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(完整版)整体法和隔离法讲义
物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法
编稿：李传安 审稿:张金虎

【考纲要求】
1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；
2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；
3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法;
4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。
【考点梳理】
要点一、整体法与隔离法
1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。
　　2、隔离体:把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。
　　3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。
要点诠释： 处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同,可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体.处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题.
要点二、正交分解法
当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时,常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上,有：
　　 （沿加速度方向） （垂直于加速度方向）
特殊情况下分解加速度比分解力更简单。
要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在x轴和y轴上；分别沿x轴方向和y轴方向应用牛顿第二定律列出方程。一般沿x轴方向（加速度方向)列出合外力等于的方程，沿y轴方向求出支持力，再列出的方程，联立解这三个方程求出加速度。
要点三、合成法
若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律,利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时,应用力的合成法比较简单。

【典型例题】
类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用
【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例4】
例1、如图所示，质量为2m的物块A，质量为m的物块B，A、B两物体与地面的摩擦不计,在已知水平力F的作用下，A、B一起做加速运动,A对B的作用力为________。

【答案】
【解析】取A、B整体为研究对象,与地面的摩擦不计,根据牛顿第二定律

由于A、B间的作用力是内力，所以必须用隔离法将其中的一个隔离出来,内力就变成外力了，就能应用牛顿第二定律了。设A对B的作用力为,隔离B, B只受这个力作用
。
【总结升华】当几个物体在外力作用下具有相同的加速度时，就选择整体法，要求它们之间的相互作用力，就必须将其隔离出来，再应用牛顿第二定律求解。此类问题一般隔离受力少的物体，计算简便一些。可以隔离另外一个物体进行验证.
举一反三
【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力和，且，则A施于B的作用力的大小为（　 ）
　　A． 　　　　 B．
　　C．　　　　D．
【答案】 C
【解析】设两物体的质量均为m，这两物体在和的作用下，具有相同的加速度为，方向与相同。物体A和B之间存在着一对作用力和反作用力，设A施于B的作用力为N（方向与方向相同）。用隔离法分析物体B在水平方向受力N和，根据牛顿第二定律有 故选项C正确。
【变式2】如图所示，A、B两物块叠放在一起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右做匀减速直线运动，运动过程中B受到的摩擦力
　　A．方向向左，大小不变
　　B．方向向左，逐渐减小
　　C．方向向右,大小不变
　　D．方向向右,逐渐减小
【答案】 A
【解析】考查牛顿运动定律处理连接体问题的基本方法。对于多个物体组成的物体系统,若系统内各个物体具有相同的运动状态，应优先选取整体法分析，再采用隔离法求解。取A、B系统整体分析有 ，
B与A具有共同的运动状态，取B为研究对象，由牛顿第二定律有:
　　 =常数
物体B做速度方向向右的匀减速运动,故而加速度方向向左。
例2、质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动,在时间t内前进的距离为s.耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F,受到地面的阻力为自重的k倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变。求：
(1）拖拉机的加速度大小。
（2）拖拉机对连接杆的拉力大小.
（3）时间t内拖拉机对耙做的功。

【答案】(1） （2） （3）
【解析】（1）拖拉机在时间t内匀加速前进s，根据位移公式
① 变形得 ②
（2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，
拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力T，
根据牛顿第二定律
③
联立②③变形得 ④
根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为
⑤
拖拉机对耙做的功： ⑥
联立④⑤解得 ⑦
【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力,再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。
类型二、正交分解在牛顿二定律中应用
物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时,一般都要用正交分解法,在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为x轴的正方向，所得的结果都是一样的,但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解.
例3、如图所示，质量为0. 5 kg的物体在与水平面成角的拉力F作用下，沿水平桌面向右做直线运动．经过0.5m，速度由0。 6 m/s变为0。 4 m/s，
已知物体与桌面间的动摩擦因数=0.1，求作用力F的大小。

