第十三章-级数-(2).doc

习 题 13 - 1 1已知级数的前项部分和为：（1）求此级数的一般项，并写出前三项；（2）判别此级数的敛散性，若收敛，则求出级数的和解（1）；（2），因而该级数收敛，且和为2用定义判别下列级数的敛散性，并对收敛级数求其和：（1）；（2）；（3）；（4）解（1），因此该级数收敛，且和为；（2），因此该级数收敛，且和为；（3），因此该级数发散；（4）不存在，故该级数发散3判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1），因而级数发散；（2）级数与均为收敛的，级数也是收敛的；（3），级数发散；（4），级数发散；（5）级数为，它是公比的等比级数，因而是收敛的；（6）级数加括号后可化为，因级数收敛，而级数发散，因此该级数发散4设级数收敛，且其和为，问是否收敛？若收敛则求其和解记，则有，记级数的前项和为，那么有，因而级数是收敛的，且其和为习 题 13 - 21用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）因为，级数发散，所以级数发散；（2），因级数收敛，所以级数也收敛；（3），级数收敛，因而该级数收敛；（4），级数收敛，该级数收敛；（5）因为，级数发散，因而该级数发散；（6）当时，当时，因此时，该级数发散，当时，而级数当时收敛，因而原级数也收敛，即当时，该级数发散，时，该级数收敛2用比值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）解（1），该级数发散；（2），级数收敛；（3），级数发散；（4），级数收敛；（5），级数收敛；（6），当时，级数收敛，是级数发散，当时，由于，由于级数发散，因此级数也发散3用根值法判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1），级数收敛；（2），级数收敛；（3），级数收敛；（4），级数发散4用适当方法判别下列级数敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1），而级数发散，因此该级数发散；（2），因级数收敛，因此该级数收敛；（3），级数收敛；（4），当时，级数收敛，当时，级数发散，当时级数为，它是发散的；（5），级数收敛，该级数收敛；（6）因时，所以该级数是正项级数，因，所以，级数收敛，所以也收敛5利用级数收敛的必要条件证明：（1）；（2）证明（1）考察级数，级数收敛，所以；（2）考察级数，级数收敛，所以有6设是收敛的正项级数，证明也收敛证明收敛，则，因而数列有界，即，对为正整数均有，由此可得，级数收敛，因此也收敛7设，且，证明若收敛，则也收敛证明由题设有，即数列是单减正项数列，因此有，级数收敛，因此级数也收敛8设为收敛的正项级数，证明：（1）级数收敛；（2）收敛证明（1）因，级数收敛，则级数也收敛，因此级数收敛，由正项级数的比较审敛法知级数收敛；（2）因，级数收敛，因此也收敛习 题 13 - 31判别下列级数的敛散性，若收敛，则指出是条件收敛还是绝对收敛：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）为常数）；（6）；（7）；（8）解（1），级数收敛，该级数绝对收敛；（2）记当时，因此有，又，因此该级数收敛，又级数发散，所以该级数条件收敛；（3）因，因此它不满足级数收敛的必要条件，级数发散；（4）收敛，该级数绝对收敛；（5），级数，该级数绝对收敛；（6），级数发散；（7），积分收敛，因而级数收敛，该级数绝对收敛；（8）记，则数列单减，且，由莱布尼茨判别法知该级数收敛，由时，因此级数发散，该级数条件收敛2证明：若数列有界，则级数收敛证明由题设可知，对于均有，因级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数也收敛3判别下列命题是否正确：（1）若级数收敛，则级数与也收敛；（2）若级数收敛，且，则级数也收敛解（1）命题不正确例如，则收敛，但与均为发散的（2）命题不正确例如，则有，收敛，但发散4设级数与均为收敛级数，证明：（1）级数绝对收敛；（2）收敛证明（1）因，级数与均收敛，因而也收敛，由此可得级数，即级数绝对收敛；（2），级数，和都收敛，所以也收敛5证明：级数条件收敛证明，因此该级数是交错级数，由于单减，且，由莱布尼茨定理可知级数收敛，又时，而级数是发散的，因此级数为条件收敛的6设正项数列单调减少，且级数发散，证明收敛证明由单调有界收敛原理可知存在，设，则，又级数发散，由莱布尼茨定理可知必有，所以有，由正项级数的根值审敛法可知级数收敛习 题 13 - 41设对任意，证明幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径证明设的收敛半径为，那么当时，级数收敛，因，所以有，因此当时，级数收敛，即在区间内级数绝对收敛，因此幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径2求下列幂级数的收敛半径与收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1），时，级数为是发散的，时，级数为是收敛的，级数的收敛域是；（2），把代入，该级数分别为与均为收敛的，因此它的收敛域是；（3），把代入，级数为，记，因此级数发散，同理把代入，级数为也是发散的，级数的收敛域为；（4），收敛域为；（5）时，该级数绝对收敛，当时，该级数发散，因此它的收敛半径为，把代入，级数为，它是收敛的，因此级数的收敛域为；（6）级数可化为，把代入，级数为，它是收敛的，把代入，级数为，它是发散的，因此级数的收敛域是3求下列幂级数的收敛域及和函数：（1）；（2）；（3）；（4）解（1），收敛域为，设，则有；（2）级数的收敛域为，它的和函数为；（3）级数的收敛域为，设它的和函数为，则有，所以（4）该级数的收敛域为，设，则有4求数项级数的和解考察幂级数，它的收敛域为，根据，可得，因此有5设（1）证明在内连续；（2）计算解（1）的收敛区间为，因此在内是连续的；（2）6设有幂级数（1）求该幂级数的收敛域；（2）证明此幂级数满足微分方程；（3）求此幂级数的和函数解（1），该级数的收敛半径为，它的收敛域是；（2）设，则有，所以它的和函数满足微分方程；（3）方程的通解为，由题设有，代入可解得，所以有习 