数学建模---教室用电.doc

(完整版)数学建模---教室用电
教室用电的优化设计
专业：电气工程及其自动化
班级：电气14-8班
学号：2014022319（27）
姓名:吕刚

摘 要
学校教室的资源优化配置问题,是现如今各大学比较普遍的管理问题，教室开放座位数与上自习的学生人数之间始终难以得到协调统一。一方面，学校希望节约用电，提高基本资源的利用率；另一方面，学生希望能在环境较好，人数不多的教室上自习,即学生上自习的满意度要求较高.本文提出了0-1整数规划，多目标规划等两种方法来对教室用电等相关问题进行求解.

针对问题一,求解安排开放教室的方案.即以各教室用电的总功率最小为目标函数，建立一个整数规划模型（0—1整数规划，利用LINGO软件进行求解）得到问题一的(教室）开放方案，结果见表1。

针对问题二，以节约用电和提高学生的满意程度为目的，重新求解安排开放教室的方案，给出合理的满意程度的度量。即考虑节约用电和提高学生的满意程度，建立了一个多目标整数规划模型。利用“极差标准化法”对教室用电的总功率和学生的满意程度指标进行了标准化处理,最后进行综合加权将多目标转化成单目标.以教室容量，上自习人数，学生满足率，教室满座率和开放的教室集中程度为约束条件，引入分散度，对开放的教室集中程度进行衡量，使决策更具有有效性。运用LINGO软件进行求解，得到了问题二新的（教室)开放方案结果见表6.

关键字：资源优化配置 整数规划 分散度 极差标准化法 LINGO软件
一、问题背景
近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，即要求提供一种最节约、最合理的管理方法.
1.3需要解决的问题
1、假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为0。7。要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90％。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.
2、假设这8000名同学分别住在10个宿舍区,现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1，2,3，4，5为第1区，…，41,42，43，44,45为第9区。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同.请给出合理的满意程度的度量,并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。

二、问题分析
考虑问题的题设条件和要求,要解决的是学校自习教室的资源优化配置问题，在满足每题要求的前提情况下，设计出教室开放的最节约，最合理的优化方案,从而达到节约用电并且满足同学们需求度，资源优化配置问题是一类典型的规划问题,对于规划问题的求解步骤基本是：第一步,建立目标函数；第二步，搜索约束条件；第三步，对规划函数进行求解。
2。1 对问题一的分析
问题问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的,即以节约用电为目标，通过安排是否开放教室，设计出一个最优化的合理方案.因此可以引入0-1变量,运用整数规划模型建立目标函数,再以题目中需要上自习的同学满足程度即满座率要求得出约束条件，最后用LINGO编程求解出教室管理安排的最优方案.
2。2 对问题二的分析
问题要求给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。即首先考虑第一区的教室数是否满足学生上自习的人数,然后建立目标函数,求出最优解，并且考虑两个方面，一是对学校来讲,节约用电是最优目的,即所使用电的总功率最小；二对于学生来说,应该尽可能的提高学生的满意度，达到学生的需求。对于学生的满意度的度量问题,我们以宿舍区和自习区的距离来度量满意度,对于开放同区的教室，引入分散度的概念来进行规划，将用电量与学生满意度加权之差最小作为目标函数，建立0—1规划模型，利用Lingo软件对其求解。
三、模型假设
1、全校学生是否上自习是相互独立事件;
2、假设教室所有的座位完好,且环境相同，不存在同学愿不愿去坐的状况， 每位同学仅占一个座位；
3、假设教室的灯管都完好,如果一个教室被使用，即将教室内所有灯管全 部打开;
4、假设学生去上自习概率不受外界客观因素的影响，如天气,病假等;
5、假设学生到各个教室的意愿相同，无不想去的教室；
6、假设学生上晚自习的时间相同，不存在早退晚回的情况；
7、需搭建教室时，忽略不同型号教室之间搭建费用的差异；
8、假设仅考虑正常上课的情况，不考虑假期教室空闲、临近考试阶段紧张 复习等因素；
9、所有同学都有一个相同的满足的标准，即在满座率低于一定水平时认为 得到满足。
四、符号定义

