循环码的一种构造方法研究.pdf

第 卷第 期 年 月新余学院学报 ，循环码的一种构造方法研究 游龙，王成东（重庆交通大学数学与统计学院，重庆 櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆）摘要：运用循环码生成多项式的性质与定义，对循环码新的构造方法进行研究，确定了构造出的循环码的重量分布、重量谱、最小距离和自同构群。新的构造方法在一定条件下比现有文献中的构造方法更易得出循环码的自同构群等性质。关键词：循环码；重量谱；最小距离；自同构群中图分类号：文献标志码：文章编号：（）櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 收稿日期：作者简介：游龙（），男，重庆合川人，重庆交通大学 级系统科学专业硕士研究生。循环码是一类非常重要的线性码，广泛应用于最优码、自对偶码以及量子码的构造及信号处理、信号加密等方面 。年，最先开始研究循环码。年，对一定条件下循环码的重量谱进行研究并计算。年，研究了部分循环码的自同构群。年，研究了非交换环 上的循环码，并给出了该环上循环码的充要条件和生成矩阵。年，等 研究了特殊循环码的一些应用。年，黄素娟等 构造了几类最优重根循环码。虽然目前国内外学者对循环码的研究取得了一些的成果，但在求循环码的自同构群等性质的方法方面依旧有所欠缺。因此，继续寻找更优的方法显得尤为重要。基于此，本文提供了一种循环码的构造方法，使循环码的各项参数和部分性质更易于研究。预备知识 循环码的定义码长为 的 元线性 叫做循环码，是指对任意的（，），有（，）。定义一个映射如公式（）所示：（）通过公式（）可得到公式（）：（，）（）（）那么码长为 的 元线性码 是循环码当且仅当 （）（）是商环 的理想。商环为主理想环，对于每个码长为 的 元线性码，存在唯一的首一多项式 （）让 （）且 （）（），（）称为码 的生成多项式，并且码 的维数 （）（）。令 是长度为 的有限集，：。在二元域上 维向量空间 中存在标准基，这里的 。长度为 的二进制线性码 是向量空间 的线性子空间，可由标准基 生成。循环码的支集和重量定义 的支集和重量定义如公式（）所示：（）：（）：（）（）新余学院学报 年、的共同重量定义如公式（）所示：（，）：（）（）（）显然，重量和共同重量函数在置换下是不变的。线性码 的权值谱和最小距离有如下定义，如公式（）所示：（）：（）（）：（）（）如果 可以写成，那么就称它是可分解的。这里的、，并且 （）（）。如果线性码 的元素非零且不可分解，则它是不可分解的。显然，线性码 中任何元素的最小距离 （）都是不可分解的，并且不可分解元素的集合在 （）的作用下都是不变的。主要结果与证明 构造循环码 （，）令 、瓔，循环码 （，）的码长 ，下面定义两类多项式（）和（），其中多项式（）和（）分别如公式（）和公式（）所示：（）（）（）（）（）（）（）（）其中 ，（，（），（，（）。下面定义（）、（）、（）、（）与（）、（）、（）、（）的具体结构，分别如公式（）和公式（）所示：（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（），（），（）其系数如公式（）所示：（，）（，）（，）（）（），（），（）（），（）（）（）、（）、（）、（）其系数如公式（）所示：（，（）（），（，（），（，（）（），（，（）（）当循环码 （，）长度为 时，任意多项式（）、（）、（）、（）、（），（）、（）、（）都可由向量表示，分别如公式（）和公式（）所示：（）（）（，（）（）（）（）（，（）（）下面将多项式（）对应向量记为，（）对应向量记为，（）对应向量记为。（）对应向量记为，（）对应向量记为，（）对应向量记为，其中向量中系数对应位置为 ，其余取 。并令 ：，：。第 期游龙，王成东：循环码的一种构造方法研究 下面定义生成矩阵，这里的 由（）和（）的系数构成。但值得注意的是一共有 个多项式，但需要从中任取 个多项式的系数去构成生成矩阵 ，并且在生成矩阵 中系数对应位置为 ，其余取 。