物.2.1社社社会会会等等等级级级分分分层层层灰狼属于群居生活犬科动物,处于食物链顶端,灰狼严格遵守着一个社会支配等级关系.社会等级第 1层:狼群中的头狼记为,狼主要负责对捕食,栖息和作息时间等活动作出决策.社会等级第 2 层:狼服202系 统 工 程 学 报第 39 卷从于狼,并协助狼作出决策,在狼去世或者衰老以后,狼将成为狼的候选者.社会等级第 3 层:狼服从于,狼,同时支配剩余层级的狼.社会等级第 4 层:狼,通常服从于其它社会层级上的狼.其等级关系如图 1 所示.图 1灰狼种群等级金字塔示意图Fig.1Grey wolf population rank pyramid2.2包包包围围围猎猎猎物物物灰狼群体搜索猎物时会逐渐地接近猎物并包围它,该行为的数学模型为X(t+1)=Xp(t)AC XpX(t),(1)A=2ar1,(2)C=2r2,(3)a=2 2tMaxt,(4)其中X和Xp分别为灰狼个体和猎物的位置向量,t为当前迭代次数,C XpX(t)为灰狼个体和猎物之间的距离,A和C称为系数向量,r1和r2分别为0,1间的随机数,a称为距离控制参数,其值随迭代次数t的增加从 2 递减到 0,式中 Maxt 为最大迭代次数.2.3攻攻攻击击击猎猎猎物物物由于很多问题的解空间特征是未知的,灰狼无法确定猎物的精确位置,为了模拟灰狼的搜索行为,假设,和灰狼具有较强的识别潜在猎物位置能力,在每次迭代过程中,保留当前种群中的最好三只狼(,)然后根据他们位置信息来更新其它搜索代理的位置,该行为的教学模型为X1=X A1C1XX,(5)X2=X A2C2XX,(6)X3=X A3C3XX,(7)X(t+1)=X1(t)+X2(t)+X3(t)3.(8)上式中X,X和X分别为,狼的位置向量,A1,A2和A3的计算相似于A,C1,C2和C3的计算相似于C.D=C1X X,D=C2X X,D=C2X X,分别表示当前候选狼与最优 3 条狼之间的距离.位置更新行为如图 2 所示.从图 2 可看出,候选解的位置最终落在,和定义的随机圆位置内,其它候选狼在当前最优 3 只狼的指引下,在猎物附近随机更新它们的位置,它们开始分散地搜索猎物位置信息,然后集中起来攻击猎物.灰狼算法的步骤如下:步骤 1初始化种群规模n,维度d,最大迭代次数T和A,C,a参数.步骤 2计算种群适应度值,求适应度值最优的三个个体，其位置记为x,x和x.第 2 期李煜等:一种求解高维优化问题的改进灰狼算法203步骤 3根据式(2)式(4)更新参数A,C,a的值.步骤 4根据式(5)式(8)更新灰狼种群位置.步骤 5重复步骤 3 和步骤 4,直到达到最大迭代次数 Maxt 终止.图 2灰狼位置更新示意图Fig.2Position updating in GWO3改改改进进进灰灰灰狼狼狼优优优化化化算算算法法法(ORGWO)3.1反反反向向向学学学习习习策策策略略略初始种群好坏影响着算法收敛精度,GWO 算法初始种群随机生成,具有一定盲目性,使较优点不能被覆盖,同时增加算法搜索时间,降低算法寻优性能.为改善这一问题,本文借鉴反向学习思想,并且考虑了优化问题搜索边界信息和种群历史搜索信息,在 GWO 算法初始化阶段加入反向学习,生成当前解和反向解的位置和适应值,将较优解作为初始解,降低一定的盲目性,扩大种群的多样性,提高全局搜索能力.反向学习策略(opposition-based learning,OBL)是 Tizhoosh20提出的一种新的智能优化技术,其研究结果表明,反向候选解以更大概率接近全局最优解.反向学习策略已经被成功的运用到鲸鱼算法21,22,蜻蜓算法23,花朵授粉算法24,差分进化算法25等算法的优化中,主要用于初始化种群,拓展种群的搜索区间.近年来,在反向学习的基础上衍生出了精英反向学习,小孔成像反向学习策略等.例如,谢承旺等26等人提出了一种应用精英反向学习的多目标烟花爆炸算法,将精英反向学习引用到算法中,增强了算法的全局搜索能力.张达敏27等人提出了一种逐维小孔成像反向学习策略,增加寻优位置多样性,提高了算法摆脱局部最优的能力.定义 1(反向解28)假设X=(x1,x2,.,xD)为当前种群d维空间中的一个可行解,则X的反向解表示为X=(x1,x2,.,xD),其中xj=k(aj+bj)xj,(9)其中k为(0,1)上的一般化系数,且xj aj,bj,j=1,2,.,d.在 ORGWO 算法中,位置x经过反向学习得到位置xj,如果xj的适应度值f(x)f(x),则位置xj将代替位置x29.假设灰狼初始化种群n=30经过反向学习得到反向种群n=30,在当前种群和反向种群基础上根据其适应度值大小进行排序,得到适应度值为前 30 的解,更新为当前总体解.以 F1(Sphere)函数f1(x)=ni=1x2i为例,其全局最优解为 0,图 3 为 F1 函数图像,图(4),图(5)为 GWO 算法和 ORGWO 算法求解 F1 函数的初始种群分布,其中灰狼种群数为 30,维度为 3,搜索空间范围为100,100,圆圈代表全局最优点,菱形代表灰狼种群.在算法初始化阶段.从图 4 和图 5 中可以看出 ORGWO 算法增加了初始化种群的多样性,即在一定程度上丰富了种群的多样性,降低算法陷入局部最优的可能性,提高算法收敛精度.204系 统 工 程 学 报第 39 卷3.2动动动态态态衰衰衰减减减因因因子子子在灰狼优化算法中,和狼的位置具有重要作用,引导群体向最优解移动,但若,和狼陷入局部最优,则容易导致群体出现搜索停止,即群内多样性缺失.