符号
定义与说明

第个教室是否开放（0表示不开放，1则表示为开放）

开放的第个教室的座位数

开放的第个教室的灯管数

开放的第个教室每只灯管的功率

从宿舍区到自习区的学生人数

从宿舍区到自习区的学生满意度

总体学生满意度

第个教室的满座率

第个教室的用电量

五、模型的建立和求解
5。1问题一模型建立和求解
5.1.1模型建立
学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0。7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95％，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90％，问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。设表示学生满足率、表示第个教室的满座率,代表所有开放的教室消耗的电功率,考虑到用电的总功率与开放教室的方案有关，同时用0—1规划模型来确定教室开放的方案，所以建立如下模型的目标函数:
首先，目标是达到节约用电的目的，即目标函数应该为。
然后，需要上自习的同学满足程度不低于95％，即上自习的人数至少为
人。
最后,需要满足的限制条件为开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%,即

即整数规划模型为:
目标函数：

约束条件：

5。1。2模型求解
根据题目中建立的整数规划模型,运用LINGO软件进行编程求解，可以得到45个教室的开放情况及教室的满座率如下表1所示:
表1 各个教室的开放情况及教室的满座率情况
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
1
0
0。90
10
1
0。90
19
1
0。90
28
1
0。90
37
1
0.90
2
0
0.85
11
0
0.85
20
1
0.90
29
1
0。90
38
1
0.90
3
1
0。90
12
1
0。90
21
1
0。90
30
1
0.90
39
1
0.90
4
1
0.90
13
1
0.90
22
1
0。90
31
1
0。89
40
1
0.90
5
1
0.90
14
1
0。90
23
1
0.89
32
1
0。90
41
0
0。87
6
1
0.90
15
0
0.85
24
1
0。90
33
0
0。85
42
0
0。90
7
1
0。90
16
0
0.85
25
1
0。88
34
1
0.90
43
1
0。90
8
1
0。90
17
1
0.90
26
1
0。90
35
1
0。90
44
0
0.80
9
1
0。90
18
1
0.90
27
1
0.90
36
1
0.90
45
0
0.80
其中，开放情况中0表示对应教室关闭，1表示教室开放.总共开放教室35个,占教室总数的77。78％，其中第1，2，11，15，16，33,41,42，44，45教室关闭,开放的教室消耗的最少电功率为74093。0W。
5.2问题二模型建立和求解
5。2.1模型建立
首先，对满意度做一个合理的规定。如果纯粹用路程的倒数来作为满意度的衡量未免有失偏颇，所以假设在每个宿舍区的学生到各个自习区都有一个最大满意度,并把这个度量规定为1，即表示每个同学都有一个最满意的自习区,当满意度的量值为1 的时候学生们最满意.如果学生不是最满意, 则满意度将小于1。

则依据以上对学生上自习满意度的度量标准可得各个宿舍区到各个自习区的学生满意度。如下图图一所示，对应的学生满意度表如表2所示。
表2 从A宿舍区到B自习区的学生满意度表

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.8592
1.0000
0.46635
0。8026
0。7279
0。5398
0.7367
0.6250
0。9356
A2
0.5612
0.7317
0。8316
0.7708
0。8986
0。8245
1.0000
0.7331
0.6457
A3
0.7500
0.6906
1.0000
0.8496
0.6264
0.6713
0。7934
0.7287
0。6214
A4
0。9877
0。5915
1.0000
0。6867
0.7583
0.4923
1.0000
0。5272
0。4651
A5
0。5546
0.6266
0。8126
0.7735
1。0000
0.6930
0.9019
0.5643
0。6531
A6
0。8280
0。6438
0。9459
0。8088
0。5721
0。6719
1.0000
0。6053
0.6975
A7
0。8785
0.8120
0。5727
0。5634
0.6942
0。5868
0。6466
0。9780
1。0000
A8
0.7176
1。0000
0.6718
0.5323
0.9050
0。9713
0。5596
0。5617
0.9967
A9
1。0000
0.8165
0。5738
0.9505
0.6868
0。5552
0。5230
0.5321
0.9192
A10
0.7490
0。7568
0。8186
1.0000
0.6333
0。6224
0.6108
0。7352
0.6916
下来对满意度作如下规定：
表示从第宿舍区到自习区的学生人数；表示从宿舍区到自习区的学生满意度；设满意度的函数指标为，每个学生从宿舍区到自习区的满意，其中可由从 A 宿舍区到 B自习区的学生满意度表表三查得.最后，再设为从宿舍区到自习区的学生人数。规定满意度的指标函数等于所有上自习学生的满意度之和，即:

用电量指标的目标函数与模型一相同。而模型二考虑了两个目标，为了同时使用电功率和满意度达到最优，定义一个综合指数作为和的衡量标准，这里使用的是线性权值法。
但是由于不同的指标性质不同,量纲不同，之间不具有可比性和可加性。为了得到一个实用性更强的资源配置模型，将各指标抽象成同质的统一标准化指标进行加权处理,得到单一目标。
先对用电量指标进行标准化，采用的是极差标准化法：

