第讲时变电磁场.doc

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第14讲 时变电磁场(2）

本节内容：
一，坡印廷定理和坡印廷矢量
二,时谐场

三，复介电常数与复磁导率

一，坡印廷定理和坡印廷矢量
电磁场是一种物质，并且具有能量。
交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。
电磁能量按照一定的分布形式储存于空间，并且随着电磁场的变化在空间传输。

下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理,以及描述能量转移情况的电磁能流矢量——坡印廷矢量。

1,电磁能量守恒-—坡印廷定理
（1）由麦克斯韦第一、二方程：
（5.5—1）
（5。5—2)

(5。5-2）-（5。5—1）得：
（5。5—3)
而:

同理：
∴

由矢量恒等式：

上式两边积分：

即：
即：
—坡印廷定理

下面解释一下上式各项的物理意义。
由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为，显然右边第二项为体积V内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率。而体积V内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V之外.显然，式中第一项代表的是通过S流出体积V的功率。若媒质为无耗的（)，则，此时，V内功率的减少就等于流出V的表面S的功率。
坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。

（2）假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为σ,电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=σE。根据焦耳定律，在体积V内由于传导电流引起的功率损耗是

由麦克斯韦方程式

利用矢量恒等式

利用散度定理上式可改写为

这就是适合一般媒质的坡印廷定理。

利用矢量函数求导公式

对于各向同性的线性媒质，即D=εE， B=μH， J=σE, 可知，

同理，

对于各向同性的线性媒质， 坡印廷定理表示如下：

为了说明上式的物理意义，我们首先假设储存在时变电磁场中的电磁能量密度的表示形式和静态场的相同，即.其中，为电场能量密度，为磁场能量密度, 它们的单位都是。
另外,引如一个新矢量

电磁能流与坡印廷矢量
因为代表经曲面S流出体积V的功率，所以被积函数代表通过单位面积的功率流，或能流密度矢量。令：

——坡印廷矢量(W/m²）
的方向为能量流动的方向，大小为垂直流过单位面积的功率.空间只要有电场和磁场同时存在，就会有能量流通。即使在直流情况下也是如此。

据此,坡印廷定理可以写成

式右边第一项表示体积V中电磁能量随时间的增加率， 第二项表示体积V中的热损耗功率（单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量)。 根据能量守恒定理，上式左边一项代表单位时间内穿过体积V的表面S流入体积V的电磁能量。因此，面积分左面第一项表示单位时间内流出包围体积V的表面S的总电磁能量。由此可见，坡印廷矢量S=E×H可解释为通过S面上单位面积的电磁功率。
在静电场和静磁场情况下,由于电流为零以及 ，

所以坡印廷定理只剩一项∮S(E×H)·dS=0。由坡印廷定理可知,此式表示在场中任何一点,单位时间流出包围体积V表面的总能量为零,即没有电磁能量流动。由此可见，在静电场和静磁场情况下， S=E×H并不代表电磁功率流密度。

在恒定电流的电场和磁场情况下，

所以由坡印廷定理可知，∫V J·EdV=-∮S(E×H)·dS。因此，在恒定电流场中，S=E×H可以代表通过单位面积的电磁功率流。它说明，在无源区域中，通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率。
在时变电磁场中，S=E×H代表瞬时功率流密度，它通过任意截面积的面积分P=∫S（E×H)·dS代表瞬时功率。

［例5。5-1］ 内、外半径分别为a、b的同轴线，加电压，端接电阻R,导体上有电流，求输入到电阻的功率.

解:输入到R的功率等于通过任一横截面的功率
,
而
∴
而：
∴
∴
这与电路中的结果是一致的,但它揭示了能量传输的机理。负载消耗的能量是通过同轴线中的内、外导体间电磁场传输的，而不是通过导体传输的，导体仅起引导作用.