【答案】
【解析】由运动学公式 得
其中，负号表示物体加速度与速度方向相反，即方向向左。
对物体进行受力分析，如图所示,
建立直角坐标系，把拉力F沿x轴、y轴方向分解得

在x方向上， ①
在y方向上，，即 ②
联立①②式,消去 得
所以
【总结升华】对不在坐标轴方向的力要正确分解，牛顿第二定律要求的是合外力等于，一定要把合外力写对。不要认为正压力就等于重力，当斜向上拉物体时，正压力小于重力；当斜向下推物体时，正压力大于重力.
举一反三
【变式1】 如图所示，一个人用与水平方向成角的斜向下的推力F推一个质量为20 kg的箱子匀速前进，如图（a）所示，箱子与水平地面间的动摩擦因数为＝0.40．求：
　　（1)推力F的大小；
　　(2）若该人不改变力F的大小，只把力的方向变为与水平方向成角斜向上去拉这个静止的箱子，如图（b）所示，拉力作用2。0 s后撤去，箱子最多还能运动多长距离？（)。

【答案】 (1) F=120 N （2）
【解析】 （1)在图（a）情况下，对箱子有
　由以上三式得F=120 N
（2）在图（b）情况下，物体先以加速度做匀加速运动，然后以加速度做匀减速运动直到停止。对匀加速阶段有
撤去拉力后匀减速阶段有 解得
【变式2】质量为m的物体放在倾角为的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为，如沿水平方向加一个力F，使物体沿斜面向上以加速度做匀加速直线运动（如图所示）,则F为多少？

【答案】
【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。
（1）受力分析:物体受四个力作用:推力F、重力mg、支持力，摩擦力。
(2)建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x轴正向，分解F和mg（如图所示)：
（3）建立方程并求解
x方向：
y方向:

三式联立求解得
【变式3】如图(a）质量m＝1kg的物体沿倾角q＝37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右,其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图(b）所示。求:
（1）物体与斜面间的动摩擦因数m；
（2）比例系数k。
（，）
【答案】(1） （2)
【解析】 （1)对初始时刻：
由图读出 代入式， 解得：；
（2）对末时刻加速度为零:
又 由图得出此时
代入式解得： k＝＝0.84kg/s。
分解加速度:
分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。
例4、如图所示,电梯与水平面间夹角为，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？

【答案】
【解析】对人受力分析:重力,支持力,摩擦力（摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知水平向右)。
　　建立直角坐标系：取水平向右(即F的方向)
为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向(如图),
此时只需分解加速度,
其中 （如图所示） 根据牛顿第二定律有
x方向： 　　　 ①
y方向: 　 ②
又　 　③ 解①②③得 。
【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了.
例5、(2014 武汉模拟)如图甲所示，在风洞实验室里,一根足够长的固定的均匀直细杆与水平方向成θ=37°角，质量m=1kg的小球穿在细杆上且静止于细杆底端O处，开启送风装置，有水平向右的恒定风力F作用于小球上,在t1=2s时刻风停止。小球沿细杆运动的部分v—t图像如图乙所示，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0。8，忽略浮力.求:

(1）小球在0～2s内的加速度a1和2~5s内的加速度a2。
（2)小球与细杆间的动摩擦因数μ和水平风力F的大小。

【答案】(1）15m/s2,方向沿杆向上　10m/s2，方向沿杆向下 （2)0.5　50N
【解析】 （1)取沿细杆向上的方向为正方向,由图像可知：
在0~2s内,（方向沿杆向上）
在2～5s内，（“–"表示方向沿杆向下）.
(2)有风力F时的上升过程,由牛顿第二定律，有
Fcosθ-μ(mgcosθ+Fsinθ)-mgsinθ=ma1
停风后的上升阶段,由牛顿第二定律，有
—μmgcosθ-mgsinθ=ma2
联立以上各式解得μ=0.5，F=50N。

类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用
例6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动,不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为M

箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个
质量为m的土豆，合力大小为,方向水平向左，一个土豆受重力，
把其它土豆对它的总作用力看成一个力F，二力不平衡，根据合成法原理,
作出力的平行四边形，可知F是直角三角形的斜边， 所以C正确。
【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题,把力学问题转化为三角、几何关系问题,很简捷。
举一反三
【变式】（2014 上海高考)如图，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面,斜面上放一质量为m的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s，运动过程中的最大速度为v。

(1）求箱子加速阶段的加速度大小a′。
（2）若a>gtanθ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。
【解题指南】解答本题注意以下两点:
(1）利用匀变速直线运动公式求箱子加速阶段的加速度a′；
(2）先判断球受箱子作用力的情况，再列方程求解。

【答案】 （1） 　（2）0　m（acotθ—g）
【解析】 (1)由匀变速直线运动公式有：v2=2a′s1、v2=2as2，且s=s1+s2，解得: 。
(2)假设球不受箱子作用，应满足： Nsinθ=ma，Ncosθ=mg,解得:a=gtanθ。

减速时加速度向左，此加速度由斜面支持力N与左壁支持力F左共同决定，当a 〉gtanθ，F左=0，
球受力如图所示，在水平方向上根据牛顿第二定律有Nsinθ=ma，在竖直方向有Ncosθ—F上=mg，解得： F上=m(acotθ-g)。

【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例3】
A
30o
a
例7、如图所示，质量为0。2kg的小球A用细绳悬挂于车顶板的O点，当小车在外力作用下沿倾角为30°的斜面向上做匀加速直线运动时，球A的悬线恰好与竖直方向成30°夹角。g = 10m/s2，求：
(1）小车沿斜面向上运动的加速度多大？
（2)悬线对球A的拉力是多大？
（3）若以（1）问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角θ＝？
【答案】（1） （2） （3）600；
【解析】解法一：用正交分解法求解
（1）(2）A受两个力：重力mg、绳子的拉力T，根据牛顿第二定律列出方程
沿斜面方向： （1）
垂直于斜面方向： （2)
解得 ，
解法二:用合成法求解
小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。
拉力与竖直方向成角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为角，合力大小为，如图，三角形为等腰三角形，所以：，
。
由几何关系得拉力
(3）用合成法求解
小车匀加速向下运动，小球向上摆动,设细线与竖直方向夹角
为，竖直向下的重力加速度为g，沿斜面向下的加速度为
g，从图中几何关系可看出二者的夹角为，则细线的
方向与它二者构成一个等边三角形，即细线与竖直方向夹角。
【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。
【高清课堂：牛顿第二定律及其应用1例2】
例8、如图所示,一质量为0。2kg的小球用细绳吊在倾角为θ=53o的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上,绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T：
（1)斜面以的加速度水平向右做加速运动；
（2）斜面以的加速度水平向右做加速运动；
（3)斜面以的加速度水平向右做减速运动;
【答案】（1）
（2） （3)
【解析】斜面由静止向右加速运动过程中,当较小时，小球受到三个力作用,此时细绳平行于斜面；当增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面,然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。
设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为,此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行.对小球受力分析如图所示。
代入数据解得：
（1)斜面以的加速度水平向右做加速运动，，小球没有离开斜面，
小球受力：重力，支持力，绳拉力，进行正交分解，
水平方向：
竖直方向:
解得;
(2）因为，所以小球已离开斜面，斜面的支持力, 由受力分析可知，细绳的拉力为 (图中）

此时细绳拉力与水平方向的夹角为
（3）斜面以10m/s2的加速度水平向右做减速运动，加速度方向向左，与向左加速运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力的平行四边形,合力向左，重力竖直向下， 为绳子拉力为零的临界加速度
,所以绳子有拉力。
小球受力:重力，支持力，绳拉力，进行正交分解，
水平方向：
竖直方向：
解得。
解法二：采用分解加速度的方式
方向:
所以

在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。
【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题,临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷,在针对两个未知力垂直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快.

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