是各教室的用电量，表示标准化后的各教室的用电量。
再对学生满意度指标进行标准化：

表示从宿舍区到自习区的学生满意度；表示标准化后的学生的满意度，如下表表3所示。
表3 学生满意度标准化

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.746
1
0。033
0.644
0。509
0。171
0.525
0.324
0.883
A2
0.209
0。516
0.696
0。587
0.817
0.683
1
0.519
0.361
A3
0。549
0。442
1
0。729
0.327
0。408
0.627
0。511
0.318
A4
0.899
0。217
0。921
0.381
0。504
0。046
1
0.106
0
A5
0.197
0。327
0。662
0。592
1
0.447
0.823
0.215
0。375
A6
0.690
0.358
0.902
0。655
0。229
0.409
1
0。289
0.455
A7
0.781
0。661
0.230
0。213
0.449
0。255
0.363
0。960
1
A8
0.491
1
0.408
0。157
0.828
0.948
0。206
0.210
0.994
A9
1
0.669
0.232
0。910
0.435
0.198
0.140
0。157
0。854
A10
0.547
0.562
0。673
1
0.339
0.319
0.299
0.523
0。444
现在定义和分别为用电功率和学生满意度的权值，有如下目标函数关系式：

即：

下来我们找出相应的约束条件：
1、 若表示这个教室开放；反之表示这个教室不开放
2、 因为从每个宿舍区到各个不同的自习区上自习的人数等于现在所有开放 的教室所容纳的人数,所以有如下关系：
3、用表示学生能上自习的满足率，根据已知条件有：
4、用表示第个教室的满座率，根据已知条件有：
5、假设每个宿舍区人数相等均为800人，而上自习的可能性为0。7，则每 个宿舍区需要上自习的学生为560人；且有到各个自习区的第宿舍的 人数之和为,应等于第宿舍区上自习的人数。即满足关系:
6、去每个自习区的人数不能超过其最大容量与满座率的乘积.去每个自习 区的人数为,第个自习区的最大容量与满座率的乘积 ,则对于第个自习区来说，它满足的关系为:
7、另外题目要求尽量安排开放同区的教室,据此定义为自习区教室的 分散度,然后定义为第个自习区的教室开放比例,因为每个区 有5个教室，所以的取值只有 5个，即

下面说明的值怎么确定:
第自习区开放的教室数量为，那么第自习区的开放比例为由此，可以确定所有开放教室的分散度为：

由于当开放教室的数量一定，即是定值。因为所有之和为定值，所以之积越大,则说明之间的差异越小,也就是说教室的开放越分散;反之,之积越小，分散度越小，说明之间的差异越大，表示开放的教室越集中。
即建立如下数学模型:

这里的表示可以承受的最大分散度,计算的时候可以给它赋予一定的值，以此来求出教室开放的方案。
求解时,学校安排教室最主要的目的是节约用电，所以教室的用电量占的权重较大，分配为0。6，其次考虑学生满意度的问题，分配权重为0.4。
5。2.2模型求解
对以上模型利用 Lingo软件求解,由于本题中的分散度没有指定要求,先指定当分散度为 0。1的时候,教室的开放情况及各个教室的满座率方案如下表4所示：
表4 教室的开放情况及各个教室的满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
教室
开放情况
满座率
1
1
0。89
10
0
0
19
1
0。90
28
1
0.90
37
1
0。90
2
1
0.90
11
0
0
20
1
0。90
29
1
0.89
38
1
0。90
3
1
0.90
12
1
0.90
21
1
0。90
30
1
0.90
39
1
0.90
4
1
0.90
13
1
0。89
22
1
0.90
31
1
0.90
40
1
0.90
5
1
0.90
14
1
0.90
23
1
0。90
32
1
0.90
41
1
0.90
6
0
0
15
0
0
24
1
0.90
33
1
0.89
42
1
0。90
7
0
0
16
1
0.90
25
1
0。90
34
1
0。90
43
1
0.90
8
1
0.90
17
1
0.90
26
1
0。90
35
1
0。90
44
0
0
9
0
0
18
1
0.90
27
1
0.90
36
1
0。90
45
1
0。90
各个宿舍区A到各个自习区B的学生人数如下表5所示：
表5 各个宿舍区A到各个自习区B的学生人数

