人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质.doc

第1讲 二次根式认识、性质
第一部分 知识梳理
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件
知识点二：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用：
（1）、如若，则a=0,b=0；
（2）、若，则a=0,b=0；
（3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质
第二部分 考点精讲精练
考点1、二次根式概念
例1、下列各式：1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例3、在式子中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）
例5、若的平方根是，则．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个
3、下列各式一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、 、 、 （x>0）、、 、 －、 、 （x≥0，y≥0） ．
5、在、、、、-中一定是二次根式的个数有______个。
考点2、根式取值范围及应用
例1、若式子有意义，则x的取值范围是
例2、使有意义的的取值范围
例3、当时，式子有意义．
例4、在下列各式中，m的取值范围不是全体实数的是（ ）
A． B． C． D．
例5、若y=++2019，则x+y=
例6、实数a，b，c，如图所示，化简－│a－b│+=______．
举一反三：
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
2、使代数式有意义的x的取值范围是
3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）
A、第一象限　 　B、第二象限　 　C、第三象限　 　D、第四象限
4、式子有意义，为________
5、 是二次根式，则x、y应满足的条件是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
6、若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
7、若x、y都是实数，且y=，求xy的值
8、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
考点3、根式的非负性及应用
例1、若，则的取值范围（ ）
A、 B、 C、 D、为任意实数
例2、若成立，则x满足__________
例3、（1）、若则
（2）、已知，则=___________
例4、已知：, 求x－y的值.
例5、（1）、若+=0，求a2019+b2019的值．
（2）、若，求的值。
举一反三：
1、若，则的值为
2、已知为实数，且，则的值为（ ）
A、3 B、– 3 C、1 D、– 1
3、若与互为相反数，则=
4、已知：
考点4、二次根式的性质（1）
例1、已知数a，b，若=b－a，则（ ）
A、a>b          B、a<b    C、a≥b            D、a≤b
例2、将根号外的a移到根号内，得（ ）
A、 B、－       C、－       D、
例3、先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1－a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a－1）=2a－1=17．
两种解答中，______的解答是错误的，错误的原因是_________
例4、若－3≤x≤2时，试化简│x－2│++。
例5、实数a，b，c，如图所示，化简－│a－b│+=______．
举一反三：
1、把（a－1）中根号外的（a－1）移入根号内得
2、已知a<0，化简二次根式 =
3、把根号外的因式移到根号内，得
4、若，求a－20192的值．
（提示：先由a－2019≥0，判断2019－a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
5、已知a,b,c为三角形的三边，
则=
考点5、二次根式的性质（2）
例1、（1）．计算：
（2）. 计算：______
（3）．当，b＜0时，
例2、等式成立的条件是（ ）
A、x≥0 B、x≥6 C、0≤x≤6 D、x为一切实数
例3、 （1）
（2）
例4、 （）2（x≥0） （）2
例5、甲、乙两人对题目“化简并求值：，其中”有不同的解答：
甲的解答：，
乙的解答：。
谁的解答是错误的？为什么？
举一反三：
1、若=－x，则x的取值范围是
2、
3、
4、
5、观察下列各式：……，请你将猜想到的规律用含自然数的代数式表示出来是　 ．
6、已知－1<a<0，化简＝
7、已知
8、若a，b为实数，且b=，试求的值.
第三部分 课堂小测
1、判断下列根式是否二次根式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
2、是怎样的实数时，下列各式有意义。
（1） （2）
（3） （4）
3、若，则=________
4、若代数式 有意义，则x的取值范围是什么？
5、 × ×
6、
7、
8、如图，实数、在数轴上的位置，化简 ：
9、化简
第四部分 提高训练
1、先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2、计算（利用公式）
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为与成立，且分式也成立，故有＞0，＞0，而同时公式：=-2+，-=，可以帮助我们将和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式=+=+=2-2
3、计算：（适当配方）
分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+其分子必有含1+的因式，于是可以发现3+2=，且，通过因式分解，分子所含的1+的因式就出来了。
解：原式==1+
4、计算（拆项变形法）
分析：本例通过分析要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。
解：原式==
5、计算（借用整数“1”处理）
分析：本例运用很多方面的知识如： 1=×，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式=
第五部分 课后作业
1、当______时，是二次根式.
2、______ ； ________ ； .
3、把7写成一个数的平方得_______.
4、在实数范围内因式分解_____.
5、若不是二次根式，则取值范围是_______
6、当______时，无意义.
7、当x______时，有意义；在中x的取值范围是________
8、当a＜1且a≠0时，化简＝
9、若在实数范围内有意义， 则满足的条件是（ ）
A、 B、
C、 D、或
10、已知x,y都是实数,且满足 , 化简.
11、在实数范围内因式分解：_________
12、若有意义，则的取值范围是_______
13、在实数范围内因式分解：_______
14、 （x≥0，y≥0）
15、
16、已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图所示，
化简
18、已知。
第1讲 二次根式认识、性质
参考答案
第二部分 考点精讲精练
考点1、
例1、 1）、3）、4）、5）、7）
例2、（1）是 （2）不是：被开方数小于0 （3）是
（4）不是：三次根式 （5）不是：被开方数小于0
（6）不是：被开方数小于0
例3、C
例4、①②③⑥
例5、7
举一反三：
1、D
2、2
3、C
4、二次根式：、（x>0）、、 －、（x≥0，y≥0）
不是二次根式：、 、 、 、 、
5、2
考点2、
例1、X>3
例2、1<X≤3
例3、 且X
例4、B
例5、2023
例6、C
举一反三：
1、D
2、1
3、C
4、2
5、D
6、C
7、
8、
考点3、
例1、A
例2、
例3、（1）3 ； （2）2
例4、 ， ，
例5、（1） ， ，a2019+b2019＝2
（2） ，
举一反三：
1、2
2、D
3、－1
4、 ， ，代数式值＝1
考点4、
例1、D
例2、B
例3、
例4、 │x－2│++
例5、C
举一反三：
1、
2、
3、
4、
5、
考点5、
例1、（1） ； 18 （2） （3）
例2、B
例3、（1） ， ， （2） ，
例4、 ；
例5、
举一反三：
1、
2、
3、 ； ； 2 ；
4、
5、
6、
7、 ＝
8、 原式＝
第三部分 课堂小测
1、（1）不是 ；（2）是 ； （3）不是 ； （4）不是
（5）不是 ；（6）是 ； （7）不是 ； （8）是
2、（1） ；（2） ；（3） ； （4）为任意实数
3、2
4、 且
5、 ； ； 36 ； 90
6、2 ； ； 45
7、 ； ；
8、
9、
第四部分 提高训练
1、
2、分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为与成立，且分式也成立，故有＞0，＞0，而同时公式：=-2+，-=，可以帮助我们将和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式=+=+=2-2
3、分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+其分子必有含1+的因式，于是可以发现3+2=，且，通过因式分解，分子所含的1+的因式就出来了。
解：原式==1+
4、计算（拆项变形法）
分析：本例通过分析要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：再化简，便可知其答案。
解：原式 =
5、计算（借用整数“1”处理）
分析：本例运用很多方面的知识如： 1=×，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式=
第五部分 课后作业
1、
2、1.6 ； 18 ；
3、 （符合即可）
4、
5、
6、
7、 ； 且
8、
9、D
10、－1
11、
12、
13、
14、88 ； ；
15、2 ； ； ； ； ；
16、
17、 原式＝