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习 题 13 - 1
1．已知级数的前项部分和为：
（1）求此级数的一般项，并写出前三项；
（2）判别此级数的敛散性，若收敛，则求出级数的和．
解 （1）；
（2），因而该级数收敛，且和为．
2．用定义判别下列级数的敛散性，并对收敛级数求其和：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1），因此该级数收敛，且和为；
（2），因此该级数收敛，且和为；
（3），，因此该级数发散；
（4）
不存在，故该级数发散．
3．判别下列级数的敛散性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）；
（6）．
解 （1），因而级数发散；
（2）级数与均为收敛的，级数也是收敛的；
（3），级数发散；
（4），级数发散；
（5）级数为，它是公比的等比级数，因而是收敛的；
（6）级数加括号后可化为
，
因级数收敛，而级数发散，因此该级数发散．
4．设级数收敛，且其和为，问是否收敛？若收敛则求其和．
解 记，则有，记级数的前项和为，那么有，因而级数是收敛的，且其和为．
习 题 13 - 2
1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解 （1）因为，级数发散，所以级数发散；
（2），因级数收敛，所以级数也收敛；
（3），级数收敛，因而该级数收敛；
（4），级数收敛，该级数收敛；
（5）因为，级数发散，因而该级数发散；
（6）当时，，当时，，因此时，该级数发散，当时，，而级数当时收敛，因而原级数也收敛，即当时，该级数发散，时，该级数收敛．
2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）（）．
解 （1），该级数发散；
（2），级数收敛；
（3），级数发散；
（4），级数收敛；
（5），级数收敛；
（6），当时，级数收敛，是级数发散，当时，由于，由于级数发散，因此级数也发散．
3．用根值法判别下列级数的敛散性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1），级数收敛；
（2），级数收敛；
（3），级数收敛；
（4），级数发散．
4．用适当方法判别下列级数敛散性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解 （1），而级数发散，因此该级数发散；
（2），因级数收敛，因此该级数收敛；
（3），级数收敛；
（4），当时，级数收敛，当时，级数发散，当时级数为，它是发散的；
（5），级数收敛，该级数收敛；
（6）因时，所以该级数是正项级数，因，所以，级数收敛，所以也收敛．
5．利用级数收敛的必要条件证明：
（1）； （2）．
证明 （1）考察级数，级数收敛，所以；
（2）考察级数，级数收敛，所以有．
6．设是收敛的正项级数，证明也收敛．
证明 收敛，则，因而数列有界，即，对为正整数均有，由此可得，级数收敛，因此也收敛．
7．设，且，证明若收敛，则也收敛．
证明 由题设有，即数列是单减正项数列，因此有，级数收敛，因此级数也收敛．
8．设为收敛的正项级数，证明：
（1）级数收敛；（2）收敛．
证明 （1）因，级数收敛，则级数也收敛，因此级数收敛，由正项级数的比较审敛法知级数收敛；
（2）因，级数收敛，因此也收敛．
习 题 13 - 3
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，则指出是条件收敛还是绝对收敛：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）为常数）； （6）；
（7）； （8）．
解 （1），级数收敛，该级数绝对收敛；
（2）记当时，，因此有，又，因此该级数收敛，又级数发散，所以该级数条件收敛；
（3）因，因此它不满足级数收敛的必要条件，级数发散；
（4）收敛，该级数绝对收敛；
（5），级数，该级数绝对收敛；
（6），级数发散；
（7），积分收敛，因而级数收敛，该级数绝对收敛；
（8）记，则数列单减，且，由莱布尼茨判别法知该级数收敛，由时，因此级数发散，该级数条件收敛．
2．证明：若数列有界，则级数收敛．
证明 由题设可知，对于均有，因级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数也收敛．