例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。

解：如图，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上,于是有

在导线表面,

因此，导线表面的坡印廷矢量

它的方向处处指向导线的表面.将坡印廷矢量沿导线段表面积分，

二，时谐场
前面的讨论是针对随时间任意变化的电磁场进行的，在实际问题中，通常只需要研究随时间作正弦变化的电磁场，这种电磁场称为时谐场。在线性媒质中，即使是按任意规律随时间变化的电磁场，也可按时间展开成傅立叶级数，因此可看作许多个时谐场的迭加。

研究正弦电磁场，可以象正弦交流电路中的相量一样，引入一个复数来表示时谐场,从而使分析、计算简化.

复数a定义为

式中j是虚数 ; a′是a的实部， a″是a的虚部, 即

设时谐电磁场电场强度矢量E（t）的一个坐标分量为Ex(t）, 它的一般表达式为：

1， 正弦电磁场的复数表示法
时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时,其振幅和初相也都是空间坐标的函数. 以电场强度为例, 在直角坐标系中，

式中电场强度的各个坐标分量为

-—角频率 ——初相角

与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化：对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程）减元(消去各项的共同时间因子）.例如

因此，我们也把，称为

的复数形式。

给定函数，有唯一的复数与之对应； 反之亦然。

由于

所以，采用复数表示时，正弦量对时间t的偏导数等价于该正弦量的复数形式乘以jω，即

同理，电场强度矢量也可用复数表示为

式中

称为电场强度的复振幅矢量或复矢量,它只是空间坐标的函数,与时间t无关.

这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x， y， z， t)矢量函数简化成了空间（x, y, z）的三维函数，即

若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以并取实部，便得到其相应的瞬时值：

场量与复振幅具有一一对应的关系，因此,研究电磁场可通过研究其复振幅进行.以后将会看到研究复振幅的好处。

（注意如何由瞬时值写出复振幅或由复振幅求瞬时值）
电磁场中的其它物理量，，，，也可用相应的复矢量或标量表示.

例 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。

例 5 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。

2，复数形式的麦克斯韦方程组
既然电磁场量可用复数表示，则麦克斯韦方程也可用复数表示.以第一方程为例：

∴

可见引入复振幅后，可把对时间的微分运算变成代数运算，从而使计算简化。

同样，可把其它方程用复振幅表示出来，故复数形式的麦克斯韦方程组为:

3、复数形式的坡印廷矢量
对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时:

从而坡印廷矢量瞬时值可写为

它在一个周期T=2π/ω内的平均值为

式中

称为复坡印廷矢量，它与时间无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度),虚部为无功功率流密度。 注意式中的电场强度和磁场强度是复振幅值而不是有效值；是E、H的共扼复数，称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。

类似地可得到电场能量密度、磁场能量密度和导电损耗功率密度的表示式：

今后主要讨论简谐场，所研究的场量一般都是复振幅.为书写方便，如写成，和瞬时值符号一样，应注意根据情况区分是瞬时值还是复振幅。
如: 由显然为复振幅

注意：不能由复坡印廷矢量乘再取实部来求的瞬时值.但由它求平均功率很方便，而实际问题中通常关心的是平均功率而非瞬时功率，故复坡印廷矢量具有实用价值.

三，复介电常数与复磁导率
媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和传导,它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率.

在静态场中这些参数都是实常数；而在时变电磁场作用下，反映媒质电磁特性的宏观参数与场的时间变化有关，对正弦电磁场即与频率有关。研究表明:一般情况下(特别在高频场作用下)， 描述媒质色散特性的宏观参数为复数,其实部和虚部都是频率的函数， 且虚部总是大于零的正数,即

为了说明复介电常数的虚部反映介质的极化损耗,现在考虑电介质单位体积内的极化功率损耗的时间平均值：

可见单位体积的极化损耗与成正比。

复介电常数与复磁导率的幅角称为损耗角，用，表示
损耗角正切：

对于具有复介电常数的导电媒质，考虑到传导电流J=σE,

上式表明，导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示，即

例：已知无源(ρ=0， J=0）的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量

式中为常数.求：
(1) 磁场强度复矢量; 
(2) 坡印廷矢量的瞬时值；
(3) 平均坡印廷矢量。

解： (1)
由

(2） 电场、 磁场的瞬时值为

所以，坡印廷矢量的瞬时值为

（3) 平均坡印廷矢量：

作业：
5。13
5。15
5．16