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(word完整版)函数单调性练习题
函数单调性练习题
1。 （1）已知函数f（x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .

（2）已知函数f(x）＝x2+2（a—1)x+2的递减区间是（—∞，4]，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________
2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间（-1，1）内的单调性。
解：设-1＜x1＜x2＜１,则f(x1)-f（x2）＝—＝
∵x1，x2∈(—1，1),且x1＜x２，∴x1—x2＜0，1+x1x2＞0,（1-x21）（1-x22)＞0
于是，当a＞0时，f（x1)＜f(x2)；当a＜0时,f(x1）＞f(x2）。
故当a＞0时，函数在(—1,1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1,1)上为减函数.

3.判断函数f（x)=－x3+1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0,＋∞），函数f（x)是增函数还是减函数？

4. 已知：f(x)是定义在［－1,1］上的增函数，且f(x－1)〈f(x2－1）求x的取值范围．

5。设y=f（x）的单增区间是（2，6），求函数y=f（2－x)的单调区间．
上是单调递减的。
）
，
（－
在
，
由复合函数单调性可知
是单减的，
上
在
又
）
，
（－
）
，
（
而
）上是增函数，
，
（
在
则由已知得
解：令
0
4
)]
(
[
)
2
(
)
0
,
4
(
2
)
(
0
4
6
2
2
)
(
6
2
)
(
,
2
)
(
Î
=
-
-
Î
-
=
Î
\
Î
-
=
Î
-
=
x
x
t
f
x
f
x
x
x
t
x
x
x
t
t
t
f
x
x
t

6．函数在区间(-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是(　）
A.　　　　　 B。 C.a<-1或a〉1　　　　　　 D。a>-2
解：f(x）＝＝＝＋a。
任取x1,x2∈(－2,＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－ ＝。
∵函数f(x）＝在区间(－2,＋∞）上为增函数，∴f（x1)－f（x2）〈0。
∵x2－x1〉0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a〈0,a〉. 即实数a的取值范围是.
7。已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a),则实数a的取值范围是（　　）
A．（－∞，－1）∪(2，＋∞） B．(－1,2) C．（－2,1) D．(－∞,－2）∪(1，＋∞)

解析：f(x)＝由f（x）的图象可知f(x)在(－∞,＋∞）上是单调递增函数，由f(2－a2)〉f（a)得2－a2〉a,即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.
8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数,f（2)=1，f（xy）=f(x）+f（y），解不等式f(x）+f(x－2) ≤3

9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x）满足f（=f（x1)-f（x2），且当x＞1时，f(x）＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f（x）的单调性;
(3）若f（3)=—1,解不等式f（|x|)＜-2.

（1）f(1） = f（1/1） = f(1） — f（1) = 0。
（2）当0 〈 x < y时，y/x 〉 1,所以f（y) — f(x） = f（y/x) 〈 0 。故f单调减。
（3）f（3） = -1，f（3) = f(9/3） = f（9) — f(3)，f（9) = —2而 f（｜x｜)＜—2 = f（9)，且f单调减,所以| x ｜ 〉 9 x＞9或x＜-9

10.函数f（x）对任意的a、b∈R,都有f(a+b）=f(a）+f（b）-1,并且当x＞0时，f（x）＞1。
（1）求证:f（x）是R上的增函数；
（2）若f(4）=5,解不等式f（3m2-m-2）＜3。

(1）设x1，x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0，∴f(x2—x1)＞1。
f（x2）-f（x1）=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f（x2—x1)+f（x1）-1—f(x1)
=f（x2—x1）—1＞0。
∴f（x2）＞f（x1）。即f(x)是R上的增函数。
(2）∵f(4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5,∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2—m—2)＜f（2)，
∵f（x）是R上的增函数，∴3m2-m—2＜2，

解得-1＜m＜ ，故解集为 。

11.设f(x）的定义域为（0，+∞），且在（0,+∞）是递增的，
（1）求证：f（1）=0，f（xy)=f（x）+f（y)；
（2)设f（2）=1，解不等式。
（1)证明:，令x=y=1，则有：f（1）=f(1）—f(1）=0，
。
(2）解：∵，
∵2=2×1=2f（2)=f(2)+f（2）=f（4），
∴等价于：①,
且x>0,x-3〉0[由f(x）定义域为（0，+∞）可得
∵，4>0，又f（x）在（0,+∞)上为增函数,
∴①。又x>3，∴原不等式解集为:｛x|3<x≤4｝。
12。已知函数f（x）＝（a≠1）．
（1)若a〉0，则f(x）的定义域是________；
(2）若f(x）在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：
（1）当a〉0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x）的定义域是；
（2）当a－1〉0,即a>1时，要使f（x)在（0，1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3。
当a－1<0，即a<1时,要使f（x)在（0，1]上是减函数,则需－a〉0，此时a〈0.
综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，0)∪（1，3］．

13。 定义在上的函数,，当时,,且对任意的，有. （1）求的值；（2）求证：对任意的，恒有；(3）若，求的取值范围。
解：（1）解：令,则　又，。
（2）证明：当时，,∴　∵，∴　又时，　　∴对任意的，恒有。
（3）解：设,则。 ∴. 又
　∴　
　　　　　　　　　=
　∴　.∴　是上的增函数。　　由,得　。∴　，∴∴所求的x的取值范围为
14.已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f（x＋y),且当x〉0时，f(x）〈0，f(1）＝－。
(1）求证：f(x)在R上是减函数；
（2)求f（x）在［－3，3]上的最大值和最小值．

(1）解法一:∵函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x)＋f(y）＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f（0)＝0。再令y＝－x，得f（－x)＝－f（x)．
在R上任取x1〉x2，则x1－x2>0,f（x1）－f(x2)＝f(x1）＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x〉0时，f(x)〈0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)〈0，即f（x1)<f(x2）．因此f（x）在R上是减函数．

解法二：设x1>x2,则f（x1）－f(x2)＝f（x1－x2＋x2）－f（x2)＝f(x1－x2)＋f（x2）－f（x2）＝f(x1－x2）．
又∵x>0时，f（x)〈0，而x1－x2〉0，∴f(x1－x2）〈0，即f(x1）<f(x2），∴f（x）在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数,∴f（x）在［－3，3]上也是减函数，∴f（x）在[－3，3］上的最大值和最小值分别为f（－3)与f(3）．而f（3）＝3f(1）＝－2，f（－3)＝－f（3）＝2.∴f（x）在［－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

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