1718第8章第5节椭-圆.doc

第五节　椭　圆
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[考纲传真]　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．

1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形

性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.]
3．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝
(　　)
A．2 B．3
C．4 D．9
B　[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
B　[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.]

5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．
3　[直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，
此时，|AB|＝2×＝＝3，
∴S△FAB＝×2×3＝3.]

椭圆的定义与标准方程
　(1)如图8­5­1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
【导学号：31222310】
A．椭圆　 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．

图8­5­1
(1)A　(2)x2＋y2＝1　[(1)由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
(2)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，
则F1(－c,0)，F2(c,0)．

∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0<b<1)．
又|AF1|＝3|F1B|，得＝3，
设B(x0，y0)，则(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)，
∴x0＝－且y0＝－，
代入椭圆x2＋＝1，得25c2＋b2＝9，①
又c2＝1－b2，②
联立①②，得b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.]
[规律方法]　1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换．
2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练1]　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.
若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________．
(1)3　(2)＋＝1　[(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9，因此b＝3.
(2)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．
过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点A必在椭圆上，
∴＋＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.]

椭圆的几何性质
　(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
A　[法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.
同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.
∵2yN＝yE，∴＝，即2a－2c＝a＋c，
∴e＝＝.
法二：如图，设OE的中点为N，由题意知
|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.
∵PF∥y轴，
∴＝＝，＝＝.
又＝，即＝，
∴a＝3c，故e＝＝.]

[规律方法]　1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．
2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
[变式训练2]　(2015·福建高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A　[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因为1≤b<2，所以0<e≤，故选A.]

直线与椭圆的位置关系
角度1　由位置关系研究椭圆的方程与性质
　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为. 【导学号：31222311】
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图8­5­2，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

图8­5­2
[解]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，3分
由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得离心率＝.5分
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，
代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.8分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.10分
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.12分
角度2　由位置关系研究直线的性质
　(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解]　(1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.3分
所以C的方程为＋＝1.5分
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分
将y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.9分
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分
[规律方法]　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．

[思想与方法]
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便．
3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[易错与防范]
1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．
3．椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
课时分层训练(四十九)　椭　圆
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) 【导学号：31222312】
A．4　　　 B．3
C．2 D．5
A　[由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
【导学号：31222313】
A. B.
C. D.
B　[原方程化为＋＝1(m>0)，
∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，
则e2＝，∴e＝.]
3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
(　　)
【导学号：31222314】
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D　[设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
A　[∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.
又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，
∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.]
二、填空题
6．已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．
4　[∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．
∵|F1F2|＝8，∴c＝4，
∴a2＝25＋c2＝41，则a＝.
由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，
∴△ABF2的周长为4a＝4.]
7．(2017·湖南长沙一中月考)如图8­5­3，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．

图8­5­3
＋＝1　[设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.]
8．(2016·江苏高考)如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.

图8­5­4
　[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
【导学号：31222315】
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
[解]　(1)由题意，得解得3分
∴椭圆C的方程为＋＝1.5分
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2<m<2.8分
∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝.10分
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴2＋2＝1，∴m＝±.12分
10．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
[解]　(1)由题设条件知，点M的坐标为，2分
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.5分
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.8分
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2).10分
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为
(　　)
A. B．1
C．2 D．4
C　[圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．
又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，
∴直线l的方程为x＝－c.
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]
2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若<k<，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 【导学号：31222316】
　[如图所示，|AF2|＝a＋c，
|BF2|＝，
∴k＝tan∠BAF2＝＝
＝＝1－e.
又∵<k<，
∴<1－e<，解得<e<.]
3．(2017·西安调研)如图8­5­5，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.

图8­5­5
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解]　(1)由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.3分
所以椭圆的方程为＋y2＝1.5分
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.7分
由已知Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.9分
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.12分