3．判别下列命题是否正确：
（1）若级数收敛，则级数与也收敛；
（2）若级数收敛，且，则级数也收敛．
解 （1）命题不正确．
例如，则收敛，但与
均为发散的．
（2）命题不正确．
例如，则有，收敛，但发散．
4．设级数与均为收敛级数，证明：
（1）级数绝对收敛；（2）收敛．
证明 （1）因，级数与均收敛，因而也收敛，由此可得级数，即级数绝对收敛；
（2），级数，和都收敛，所以也收敛．
5．证明：级数条件收敛．
证明 ，因此该级数是交错级数，由于单减，且，由莱布尼茨定理可知级数收敛，又时，，而级数是发散的，因此级数为条件收敛的．
6．设正项数列单调减少，且级数发散，证明收敛．
证明 由单调有界收敛原理可知存在，设，则，又级数发散，由莱布尼茨定理可知必有，所以有，由正项级数的根值审敛法可知级数收敛．
习 题 13 - 4
1．设对任意，证明幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径．
证明 设的收敛半径为，那么当时，级数收敛，因，所以有，因此当时，级数收敛，即在区间内级数绝对收敛，因此幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径．
2．求下列幂级数的收敛半径与收敛域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解 （1），时，级数为是发散的，时，级数为是收敛的，级数的收敛域是；
（2），把代入，该级数分别为与均为收敛的，因此它的收敛域是；
（3），把代入，级数为，记，因此级数发散，同理把代入，级数为也是发散的，级数的收敛域为；
（4），收敛域为；
（5）时，该级数绝对收敛，当时，该级数发散，因此它的收敛半径为，把代入，级数为，它是收敛的，因此级数的收敛域为；
（6）级数可化为，，把代入，级数为，它是收敛的，把代入，级数为，它是发散的，因此级数的收敛域是．
3．求下列幂级数的收敛域及和函数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1），收敛域为，设，则有；
（2）级数的收敛域为，它的和函数为
；
（3）级数的收敛域为，设它的和函数为，则有，所以
（4）该级数的收敛域为，设，则有
．
4．求数项级数的和．
解 考察幂级数，它的收敛域为，根据，可得，因此有
．
5．设．
（1）证明在内连续；
（2）计算．
解 （1）的收敛区间为，因此在内是连续的；
（2）．
6．设有幂级数．
（1）求该幂级数的收敛域；
（2）证明此幂级数满足微分方程；
（3）求此幂级数的和函数．
解 （1），该级数的收敛半径为，它的收敛域是；
（2）设，则有，所以它的和函数满足微分方程；
（3）方程的通解为，由题设有，代入可解得，所以有．
习 题 13 - 5
1．将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4），
；
（5）
；
（6）．
2．将下列函数在指定点处展开为的幂级数，并指出展开式成立的区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1）
，所以；
（2）
；
（3）
；
（4），
．
3．若，证明：
（1）为偶函数时必有；
（2）为奇函数时必有．
证明 （1）为偶函数，则必为奇函数，
；
（2）为奇函数，则也是奇函数，
．
4．已知在上有各阶导数，在任意取定点处的泰勒级数在上都收敛于，若，，求及．
解
，．
习 题 13 - 6
1．计算下列各数的近似值（精确到三位小数）：
（1）； （2）； （3）．
解 （1），取，则余项
，取，则有
，相应的有；
（2），取，则余项，取；
（3），取
，则余项，取，则有，．
2．利用Euler公式求函数的Maclaurin级数展开式．
解
．
3．用幂级数法求初值问题的解．
解 设，代入方程可得
，，当时有递推公式．
习 题 13 - 7
1．将下列周期为的函数展开成Fourier级数，它们在一个周期内分别定义为：
（1） （2）
（3）．
解 （1）
所以所求展开式为
，
因函数在内处处连续，所以上式成立的范围是；
（2）
，
，所求级数展开式为
由于函数在处不连续，所以上述展开式成立范围是；
（3），
，函数在上处处连续，因此有
．
2．将下列函数展开成Fourier级数：
（1）， （2）；
（3）（为常数，且）
解 （1）
，
，
；
（2）
,
；
（3）
，
．
3．将下列函数展开为指定的Fourier级数：