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0
104
0
0
1
1
1
1
446
A2
1
1
1
1
0
353
1
196
1
A3
0
0
403
4
1
1
0
146
0
A4
224
0
173
0
1
1
155
1
0
A5
1
1
1
0
516
35
0
0
1
A6
0
0
0
4
1
1
548
1
0
A7
1
1
0
1
0
0
0
551
1
A8
1
1
1
1
0
551
0
0
0
A9
371
0
1
88
1
1
1
1
91
A10
0
0
1
549
1
1
1
2
0
合计
599
108
581
648
521
945
707
899
540

综合表4，表5可得，共开放教室38个，与模型一求解的结果相比多增加开放了3个教室，在45个教室中，第6,7，9,10,11，15,44教室关闭，可以看出6，7，9，10属于第2自习区，即符合题中的尽量安排开放同区的教室。每个自习区在满足自习人数的条件下,B1自习区有599名学生上自习； B2自习区有108名学生上自习；B3有581名学生上自习；B4有648名学生上自习；B5有521名学生上自习;B6有945名学生上自习；B7有707名学生上自习;B8有899名学生上自习；B9有540名学生上自习。

六、模型评价及推广
6.1 模型优点
1、 引入了“分散度"的概念，很好的衡量了教室的集中性问题；
2、 合理的将宿舍区和教室之间的距离问题转换为学生的满意度来衡量;
3、 运用极差标准化将用电量与学生满意度进行了统一，简化了问题的求解过程;
4、以用电总功率最小为目标函数建立优化模型,采用0—1整数规划模型进行求解,并且利用LINGO软件编程得到比较合理的教室开放方案,此方法计算复杂度低,合理性强，并能够达到优化目的；而且模型比较简洁。
6.2 模型缺点
1、将多目标优化问题加权规划成单目标优化问题，确定各目标的权值时人为的对各因素条件赋予不同权值，即主观性比较强。
2、对问题没有考虑周全，缺乏严谨性。
七、参考文献
[1］ 母丽华，周永芳。数学模型.北京:科学出版社，2011.
［2］ 王兵团。数学建模基础。北京：清华大学出版社；北京交通大学出版 社，2004。
［3] 谢金星,薛毅。优化建模与LINGO/LINGO软件。北京：清华大学出版社， 2004。
［4] 张兴永.数学建模简明教程.江苏徐州:中国矿业大学出版社,2001.
八、附录
表1 教室相关数据

教室
座位数
灯管数
开关数
一个开关控制的灯管数
灯管的功率/每只
1
64
42
3
14
40w
2
88
42
3
14
40w
3
193
48
4
12
50w
4
193
50
5
10
48w
5
128
36
2
18
45w
6
120
36
2
18
45w
7
120
36
4
9
48w
8
120
36
3
12
45w
9
110
36
3
12
40w
10
120
36
4
9
45w
11
64
27
3
9
40w
12
247
75
5
15
45w
13
190
48
3
16
48w
14
210
50
5
10
50w
15
70
42
3
14
40w
16
85
42
3
14
40w
17
192
48
4
12
50w
18
195
50
5
10
48w
19
128
36
2
18
45w
20
120
36
2
18
45w
21
120
36
4
9
48w
22
120
36
3
12
45w
23
110
36
3
12
40w
24
160
36
4
9
45w
25
70
27
3
9
40w
26
256
75
5
15
45w
27
190
48
3
16
48w
28
210
50
5
10
50w
29
190
48
3
16
48w
30
205
50
5
10
50w
31
110
36
3
12
40w
32
160
36
4
9
45w
33
70
27
3
9
40w
34
256
75
5
15
45w
35
190
48
3
16
48w
36
210
50
5
10
50w
37
190
48
3
16
48w
38
190
48
3
16
48w
39
210
50
5
10
50w
40
200
48
3
16
48w
41
150
50
5
10
50w
42
150
48
3
16
48w
43
180
48
3
16
48w
44
70
25
5
5
50w
45
120
45
3
15
48w

表2 学生区（标号为A）到自习区（标号为B）的距离(单位：米）

B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
355
305
658
380
419
565
414
488
326
A2
695
533
469
506
434
473
390
532
604
A3
512
556
384
452
613
572
484
527
618
A4
324
541
320
466
422
650
306
607
688
A5
696
616
475
499
386
557
428
684
591
A6
465
598
407
476
673
573
385
636
552
A7
354
383
543
552
448
530
481
318
311
A8
425
305
454
573
337
314
545
543
306
A9
307
376
535
323
447
553
587
577
334
A10
482
477
441
361
570
580
591
491
522

18