为避免算法陷入局部最优,提高全局搜索能力.本文根据灰狼种群各个阶段的特征,在,和狼位置更新公式中引入一个动态衰减因子,动态衰减因子相比静态衰减因子能更好适应种群的随机性和多变性.动态因子使,和狼的位置更新范围随着迭代次数增加而逐渐减小,迭代前期避免陷入局部极值,迭代后期以更快得速度接近全局最优解,提高求解精度.衰减因子变化速率和其取值大小对算法结果有着一定的影响.受文献3032中衰减因子的启发,通过不同衰减因子对函数结果影响测试,得出本文衰减因子B(t)对 ORGWO 算法产生最为积极的影响.图 3 F1 函数图像Fig.3F1 function graph图 4 GWO 初始化种群Fig.4GWO initial population图 5ORGWO 初始化种群Fig.5ORGWO initial population图 6 为衰减因子变化曲线,从图 6 可以看出,迭代前期衰减因子的值较大,则搜索范围不受限,灰狼个体充分在全局移动,提高算法全局搜索能力,避免陷入局部极值.在迭代后期,衰减因子快速减小,以较快速度在限制范围内进行精确搜索,提高求解精度的同时也加快了算法的收敛速度.选取函数F2进行测试,图 7 为函数F2的图像,表 1 为不同衰减因子对函数F2影响结果,从结果可以看出,B(t)对算法的结果影响最好.衰减因子的位置更新公式为X1=B(t)X A1C1XX,(10)X2=B(t)X A2C2XX,(11)第 2 期李煜等:一种求解高维优化问题的改进灰狼算法205X3=B(t)X A3C3XX,(12)其中A为衰减系数,取A=0.01.控制搜索范围的衰减因子B(t)是一个非线性递减指数函数,定义如下B(t)=A(eMaxttMaxt 1).(13)图 6衰减因子变化Fig.6The change curve of each weight factor图 7 F2 函数图像Fig.7 F2 function graph表 1衰减因子测试结果Table 1Attenuation factor test results衰减因子301005001 000平均值标准差平均值标准差平均值标准差平均值标准差B(t)1.68E20305.05E18605.50E17804.26E1760B(t)11.23E1472.15E1471.10E1329.26E1337.41E1266.17E1261.13E1238.16E124B(t)22.13E18001.04E16802.55E1622.22E1627.64E1614.40E161改进后的灰狼优化算法步骤如下:步骤 1初始化种群规模n,维度d,最大迭代次数T和A,C,a参数.步骤 2根据式(9)进行反向学习策略更新,得到反向解X.步骤 3计算初始种群及反向解适应度值,将最优的 3 个个体,其位置记为x,x和x.步骤 4根据式(2)式(4)更新参数A,C,a的值.步骤 5根据式(10)式(12)更新灰狼种群位置.步骤 6重复步骤 4 和步骤 5,直到达到最大迭代次数 Maxt 终止.4仿仿仿真真真实实实验验验4.1测测测试试试函函函数数数及及及实实实验验验环环环境境境为测试 ORGWO 算法的有效性和求解高维复杂函数的能力,选取文献8中 7 个单峰测试函数(F1 F7),6 个多峰测试函数(F8 F13),6 个固定维多峰函数(F8 F13),和 8 个高维测试函数(F1 F5,F9 F11),进行实验.各类算法求解测试函数 30 次结果的平均值,标准差,CPU 时间和求解成功率作为评价算法性能的标准,求解精度最高的解在表中加粗表示.为提高实验准确度,对比算法采用相同的实验参数,即种群规模n=30,最大迭代次数Maxt=500,独立运行 30 次.其中 PSO 算法中c1=c2=2,w=0.729 4,BA 算法中A=0.5,r=0.5,FPA 算法中 p=0.2.在仿真实验中,仿真环境的硬件配置为 Window10 专业版操作系统,CPU IntelrCeleronrCPUN3060,1.60 GHz 处理器,4GB 内存,仿真环境的软件配置为 MATLABR 2016a.206系 统 工 程 学 报第 39 卷4.2算算算法法法性性性能能能测测测量量量算法的性能选取以下基于适应度计算的统计指标来衡量.1)平均值mean=1nni=1f(i).(14)2）标准差std=vuut1n 1ni=1(f(i)mean)2.(15)其中n为种群总数,f(i)为每次实验的适应度值.3)求解成功率求解成功率为实验成功次数除以实验总次数,按照式(16)判断每一次实验是否成功.|FA FT|FT 105,FT=0|FA FT|105,FT=0.(16)其中FA为每次实际求解最优值,FT为测试函数理论最优值.4)CPU 时间CPU 时间用于计算算法在多次运行时的时间复杂度,本文该值以秒为单位进行测量.4.3低低低维维维实实实验验验结结结果果果分分分析析析4.3.1 与其它算法横向对比本节对比了 GWO 算法,ALO 算法33,SCA 算法34,MFO 算法35,PSO 算法36,BA 算法37和 FPA 算法38.