第十三章-级数-(2).doc

习 题 13 - 1
1．已知级数的前项部分和为：
　　（1）求此级数的一般项，并写出前三项；
　　（2）判别此级数的敛散性，若收敛，则求出级数的和．
　　解　（1）；
　　（2），因而该级数收敛，且和为．
　　2．用定义判别下列级数的敛散性，并对收敛级数求其和：
　　（1）；　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　（4）．
　　解　（1），因此该级数收敛，且和为；
　　（2），因此该级数收敛，且和为；
　　（3），，因此该级数发散；
　　（4）

不存在，故该级数发散．
　　3．判别下列级数的敛散性：
　　（1）；　　　　　　　　　　　2）；
　　（3）；　　　　　　　（4）；
　　（5）；
　　（6）．
　　解　（1），因而级数发散；
　　（2）级数与均为收敛的，级数也是收敛的；
　　（3），级数发散；
　　（4），级数发散；
　　（5）级数为，它是公比的等比级数，因而是收敛的；
　　（6）级数加括号后可化为
，
因级数收敛，而级数发散，因此该级数发散．
　　4．设级数收敛，且其和为，问是否收敛？若收敛则求其和．
　　解　记，则有，记级数的前项和为，那么有，因而级数是收敛的，且其和为．
习 题 13 - 2
　　1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性：
　　（1）；　　　　　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　　　（4）；
　　（5）；　　　　　　　　　　　　　（6）．
　　解　（1）因为，级数发散，所以级数发散；
　　（2），因级数收敛，所以级数也收敛；
　　（3），级数收敛，因而该级数收敛；
　　（4），级数收敛，该级数收敛；
　　（5）因为，级数发散，因而该级数发散；
　　（6）当时，，当时，，因此时，该级数发散，当时，，而级数当时收敛，因而原级数也收敛，即当时，该级数发散，时，该级数收敛．
　　2．用比值审敛法判别下列级数的敛散性：
　　（1）；　　　（2）；　　（3）；
　　（4）；　　　　（5）；　　（6）（）．
　　解　（1），该级数发散；
　　（2），级数收敛；
　　（3），级数发散；
　　（4），级数收敛；
　　（5），级数收敛；
　　（6），当时，级数收敛，是级数发散，当时，由于，由于级数发散，因此级数也发散．
　　3．用根值法判别下列级数的敛散性：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　（4）．
　　解　（1），级数收敛；
　　（2），级数收敛；
　　（3），级数收敛；
　　（4），级数发散．
　　4．用适当方法判别下列级数敛散性：
　　（1）；　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　　　　（4）；
　　（5）；　　　　　　　　　（6）．
　　解　（1），而级数发散，因此该级数发散；
　　（2），因级数收敛，因此该级数收敛；
　　（3），级数收敛；
　　（4），当时，级数收敛，当时，级数发散，当时级数为，它是发散的；
　　（5），级数收敛，该级数收敛；
　　（6）因时，所以该级数是正项级数，因，所以，级数收敛，所以也收敛．
　　5．利用级数收敛的必要条件证明：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）．
　　证明　（1）考察级数，级数收敛，所以；
　　（2）考察级数，级数收敛，所以有．
　　6．设是收敛的正项级数，证明也收敛．
　　证明　收敛，则，因而数列有界，即，对为正整数均有，由此可得级数收敛，因此也收敛．
　　7．设，且，证明若收敛，则也收敛．
　　证明　由题设有，即数列是单减正项数列，因此有，级数收敛，因此级数也收敛．
　　8．设为收敛的正项级数，证明：
　　（1）级数收敛；（2）收敛．
　　证明　（1）因，级数收敛，则级数也收敛，因此级数收敛，由正项级数的比较审敛法知级数收敛；
　　（2）因，级数收敛，因此也收敛．
习 题 13 - 3
　　1．判别下列级数的敛散性，若收敛，则指出是条件收敛还是绝对收敛：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　（4）；
　　（5）为常数）；　　　　　（6）；
　　（7）；　　　　　　　　　（8）．
　　解　（1），级数收敛，该级数绝对收敛；
　　（2）记当时，，因此有，又，因此该级数收敛，又级数发散，所以该级数条件收敛；
　　（3）因，因此它不满足级数收敛的必要条件，级数发散；
　　（4）收敛，该级数绝对收敛；
　　（5），级数，该级数绝对收敛；
　　（6），级数发散；
　　（7），积分收敛，因而级数收敛，该级数绝对收敛；
　　（8）记，则数列单减，且，由莱布尼茨判别法知该级数收敛，由时，因此级数发散，该级数条件收敛．
　　2．证明：若数列有界，则级数收敛．
　　证明　由题设可知，对于均有，因级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数也收敛．
　　3．判别下列命题是否正确：
　　（1）若级数收敛，则级数与也收敛；
　　（2）若级数收敛，且，则级数也收敛．
　　解　（1）命题不正确．
例如，则收敛，但与
均为发散的．
　　（2）命题不正确．
例如，则有，收敛，但发散．
　　4．设级数与均为收敛级数，证明：
　　（1）级数绝对收敛；（2）收敛．
　　证明　（1）因，级数与均收敛，因而也收敛，由此可得级数，即级数绝对收敛；
　　（2），级数，和都收敛，所以也收敛．
　　5．证明：级数条件收敛．
证明　，因此该级数是交错级数，由于单减，且，由莱布尼茨定理可知级数收敛，又时，，而级数是发散的，因此级数为条件收敛的．
　　6．设正项数列单调减少，且级数发散，证明收敛．
　　证明　由单调有界收敛原理可知存在，设，则，又级数发散，由莱布尼茨定理可知必有，所以有，由正项级数的根值审敛法可知级数收敛．
习 题 13 - 4
　　1．设对任意，证明幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径．
　　证明　设的收敛半径为，那么当时，级数收敛，因，所以有，因此当时，级数收敛，即在区间内级数绝对收敛，因此幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径．
　　2．求下列幂级数的收敛半径与收敛域：
　　（1）；　　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　　　（4）；
　　（5）；　　　　　　　　（6）．
　　解　（1），时，级数为是发散的，时，级数为是收敛的，级数的收敛域是；
　　（2），把代入，该级数分别为与均为收敛的，因此它的收敛域是；
　　（3），把代入，级数为，记，因此级数发散，同理把代入，级数为也是发散的，级数的收敛域为；
　　（4），收敛域为；
　　（5）时，该级数绝对收敛，当时，该级数发散，因此它的收敛半径为，把代入，级数为，它是收敛的，因此级数的收敛域为；
　　（6）级数可化为，，把代入，级数为，它是收敛的，把代入，级数为，它是发散的，因此级数的收敛域是．
　　3．求下列幂级数的收敛域及和函数：
　　（1）；　　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　　　（4）．
　　解　（1），收敛域为，设，则有；
　　（2）级数的收敛域为，它的和函数为
；
　　（3）级数的收敛域为，设它的和函数为，则有，所以