（1），展开为正弦级数；
（2）展开为余弦级数．
解 （1），所以有；
（2），所以有
．
4．将下列周期函数展开为Fourier级数，它们在一个周期内的定义分别为：
（1）；
（2）；
解 （1）函数的周期为的周期函数，且是偶函数，，
，，；
（2）函数的周期为的周期函数，，
，
．
5．设，
（1）将展开为以为周期的Fourier级数；
（2）将展开为以为周期的余弦级数．
解 （1）
；
（2），
．
6．设
（1）若，其中， ，试求及的值；
（2）若，其中，，试求及的值；
（3）若，其中，试求及的值．
解 （1）是以为周期的Fourier级数的和函数，因此有
；
（2）是以为周期的余弦级数的和函数，因此有
；
（3）是以为周期的正弦级数的和函数，因此有
，
．
总复习题十三
1．判别下列级数的敛散性：
（1）； （2）；
（3）均为正数)； （4）
（5）； （6）
解 （1）
，级数收敛；
（2），由根值审敛法知级数收敛；
（3），由正项级数审敛法的极限形式知该级数与的敛散性相同，因此时，该级数收敛，时，该级数发散；
（4），由比较审敛法的极限形式知该级数收敛；
（5），级数发散，由正项级数比较审敛法知该级数发散；
（6）数列单增，且，故该级数为正项级数，而，
，因此当时，该级数收敛，当该级数发散；
2．设，且，判别级数的敛散性，若收敛则判别是绝对收敛还是条件收敛．
解 ，因，所以，即该级数是收敛的，且和为，又，因此级数发散，由此可知该级数是条件收敛的．
3．设级数的前项和为，求级数的一般项及和．
解
=，即级数为，它的和
．
4．判别下列级数是否收敛，若收敛，则判别是条件收敛还是绝对收敛：
（1）； （2）；
（3）； （4），
解 （1），因级数收敛，级数发散，因而发散；
（2）单减，，该级数收敛，又级数发散，因而它是条件收敛的；
（3），因级数条件收敛，而级数绝对收敛，该级数条件收敛；
（4）考察函数，当时有
，因此时，级数收敛，由比较审敛法极限形式知级数收敛，即该级数是绝对收敛的．
5．设，证明：
（1）当时级数绝对收敛；
（2）当时级数条件收敛．
证明 （1），因为时级数收敛，故级数在时绝对收敛；
（2）若，则，
记，则是单减正的数列，且，所以有，由莱布尼茨判别法知级数是收敛的，又
而时级数发散，故此时级数也发散，因而当时级数条件收敛．
6．设在上有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛．
证明 由可知，在上连续，由连续函数的最值定理知在区间上可以取到最大值与最小值，因而是有界的，即时，有，由Maclaurin公式可得
，因此有
，因级数，由正项级数比较审敛法可知级数收敛，即该级数绝对收敛．
7．已知满足为正整数），且，求函数项级数之和．
解 方程的通解为，由可得，所以．
8．求幂级数的收敛域及和函数．
解 （1）因为，令得，此时级数为收敛的，当时，级数为发散，所以收敛域为；
（2）设，则
，
令，，
因为，，
所以，因为，
，，
所以，所以
9．求函数项级数的收敛域及和函数．
解 令，则级数可化为，级数的收敛域为，因此级数在时收敛，即为，所以级数的收敛域是．，记
，则，记，则
，由此可得
，设级数的和函数为，则有，．
10．求的Maclaurin级数展开式，并求级数的和．
解 ，
合并上面两级数，由此可得到
．
．
11．将展开为的幂级数，并证明．
解 ，
．
．
12．证明．
证明 因为，所以
．
13．设是周期为的周期函数，它在一个周期内定义为将展开为Fourier级数．
解 ，
，
，所以有
．
14．将函数分别展开为正弦级数和余弦级数．
解 （1）正弦级数
；
（2）余弦级数 ，
，
．
15．设周期函数的周期为，证明：
（1）如果，则的Fourier系数
；
（2）如果，则的Fourier系数
；
证明 （1）
；
（2）
，
同理可证．
16．证明：在上成立：
（1）；
（2），
并由此可推出
1）；
2）．
证明 （1）记，则函数以为周期的余弦级数展开式的系数分别为
因此有；
（2）函数以为周期的正弦级数展开式的系数为
因此有．
1）把代入到（1）中可得；
2）把代入到（2）中可得．
17．设是周期为的周期函数，且在上连续，其Fourier系数为．
（1）求函数（为常数）的Fourier系数；
（2），求的Fourier系数；
（3）证明．
解 （1）
，
；
（2），
，
；
（3）由（2）可知，令即得．
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