表 2 为 7 个单峰函数测试结果,表 3 为 6 个多峰函数测试结果,表 4 为 10 个固定维函数测试结果.表 2单峰测试函数寻优结果(d=30 维)Table 2Optimization results of unimodal functions(d=30 维)函数指标ORGWOGWOALOSCAMFOPSOBAFPAF1平均值01.55E278.22E092.70E122.34E+038.76E034.64E+004.22E+01标准差02.95E276.87E097.91E125.04E+031.32E021.58E+001.61E+01CPU 时间/s3.849 1474.737 93752.665 1163.397 3453.717 8972.547 3641.654 7713.209 884SR%100100000000F2平均值2.26E2879.89E173.29E019.26E102.92E+011.12E011.05E+018.40E+00标准差09.40E175.94E012.51E091.78E+011.01E012.10E+001.65E+01CPU 时间/s3.800 9853.530 67653.029 2973.470 9972.925 6211.764 9082.594 1773.378 524SR%100100000000F3平均值02.47E058.19E025.49E012.03E+045.61E037.05E+006.02E+01标准差06.5659E051.44E013.00E+001.02E+046.75E032.42E+003.33E+01CPU 时间/s4.248 4085.155 08753.707 0033.493 3073.430 6106.583 4556.237 8375.952 833SR%10090000000F4平均值6.13E2677.54E071.50E031.00E036.78E+017.66E021.23E+002.61E+00标准差01.16E062.00E032.60E031.02E+018.77E0211.36E015.22E01CPU 时间/s3.663 8573.386 71252.286 3123.041 5043.059 4811.633 4813.584 5683.215 603SR%100100000000F5平均值2.87E+012.73E+018.64E+017.36E+002.68E+065.38E034.98E+022.48E+04标准差2.03E017.53E013.25E+023.81E011.46E+077.82E031.65E+022.02E+04CPU 时间/s3.253 1544.397 04753.079 4143.223 2883.272 7452.032 4173.313 1983.567 806SR%00000000注:加粗的数据表示求解精度最高的解,下同第 2 期李煜等:一种求解高维优化问题的改进灰狼算法207续表 2Table 2 Continues函数指标ORGWOGWOALOSCAMFOPSOBAFPAF6平均值5.83E+007.37E018.10E094.53E011.35E+038.57E036.07E+005.04E+01标准差2.54E013.06E013.56E091.55E014.37E+031.44E021.72E+001.54E+01CPU 时间/s3.077 3933.425 98053.198 9505.616 1613.051 0381.769 6982.289 2121.785 523SR%00000000F7平均值3.77E052.40E032.15E022.50E032.83E+001.12E011.52E+022.99E+03标准差3.32E051.40E031.33E022.00E034.45E+001.03E013.51E+012.15E+03CPU 时间/s3.984 3353.697 53752.922 9113.215 8443.114 1132.132 8994.028 4591.514 784SR%300000000表 3多峰测试函数寻优结果(d=30)Table 3Optimization results of unimodal functions(d=30)函数指标ORGWOGWOALOSCAMFOPSOBAFPAF8平均值2.76E+031.84E14-2.41E+032.16E+038.61E+035.57E+02-Inf-4.73E+01标准差3.27E+028.25E+026.09E+021.77E+028.71E+024.79E038.83E+00CPU 时间/s3.405 9275.519 05958.596 3173.647 7413.504 0722.442 8373.054 8723.60 432SR%00000000F9平均值02.41E+002.41E+015.52E011.64E+025.70E014.22E+011.90E+02标准差03.30E+001.19E+012.92E+002.98E+016.01E017.28E+003.08E+01CPU 时间/s3.572 3413.305 60852.476 