矩形巷道电磁波传播模式分析.doc

摘要有限差分法(Finite-Difference Method)是电磁场数值计算中应用最早的一种方法。早在上世纪五十年代，它便以其简单、直观、对具体问题一般不需要作特殊的推导、可以求解任意形状边界和任意媒质分布的问题等优点，在电磁场数值分析领域得到了广泛的应用。本设计采用有限差分法(FDM)用于计算波导的截止特性和衰减常数的研究工作，主要工作如下：(1) 从直角坐标系中TE波、TM波电磁场关系出发，以矩形波导为例，总结分析了计算截止频率和衰减常数的步骤；(2) 计算波导的截止频率和衰减常数，分析影响波导截止频率和衰减常数的因素及其变化趋向。关键词：有限差分法，波导，截止频率，衰减常数 AbstractThe Finite一Difference Method(FDM) is one of the pioneer methods of numerical Computation in the calculation of electromagnetic fields.As early as century50s，with the characteristics of simplicity and direct，it got the extensive application in the field of numerical analysis of electromagnetic fields.This paper has dealt with the application of FDM in computing cutoff frequency and attenuation coefficient of waveguide.1.From Cartesian coordinates TE wave, TM wave electromagnetic field relations so as to rectangular waveguide, for example, analyzed the cut-off frequency and attenuation constant calculation steps;2.Calculated waveguide cutoff frequency and attenuation constant analysis on the waveguide cutoff frequency and attenuation constant of the factors and changes in trends.Key words：F1n1te一Difference Method，Waveguide，Cut off Frequency，Attenuation Coefficient 目录第一章 绪论61.本设计的来源与研究意义62.相关的研究方法63.本设计的主要任务8第二章 电磁波的基本理论101.无线电波传播的一般理论102.麦克斯韦方程113.波导模型114.传播波模类型125.衰减常数126.截止频率13第三章 矩形巷道电磁波的传播特性151.矩形巷道中电磁波传播的基本理论152.电磁波传播的衰减率18第四章 FDM法在计算矩形波导截止频率和衰减常数中的应用251.FDM的基本原理251.1差分261.2矩形网络剖分261.3差分格式（直角坐标）272.电磁波的有限差分分析282.1基本假设和基础分析282.2截止频率的计算（直角坐标)302.3衰减常数的计算312.3.1计算TM波直角坐标衰减常数322.3.2计算TE波直角坐标的衰减常数353.矩形波导数值计算结果与讨论363.1矩形波导363.2.1计算值与理论值比较363.2.2截止频率随波导横截面结构参数变化的曲线373.2.3衰减常数随工作频率和变化的曲线393.2.4衰减常数在横截面面积相等情况下随变化的曲线403.3数值结果与小结42第五章 总结45致谢46中英文翻译49第一章 绪论1.本设计的来源与研究意义我国是一个煤炭高产国，2009年全年，我国共产出煤炭共计约30亿吨。在如此多的产量下，由于管理机制及通信技术的不发达，高事故率始终像一个魔咒一样围绕着煤炭行业。尤其是2010年年初的数次大型煤炭事故更是凸显了这一情况。煤矿井下地质条件非常复杂，工作环境恶劣，矿井巷道长可达几十千米，作业点分散，采煤机电设备及人员流动性大，巷道和采掘工作面空间狭窄，环境中存在着大量的有爆炸危险的一氧化碳、瓦斯及煤尘等空气混合体，这些都是煤矿事故的各种根源。因此，建立完善的煤矿井下移动通信系统对于提高矿井现代化管理程度，提高劳动生产率，加强安全防范，保障矿工生命和国家财产的安全都有着非常重要的意义。