　　（4）该级数的收敛域为，设，则有
．
　　4．求数项级数的和．
　　解　考察幂级数，它的收敛域为，根据，可得，因此有
．
　　5．设．
　　（1）证明在内连续；
　　（2）计算．
　　解　（1）的收敛区间为，因此在内是连续的；
　　（2）．
　　6．设有幂级数．
　　（1）求该幂级数的收敛域；
　　（2）证明此幂级数满足微分方程；
　　（3）求此幂级数的和函数．
　　解　（1），该级数的收敛半径为，它的收敛域是；
　　（2）设，则有，所以它的和函数满足微分方程；
　　（3）方程的通解为，由题设有，代入可解得，所以有．
习 题 13 - 5
　　1．将下列函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间：
　　（1）；　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　　（4）；
　　（5）；　　　　　　　　　　（6）．
　　解　（1）；
　　（2）；
　　（3）；
　　（4），
；
　　（5）
；
　　（6）．
　　2．将下列函数在指定点处展开为的幂级数，并指出展开式成立的区间：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　（4）．
　　解　（1）
　　，所以；
　　（2）
　　；
　　（3）
　　；
　　（4），
　　．
　　3．若，证明：
　　（1）为偶函数时必有；
　　（2）为奇函数时必有．
　　证明　（1）为偶函数，则必为奇函数，
；
　　（2）为奇函数，则也是奇函数，
．
　　4．已知在上有各阶导数，在任意取定点处的泰勒级数在上都收敛于，若，，求及．
　　解　
，．
习 题 13 - 6
　　1．计算下列各数的近似值（精确到三位小数）：
　　（1）；　　　　　（2）；　　　　　（3）．
　　解　（1），取，则余项
，取，则有
，相应的有；
　　（2），取，则余项取；
　　（3），取
，则余项，取，则有，．
　　2．利用Euler公式求函数的Maclaurin级数展开式．
　　解　
　　　　．
　　3．用幂级数法求初值问题的解．
　　解　设，代入方程可得
，，当时有递推公式．
习 题 13 - 7
　　1．将下列周期为的函数展开成Fourier级数，它们在一个周期内分别定义为：
　　（1）　　　　（2）
　　（3）．
　　解　（1）

所以所求展开式为
，
因函数在内处处连续，所以上式成立的范围是；
　　（2）
，
，所求级数展开式为

由于函数在处不连续，所以上述展开式成立范围是；
　　（3），
，函数在上处处连续，因此有
．
　　2．将下列函数展开成Fourier级数：
　　（1），　　　　（2）；
　　（3）（为常数，且）
　　解　（1）
，
，
；
　　（2）
,
；
　　（3）

，
．
　　3．将下列函数展开为指定的Fourier级数：
　　（1），展开为正弦级数；
　　（2）展开为余弦级数．
　　解　（1），所以有；
　　（2），所以有
．
　　4．将下列周期函数展开为Fourier级数，它们在一个周期内的定义分别为：
　　（1）；
　　（2）；
　　解　（1）函数的周期为的周期函数，且是偶函数，，
，，；
　　（2函数的周期为的周期函数，，