7683.252 3213.125 5792.442 8372.938 7183.776 112SR%10043000000F10平均值8.88E161.03E132.09E015.50E061.59E+013.96E+003.44E+005.60E+00标准差01.84E146.05E012.76E056.56E+007.34E+002.51E016.66E01CPU 时间/s3.248 9393.669 87156.707 3453.175 4083.057 6991.687 8122.626 1953.631 736SR%100100000000F11平均值03.20E031.93E018.05E023.70E+013.36E032.32E018.64E01标准差06.70E038.91E021.45E015.06E+013.83E038.29E021.12E01CPU 时间/s3.340 8323.769 84053.458 1943.165 2103.485 5122.194 3622.626 1953.983 036SR%100670000230F12平均值7.75E014.59E022.68E+009.27E021.55E+022.27E012.33E012.06E+00标准差8.90E022.13E022.45E+004.55E024.58E+025.16E019.85E027.12E01CPU 时间5.677 2694.957 92356.556 3203.898 8373.958 1274.081 77410.023 7985.494 342SR%00000000F13平均值2.85E+006.41E012.90E033.00E011.37E+071.38E022.93E+008.20E+00标准差3.93E022.37E015.60E031.08E017.49E+071.19E027.01E012.79E+00CPU 时间4.491 0344.718 63154.637 4504.047 7324.245 8123.731 48410.023 7985.317 227SR%00000000由表 2,表 3 和表 4 实验数据可知,ORGWO 算法求解结果相比其它算法具有较好的收敛精度,较快的收敛速度.从单峰函数来看,F1,F2,F3,F4,F7函数平均值和标准差均优于对比算法,F1,F3直接收敛到理论最优值 0.F1,F2,F3,F4函数的标准差均为 0,表明其算法更加稳定,鲁棒性较好.从多峰函数来看,函数F9,F10,F11结果较优,F9,F11收敛到理论最优值 0.在固定维多峰函数中,函数F15,F16,F17结果较优,其它函数结果和对比算法结果相差不大.求解成功率(SR%)可以反应算法稳定性和跳出局部最优的能力.ORGWO 算法求解函数 F1,F2,F3,F4,F8,F10,F11 和 F16 的成功率均为100%,而其它算法的成功率大多数为0%.例如,ALO 只有在 F16 成功率为100%,其它函数成功率均为0%,SCA 在函数 F16 的成功率为100%,在 F18 为90%,其它函数也均为0%.针对 CPU 时间,ORGWO 算法相对 GWO 算法,其运行时间基本上没有增加,更是在函数 F3,F5,F8,F10,F11,F13,F14,F16,F17,F18 的运行时间比 GWO 算法更短.CPU 时间缩短表明收敛速度更快,这是由于加入反向学习和衰减因子的 ORGWO 算法,没有增加多的循环,因此改进后的算法时间复杂度没有增加,即在运行过程中时间不会增加,反而因为在寻优过程中能够快速找到全局最优解,时间相比原算法有所减小.进一步证明加入反向学习和衰减因子的灰狼算法具有较快的收敛速度.综上所述,ORGWO 算法相比其208系 统 工 程 学 报第 39 卷它算法具有较强的竞争性.表 4固定维多峰测试函数寻优结果(d=30维)Table 4Optimization results of fixed dimensional multimodal function(d=30 维)函数指标ORGWOGWOALOSCAMFOPSOBAFPAF14平均值3.26E+004.55E+002.77E+001.94E+003.13E+009.98E011.26E+011.27E+01标准差2.08E+004.36E+002.21E+009.97E012.51E+008.07E063.48E011.88E14CPU 时间/s6.865 3977.170 5579.113 4395.026 0885.032 0117.942 16311.888 3329.496 309SR%00000000F15平均值6.90E046.50E031.60E031.00E031.06E035.30E033.70E036.31E03标准差1.47E049.30E033.60E033.66E044.24E045.47E036.10E031.01E02CPU 时间/s3.035 0822.979 60510.779 8493.166 3623.090 1641.728 09610.888 3323.399 