2.相关的研究方法井下电磁波通信方式主要分为两种:有线通信和无线通信。有线通信是利用金属导线、光纤等有形媒质传送信息的方式(光或电信号可以代表声音，文字，象等)。无线通信是建立专用无线数据传输系统或借用CDPD、GSM、CDMA等公用网络信息平台的一种通信方式。相比较有线通信而言，无线通信作为煤矿井下有线通信方式更为重要。无线通信具有以下特点:(1)成本廉价。有线通信方式的建立必须架设电缆或挖掘电缆沟，需要大量的人力和物力，而无线通信方式则无需架设电缆或挖掘电缆沟，节省了人力物力。(2)适应性好。有线通信的局限性大，在一些特殊的环境中(山地、矿井、湖泊、林区等)，有线网络的布线工程有着极强的制约力，而无线通信系统则不受这些限制。(3)扩展性好。在用户组建好一个通信网络之后，常常因为系统的需要增加新的设备，如果采用有线方式，则需要重新布线，施工比较麻烦，还有可能破坏原有的通讯线路。但如果采用无线通信方式，只需要将新增设备与无线数传电台相连接就可以实现系统的扩充，相比之下有更好的扩展性。对巷道中无线通信信道的传播特性的研究方法可以分为3类:(1) 统计方法即在各种类型的传播环境中进行发射和接收的试验，现场记录下接收信号的各种数据，实际测量后，用计算机对大量的数据进行统计分析，寻找出反映传输特性的各种参数的统计分布。再根据数据分析的结果，建立传输信道的统计模型来进行传播预测。统计方法中用的最多的是对数距离损耗模式，这是因为无线电波在隧道中传播时具有隧道效应，信号传播是墙壁反射与直射的结果，其中直射为主要分量。可以利用试验数据对对数距离损耗模型进行修正，得出的简单而且实用的隧道传播模型，便于进行隧道覆盖设计，该传播模型为： （1.1）其中f为载波频率，单位为MHz，d是发射机和接收机之间的距离，单位是m。 (2)混合方法 即通过对隧道中的传播环境进行分区，再应用不同的传播模式对这两个区域进行传播预测。相对于研究的信号波长来说，此时隧道可以假设为尺寸超大的理想波导。从波导理论可以知道，只有高于波导截止频率的电磁波才能在波导中传播对于目前一般的隧道而言，其截止频率一般小于100MHz，而目前的公共移动通信的频率远高于隧道的截止频率，因而电磁波在隧道中的传播为多模传播各个模式的损耗与其阶数的平方成正比，因而隧道可以分为两个传播性质不同的区域：近场区和远场区两个传播区域。在近区，引导传播尚未建立起来，波在这个区域主要为多模传播；而在远场区，波的传播方式主要是稳定的导模传播，两个传播区域的转折点可以通过Fresnel区域理论来确定，当第一Fresnel区开始被阻断时，两个天线之间的距离为转折点： （1.2）h为隧道的高，w为隧道宽。可见与隧道的高或宽的平方成正比，而与波长成反比。在传播距离小于的近区，导引模式尚未建立起来，电磁波的传播方式主要是多模传播，这种传播方式与波在自由空间的传播类似，因此可以用自由空间的传播模型来计算传播损耗，即： （1.3）而在传播距离大于的远区，高次模基本上已完全衰减，电磁波主要以主模的形式传播，与波在波导中的传播类似，因此这个区域的传播损耗可用波导传播模型来计算，即总的损耗为： （1.4）式中、和分别为为由于折射、表面粗糙和四壁倾斜所造成的损耗。 (3) 确定性方法即用电磁波的传播理论来计算路径的传播损耗，但是用直接求解麦克斯韦(Maxwell)方程的纯理论方法却很少，因为传播环境的复杂性使得求解方程所需要的边界条件很难确定，所以多数研究采用的是光线跟踪法(RayTracing Method)以及由光线跟踪法衍生出来的各种算法。光线跟踪法的思想是基于几何光学原理(Geometry Optics Theory)，通过模拟光线的传播来预测高频电磁波的传播。跟踪从光源发出的光线，检查光线在传播过程中是否与障碍物相交，发生反射、折射、衍射、绕射等情况，直至到达接收点，在具体判断中，利用镜像法、几何绕射法、一致绕射法、测试光线法和入射反弹光线法对光线进行有效模拟。光线跟踪法适合解决复杂环境下的电波传播，它的应用使得人们可以预测室内和室外无线通信的传播，不论从理论还是实际上讲，这些理论也可以应用在隧道环境中。3.本设计的主要任务本设计研究矩形巷道电磁波传播的模式分析，通过把矩形矿井巷道看成是一个理想波导，建立传输模型，应用有限差分法对其传输特性进行有效分析。第一章介绍了课题的来源、研究意义、并简单阐述相关的研究方法。 第二章主要介绍电磁波的相关理论，通过麦克斯韦方程组，建立波导模型，分析电磁波中的截止频率和衰减率的理论。第三章主要介绍矩形巷道电磁波的传播特性，进一步研究了影响电磁波传播的衰减率和截止频率的因素。