，
．
　　5．设，
　　（1）将展开为以为周期的Fourier级数；
　　（2）将展开为以为周期的余弦级数．
　　解　（1）
　　　　；
　　（2），
．
　　6．设
　　（1）若，其中，　　，试求及的值；
　　（2）若，其中，，试求及的值；
　　（3）若，其中，试求及的值．
　　解　（1）是以为周期的Fourier级数的和函数，因此有
；
（2）是以为周期的余弦级数的和函数，因此有
；
（3）是以为周期的正弦级数的和函数，因此有
，
．
总复习题十三
　　1．判别下列级数的敛散性：
　　（1）；　　　　　　（2
　　（3）均为正数)；　（4）
　　（5）；　　　　　　　　　　（6）
　　解　（1）
，级数收敛；
　　（2），由根值审敛法知级数收敛；
　　（3），由正项级数审敛法的极限形式知该级数与的敛散性相同，因此时，该级数收敛，时，该级数发散；
　　（4），由比较审敛法的极限形式知该级数收敛；
　　（5），级数发散，由正项级数比较审敛法知该级数发散；
　　（6）数列单增，且，故该级数为正项级数，而，
，因此当时，该级数收敛，当该级数发散；
　　2．设，且，判别级数的敛散性，若收敛则判别是绝对收敛还是条件收敛．
　　解　，因，所以，即该级数是收敛的，且和为，又，因此级数发散，由此可知该级数是条件收敛的．
　　3．设级数的前项和为，求级数的一般项及和．
　　解　
=，即级数为，它的和
．
　　4．判别下列级数是否收敛，若收敛，则判别是条件收敛还是绝对收敛：
　　（1）；　　　　　　　　　（2）；
　　（3）；　　　　　　　　（4），
　　解　（1），因级数收敛，级数发散，因而发散；
　　（2）单减，，该级数收敛，又级数发散，因而它是条件收敛的；
　　（3），因级数条件收敛，而级数绝对收敛，该级数条件收敛；
　　（4）考察函数，当时有
，因此时，级数收敛，由比较审敛法极限形式知级数收敛，即该级数是绝对收敛的．
　　5．设，证明：
　　（1）当时级数绝对收敛；
　　（2）当时级数条件收敛．
　　证明　（1），因为时级数收敛，故级数在时绝对收敛；
　　（2）若，则，
记，则是单减正的数列，且，所以有，由莱布尼茨判别法知级数是收敛的，又

而时级数发散，故此时级数也发散，因而当时级数条件收敛．
　　6．设在上有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛．
　　证明　由可知，在上连续，由连续函数的最值定理知在区间上可以取到最大值与最小值，因而是有界的，即时，有，由Maclaurin公式可得
，因此有
，因级数，由正项级数比较审敛法可知级数收敛，即该级数绝对收敛．
　　7．已知满足为正整数），且，求函数项级数之和．
　　解　方程的通解为，由可得，所以．
　　8．求幂级数的收敛域及和函数．
　　解　（1）因为，令得，此时级数为收敛的，当时，级数为发散，所以收敛域为；
　　（2）设，则
，
令，，
因为，，
所以，因为，
，，
所以，所以

　　9．求函数项级数的收敛域及和函数．
　　解　令，则级数可化为，级数的收敛域为，因此级数在时收敛，即为，所以级数的收敛域是．，记
，则，记，则
，由此可得
，设级数的和函数为，则有，．
　　10．求的Maclaurin级数展开式，并求级数的和．
解　，

合并上面两级数，由此可得到
．
．
　　11．将展开为的幂级数，并证明．

　　解　，
　　．
　　．
　　12．证明．
　　证明　因为，所以
．
　　13．设是周期为的周期函数，它在一个周期内定义为将展开为Fourier级数．
　　解　，
，
，所以有
．
　　14．将函数分别展开为正弦级数和余弦级数．
　　解　（1）正弦级数　

；
　　（2）余弦级数　，

，
．
　　15．设周期函数的周期为，证明：
　　（1）如果，则的Fourier系数
；
　　（2）如果，则的Fourier系数
；
　　证明　（1）

　　；
　　（2）

　　，
　　同理可证．
　　16．证明：在上成立：
　　（1）；
　　（2），
并由此可推出
　　1）；
　　2）．
　　证明　（1）记，则函数以为周期的余弦级数展开式的系数分别为
因此有；
　　（2）函数以为周期的正弦级数展开式的系数为

因此有．
　　1）把代入到（1）中可得；
　　2）把代入到（2）中可得．
　　17．设是周期为的周期函数，且在上连续，其Fourier系数为．
　　（1）求函数（为常数）的Fourier系数；
　　（2），求的Fourier系数；
　　（3）证明．
　　解　（1）
，

；
　　（2），

，

；
　　（3）由（2）可知，令即得．