676SR%00000000F16平均值1.03E+001.03E+001.03E+001.03E+001.03E+001.22E+011.03E+001.03E+00标准差8.25E044.6511E081.03E134.28E056.78E163.29E+012.11E094.99E07CPU 时间/s3.120 8133.156 5707.378 1652.886 5642.791 0762.046 6092.258 7364.068 511SR%1001001001001000870F17平均值4.66E013.98E013.98E014.01E013.98E013.20E+003.99E013.98E01标准差7.35E023.883E065.70E143.00E0303.30E+002.90E033.54E10CPU 时间/s2.520 3453.101 9207.442 0054.520 1683.123 6861.520 3132.4610 923.518 807SR%0000001000F18平均值3.00E+003.00E+003.00E+003.00E+003.00E+008.14E+031.83E+016.60E+00标准差1.80E032.99E055.81E131.54E042.23E151.88E+042.53E+011.54E+01CPU 时间/s2.555 7943.417 2416.987 1253.002 0082.846 3821.427 1272.252 2223.032 097SR%27801009010000100F19平均值3.73E+004.56E+003.86E+00-3.85E+003.86E+001.08E+003.42E+003.86E+00标准差1.51E012.90E031.22E123.10E032.71E158.23E019.85E012.86E07CPU 时间/s3.208 4133.197 0909.050 0153.100 4982.974 1051.710 1953.414 2853.251 881SR%0000000100F20平均值2.23E+003.27E+003.28E+002.93E+003.24E+005.03E013.16E+002.93E+00标准差4.38E017.48E025.85E022.17E017.08E025.34E013.74E012.17E01CPU 时间/s3.470 7033.272 64614.628 5254.009 4973.225 6292.020 7362.516 1333.368 716SR%00000000F21平均值4.43E+009.39E+006.04E+001.93E+007.72E+00-2.49E015.23E+001.02E+01标准差2.21E+002.00E+002.91E+001.57E+003.12E+003.82E019.31E013.92E04CPU 时间/s3.975 7243.346 62310.902 8523.642 3753.067 4352.073 2764.438 2573.395 599SR%000033000F22平均值4.12E+001.04E+016.53E+004.11E+007.46E+001.52E015.09E+001.04E+01标准差1.82E+009.22E043.32E+001.66E+003.49E+001.20E015.23E075.50E03CPU 时间/s4.367 9213.553 87010.837 1693.099 5694.057 9992.227 4624.438 2573.832 339SR%000053000F23平均值4.12E+001.04E+016.47E+003.82E+007.58E+002.45E01-5.30E+00-1.05E+01标准差1.95E+009.87E013.49E+001.59E+003.74E+002.23E019.38E013.26E03CPU 时间/s3.500 9393.433 02710.952 8793.047 5113.247 3552.725 1363.573 2133.619 062SR%0000530704.3.2 与其它改进 GWO 算法纵向对比为了分析 ORGWO 算法改进策略的有效性,对比了 GWO 算法,IGWO 算法39,PSO GWO 算法40,LFGWO 算法41和 HGWO 算法42.表 5 为 ORGWO 算法与其它改进灰狼算法对比结果.由表 5 可知,ORGWO 算法相比其它算法整体更优.从平均值来看,除函数 F5 的 LFGWO 算法和函数 F10PSO GWO 算法实验结果较优外,其它函数的均值结果均为 ORGWO 最优,说明 ORGWO 算法具有第 2 期李煜等:一种求解高维优化问题的改进灰狼算法209较高的收敛精度.从标准差来看,除了函数 F5 的 LFGWO 算法实验结果标准差优于其它算法,其余实验结果均为 ORGWO 算法的标准差最小,说明 ORGWO 算法具有较好的鲁棒性.4.3.3 收敛曲线分析算法收敛速度是衡量算法性能的重要指标,而算法的收敛曲线图能够直观地对比算法收敛性能的好坏.图 8(a)和图 8(f)展示了 ORGWO 算法,GWO 算法,ALO 算法,SCA 算法,MFO 算法,PSO 算法,BA 算法和 FPA 算法求解