若取（）、（）、（）、（）与（）、（）、（）、（）的系数构成生成矩阵，则生成矩阵 如公式（）所示：（）（）（）然后再根据生成矩阵有 行，线性子空间基的个数为 ，那么可以通过生成矩阵生成（）个码字，并且生成的码是循环码。循环码 （，）的重量分布和重量谱下面研究循环码 （，）的重量分布和重量谱，令 ，那么由 ，得到：，其中 ：，：，（），（）并且 ，。既然重量函数在 （）（）作用下是不变的，那么以下描述如公式（）所示：（，）（，）（，）（）这里的（，）（）（）。可以得到循环码 （，）的重量公式如公式（）所示：（）（，）（）（）（）（）显然 时当且仅当 ，因此可以得到循环码 （，）的重量谱如公式（）所示：（）（）（），（）在 ，时对长度为 的循环码 （，）有以下描述，如公式（）所示：，（）（）循环码 （，）的维数及证明定理 长度为 的循环码 （，）的维数为 。证明：由公式（）可知，线性子空间基的个数为 个，则定理 可由循环码的性质可证。循环码 （，）的最小距离及证明定理 长度为 的循环码 （，）的最小距离为 。证明：为了求出 （，）的最小距离，需要使用公式（）。令 ，：，：。如果 ，那么循环码（，）的重量如公式（）所示：（）（）（）（）（）在相 等 时 当 且 仅 当 或（，）（，），（，）。如果 ，那么 （）（）（）是 的倍数，等于 时当且仅当（，）（，），（，），相当于 。通过上述分析可得 （，）的最小距离为 。循环码 （，）的自同构群及证明定理 令 （，），其自同构群可得如下：（），（）（）；（），（）（）；（），（）（）（）。证明：（）和（）可以从对 （，）的描述公式（）得到。当，回顾公式（），可以得到 （）在 （）作用下是不变的，此外 可如公式（）所示：（），（）在 （）作用下也是不变的。因此 和 在 新余学院学报 年 （）作用下都是不变的，然后再与之前公式（）的描述作比较，这意味着 （）（）（），证毕。循环码生成算例下面用两种构造方法分别构造码长为 的循环码并做出对比：（）使用本文方法。当 ，时，码长为 。此时的生成矩阵可以由（）、（）、（）、（）、（）中任取其中四 个 作 为 基 生 成。那 么 取（）、（）、（）、（）作为生成多项式的基，那么这时的生成矩阵 可如公式（）所示：（）此时根据定理 易得生成的码字是码长为 ，维数为，最小距离为，自同构群为 （）（）的循环码。（）使用因式分解方法。当码长为 ，这时 （），生成多项式 （），那么这时的生成矩阵 可如公式（）所示：（）此时易得生成的码字码长为 ，维数为 。但其自同构群与最小距离却不易求得。通过方法与的对比，可验证本文构造方法在一定条件下比现有文献中的构造方法更易得出循环码的自同构群等性质。下面给出用本文方法构造的循环码的部分例子。例 当 ，时，根据上述定理可以得到码长 ，维数为 ，最 小 距 离 为 ，自 同 构 群 为 （）（）的循环码。例 当 ，时，根据上述定理可以得到码长为 ，维数为 ，最小距离为 ，自同构群为 （）（）的循环码。例 当 ，时，根据上述定理可以得到码长为 ，维数为 ，最小距离为 ，自同构群为 （）（）的循环码。例 当 ，时，根据上述定理可以得到码长为 ，维数为 ，最小距离为 ，自同构群为 （）（）的循环码。结语本文在文献 的基础上，利用循环码生成多项式的性质与定义，对循环码新的构造方法进行研究，具体通过定义了两类多项式（）和（），并对它们的参数进行分析。本文的研究结果对于线性分组码的学习和研究起到了夯实基础的积极作用。下一步，一个值得探讨的问题是如何更好地构造常循环码、负循环码等，并分析它们的参数。参考文献：李锦 环 上循环码构造的量子码 中国科学技术大学学报，（）：管乾清，开晓山，朱士信，等 （）上厄米特自正交常循环码 电子学报，（）：，：，（）：，（）：，（）第 期游龙，王成东：循环码的一种构造方法研究 ，：，（）：黄素娟，孙中华，朱士信 几类最优重根循环码的构造 电子学报，（）：（责任编校：任华），（）：，：；