题 13 - 51将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）2将下列函数在指定点处展开为的幂级数，并指出展开式成立的区间：（1）；（2）；（3）；（4）解（1），所以；（2）；（3）；（4），3若，证明：（1）为偶函数时必有；（2）为奇函数时必有证明（1）为偶函数，则必为奇函数，；（2）为奇函数，则也是奇函数，4已知在上有各阶导数，在任意取定点处的泰勒级数在上都收敛于，若，求及解，习 题 13 - 61计算下列各数的近似值（精确到三位小数）：（1）；（2）；（3）解（1），取，则余项，取，则有，相应的有；（2），取，则余项，取；（3），取，则余项，取，则有，2利用Euler公式求函数的Maclaurin级数展开式解3用幂级数法求初值问题的解解设，代入方程可得，当时有递推公式习 题 13 - 71将下列周期为的函数展开成Fourier级数，它们在一个周期内分别定义为：（1）（2）（3）解（1）所以所求展开式为，因函数在内处处连续，所以上式成立的范围是；（2），所求级数展开式为由于函数在处不连续，所以上述展开式成立范围是；（3），函数在上处处连续，因此有2将下列函数展开成Fourier级数：（1），（2）；（3）（为常数，且）解（1），；（2）,；（3），3将下列函数展开为指定的Fourier级数：（1），展开为正弦级数；（2）展开为余弦级数解（1），所以有；（2），所以有4将下列周期函数展开为Fourier级数，它们在一个周期内的定义分别为：（1）；（2）；解（1）函数的周期为的周期函数，且是偶函数，；（2）函数的周期为的周期函数，5设，（1）将展开为以为周期的Fourier级数；（2）将展开为以为周期的余弦级数解（1）；（2），6设（1）若，其中，试求及的值；（2）若，其中，试求及的值；（3）若，其中，试求及的值解（1）是以为周期的Fourier级数的和函数，因此有；（2）是以为周期的余弦级数的和函数，因此有；（3）是以为周期的正弦级数的和函数，因此有，总复习题十三1判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）均为正数)；（4）（5）；（6）解（1），级数收敛；（2），由根值审敛法知级数收敛；（3），由正项级数审敛法的极限形式知该级数与的敛散性相同，因此时，该级数收敛，时，该级数发散；（4），由比较审敛法的极限形式知该级数收敛；（5），级数发散，由正项级数比较审敛法知该级数发散；（6）数列单增，且，故该级数为正项级数，而，因此当时，该级数收敛，当该级数发散；2设，且，判别级数的敛散性，若收敛则判别是绝对收敛还是条件收敛解，因，所以，即该级数是收敛的，且和为，又，因此级数发散，由此可知该级数是条件收敛的3设级数的前项和为，求级数的一般项及和解=，即级数为，它的和4判别下列级数是否收敛，若收敛，则判别是条件收敛还是绝对收敛：（1）；（2）；（3）；（4），解（1），因级数收敛，级数发散，因而发散；（2）单减，该级数收敛，又级数发散，因而它是条件收敛的；（3），因级数条件收敛，而级数绝对收敛，该级数条件收敛；（4）考察函数，当时有，因此时，级数收敛，由比较审敛法极限形式知级数收敛，即该级数是绝对收敛的5设，证明：（1）当时级数绝对收敛；（2）当时级数条件收敛证明（1），因为时级数收敛，故级数在时绝对收敛；（2）若，则，记，则是单减正的数列，且，所以有，由莱布尼茨判别法知级数是收敛的，又而时级数发散，故此时级数也发散，因而当时级数条件收敛6设在上有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛证明由可知，在上连续，由连续函数的最值定理知在区间上可以取到最大值与最小值，因而是有界的，即时，有，由Maclaurin公式可得，因此有，因级数，由正项级数比较审敛法可知级数收敛，即该级数绝对收敛7已知满足为正整数），且，求函数项级数之和解方程的通解为，由可得，所以8求幂级数的收敛域及和函数解（1）因为，令得，此时级数为收敛的，当时，级数为发散，所以收敛域为；（2）设，则，令，因为，所以，因为，所以，所以9求函数项级数的收敛域及和函数解令，则级数可化为，级数的收敛域为，因此级数在时收敛，即为，所以级数的收敛域是，记，则，记，则，由此可得，设级数的和函数为，则有，10求的Maclaurin级数展开式，并求级数的和解，合并上面两级数，由此可得到11将展开为的幂级数，并证明解，12证明证明因为，所以13设是周期为的周期函数，它在一个周期内定义为将展开为Fourier级数解，所以有14将函数分别展开为正弦级数和余弦级数解（1）正弦级数；（2）余弦级数，15设周期函数的周期为，证明：（1）如果，则的Fourier系数；（2）如果，则的Fourier系数；证明（1） ；（2），同理可证16证明：在上成立：（1）；（2），并由此可推出1）；2）证明（1）记，则函数以为周期的余弦级数展开式的系数分别为因此有；（2）函数以为周期的正弦级数展开式的系数为因此有1）把代入到（1）中可得；2）把代入到（2）中可得17设是周期为的周期函数，且在上连续，其Fourier系数为（1）求函数（为常数）的Fourier系数；（2），求的Fourier系数；（3）证明解（1），；（2），；（3）由（2）可知，令即得