第四章主要介绍有限差分法的相关理论，并用此法就矩形巷道波导模型进行了研究，导出了相关影响衰减常数和截止频率的结论。 第二章 电磁波的基本理论1.无线电波传播的一般理论 无线电波在媒质中的传播是一个复杂的问题，经过对大地媒质电参数分析知，它与媒质环境有密切的关系。在接收机和发射机相隔一定距离时，信号强度会发生衰减，在距离发射机不同位置，具有不同的衰减值。除此之外，信号是经过绕射、散射、反射、折射等多种方式进行传播的。当发射机与接收机之间没有可直达射线时，接收信号是各种不同方式信号的组合。因此，接收信号电平随时间特别是收发之间位置变化而变化的。即使只有几分之一波长之差，也可能会引起信号改变30dB 左右。 电波传播问题一方面和媒质的参数有关，另一方面又和媒质空间的几何持征有关。 无线电波传播的理论基础是描述场与源关系的麦克斯韦方程组及其边界条件。2.麦克斯韦方程 描述宏观电磁场现象基本特性的一组微分方程及其名称如下： （2.1） (2.2) （2.3） （2.4） 其中为电场强度( )，为磁场强度( )，为电通密度( ）为磁通密度( )，为自由体电荷密度( )，为体电流密度( )。 另一个基本方程是连续性方程，可以写成： （2.5）当场量间的本构关系确定后，麦克斯韦方程组就变成定解形式。本构关系描述了被考虑媒质的宏观性质。对于简单媒质，它们是：、，对各向异性媒质，这些参数是张量；对各向同性媒质，它们是标量。对非均匀媒质，它们是位置的函数；对均匀媒质，它们不随位置而变化。3.波导模型 高频信号的波长与隧道的横截面尺寸相比非常小，此时空心隧道可以看作是空心波导，电磁波在空心波导中的传播称为自然传播或固有传播，当通信设备工作频率高于截止频率时，空隧道内的无线通信才是可能的。假设隧道壁的电性参数：电导率、介电常数、磁导率分别为为工作频率，只有当复相对介电常数远大于1时，用金属波导模型求得的截止频率才比较接近真实值。大多数隧道壁的电性参数满足其复相对介电常数大于I的条件，所以一般情况下采用金属波导模型的标准公式来估计隧道的截止频率是可以的。4.传播波模类型巷道传播模的基本类型有两种，一类是无电场纵向分量的是横电(，Transverse E1ectric)波或磁波()，另一类是无磁场纵向分量的横磁（，Transverse Magnetic)波或电波()，也就是说，电场或者磁场没有轴向分量，对于不同的m，n整数值，有不同阶的波模。对于波导支持的TE模式，电场完全在横向平面内，而磁场可以有任意方向的分量。此时我们将对磁场的纵向(波传播方向)分量求波动方程的解，未知常数将由电场切向分量应满足的边界条件决定。为此需要用磁场的纵向分量来表示电场的横向分量。一旦决定了未知常数，其他分量便均可由麦克斯韦方程求出。对于TM模式，磁场完全在横向平面内而没有纵向，而电场可以由任意方向的分量。由于电场的纵向分量对波导的各个壁而言都是切向的，我们将对该分量求波动方程的解，因为这样容易使用四个边界条件，然后可以用麦克斯韦方程求出横向的场分量。在理想导体波导内，各波模独立地传播，而不受其他波模的影响，但在有耗介质围成的巷道内，壁的有限电导率引起不同和。波模之间交叉耦合，使巷道内传播的波模既不是纯波模，也不是纯波模，而是两者的线性组合，即电磁场被分解成一些波模的模式之和。在一个巷道内，若两种波模具有相同的传播常数，则称它们为简并波型。 5.衰减常数当工作频率低于频率时，隧道壁表现为导体，当工作频高于这个频率时，隧道壁表现为有损耗介质。讨论波导时我们假定：波导的四壁均为理想导体、这些理想导体壁包围的煤质均为完全电介质。这时候隧道内的电磁场分解成一些称为波模的解式之和，每个传播模式都满麦麦克斯韦和隧道壁上的边界条件。一个波模是这样的一个解，它随纵坐标z(即隧道前进方向)的变换关系是exp(一z)。复常数 （2.6）是波模的传播常数，其实部称为衰减率，单位为奈培米；虚部称为相移率或相位常数，单位为弧度米。显然，各种各样的波模具有不同的传播常数和不同的场分布。在理想导电壁的空心波导管中，某特定波模的传播常数随频率变化的关系非常简单。每个波模有一个临界频率作为表征，这个频率值依赖于隧道的形状和尺寸，于壁的电参数无关。当波频率等于或低于这个值时波模是迅速衰减的，也就是说它只有衰减而没有相移，其衰减率由下式给出： （2.7.1） 其中，c=3108米秒是真空光速。波频高于这个临界值时，波模没有衰减而只有由下式给出的相移 （2.7.2）6.截止频率 具有最低临界频率值的波模称为主波模，它的临界频率称为波导截止频率，低于这个频率时，一切波模都是迅速衰减的，隧道不能引导它们的电磁能量，而对于有限导电壁波导，当传输频率小于截止频率时候，衰减率也是有限值(而非无限大)，因此对有限导电壁波导不存在严格的“截止”。我们用一个二维有序数组(m，n)来标记波模。对于截面尺寸为a和b的矩形波导来说，其I临界频率由下式给出： （2.8） TE波模的足标m，n中允许有一个为零，但TM波模的两个足标必须同时为正数，假设ab，则可以看到截止频率由下式给出 （2.9） 这意味着截止频率的自由空间波长等于波导截面矩形长边的两倍。对于半径为a的圆波导，其临界频率由下式给出 TM波模 （2.10.1） TE波模 （2.10.2） 其中，mo，和分别是贝塞尔函数及其导数的第n个零点，主波模是波模。 第三章 矩形巷道电磁波的传播特性1.矩形巷道中电磁波传播的基本理论 图3.1 规则矩形坡导及坐标系 令、为直角坐标系的三个方向的单位矢量，则电磁场矢量可表示 （3.1） （3.2） 代入矢量波动方程式 （3.3） 于是可以得到六个独立的标量波动方程 （3.4） 可见在直角坐标系中这六个方程具有完全相同的形式，因而场分量的求解大为简化。令L为电场或磁场分量之一，即可得到具有偏微分形式的标量波动方程式 （3.5） 上述方程可利用分离变量法求解，假定（3.4）式的解具有任意三个乘数之积的形式，其中每一个乘数仅是一个坐标的函数，即 （3.6.1）将上式微分后代入（3.4）中，得： （3.7）用L=XYZ除上式各项可以得到： （3.8）X、Y、Z是相互独立的，欲使上式左边各项之和在任意的X、Y、Z值情况下都等于右边的常数，则左边每一项都必须等于某一常数，于是分别写成： （3.9） 根据（3.7）式中可得到几个常数的关系为 （3.10） 这样（3.8）式就可以化成二阶线性常数微分方程： （3.11） 这三个微分方程的解分别为 （3.12） 这里得到的解均为一维坐标的函数，将它们代入（3.5）式中，就可以得到任意分量波动方程的解。乘数x和Y可以表示成三角函数的形式： （3.6.2） 式中 （3.6.3） 将关系式代入到式（3.5）中，得： （3.13.1） 式中的二个新常数和分别为 （3.13.2） 由式不难看出，这个解答给出了两个以相反方向沿纵轴(z轴)传播着的电磁波，因为我们研究的无限长直波导，无“反射”波存在，故只研究沿正z方向传播的“入射”波即可，这样，电磁场波动方程解的普遍形式可以写成 （3.14.1） 或简写为 （3.14.2）对于正弦电流，麦克斯韦第一和第二方程为 注意到、，将上二式展开后，按分量写成 (3.15.1) 合并上面各式的 (3.15.2) 式中 (3.15.3)2.电磁波传播的衰减率 图3.2 矩形隧道横截面图 矩形波导的几何参数如图3.2所示，矩形隧道内为空气，外部为均匀介质，理论分析中采用直角坐标系，虽然图中只有两个均匀区域(即隧道内的空气和周围的介质)，但图中所示的九个区域的电磁场的表达式是不完全相同的，同时必须列出在十二个界面上的边界条件，这样一来，精确求解其特征方程是十分困难的，我们使用近似方法研究，设隧道壁的相对介电常数为，顶底两面的相对介电常数为，隧道内是电参数为(，)的空气。采用直角坐标系，x、y轴平行于隧道截面，z轴平行于隧道轴向，设截面几何中心位于坐标原点。在矩形隧道中，我们采用横向电场、来表述，因为它们轴向(纵向)分量都很小，横向场分量很大，所以近似一个TEM波。在一个由低损耗介质构成的矩形隧道中，传输衰减率最低的模式是两个(1，1)模式，它们的电场的主要极化方向分别是水平方向和垂直方向，用和表示。根据电磁场边界条件即电场和磁场的切向方向的连续性，则矩形波导内水平极化的模式的场可用下面这些满足麦克斯韦等式的形式表示出： （3.16） 其中，、分别为x轴、y轴、z轴方向上的波数，满足如下关系 （3.17） 因为在UHF频段波长远小于隧道截面的尺寸，波数、远小于，接近，这说明电磁波主要在z轴方向传播，从几何光学的角度来看，那就是说光线和隧道壁之间的掠射角度非常小。在有耗媒质构成的隧道中，不论在横截面上还是在纵向方向，波的解总是行波的形式。(1，1)模式的传播常数，是由隧道壁切向电场和磁场分量连续的边界条件决定的。在隧道顶部(yb2)，设相对介电常数为，电磁场要代表一个y方向的外行波，那么必有如下满足麦克斯韦等式的形式 （3.18） 顶部介质中的波数满足 （3.19） 在处的边界条件是E和H的切向分量连续，可以得到 （3.20） 联立上二式得到 （3.21） 从式（3.17）和（3.19）可以看出，和比小很多，所以有 （3.22） 从式（3.21）和（3.22）得到 （3.23） 其他变量确定后可以用数值方法从上式中解出特征值。因为，我们可以找到最低的模 （3.24） 从这个结果中可以看出，如果不考虑比较小的虚部，那么拥有金属波导时相同的数值，虚部是由于电磁波在隧道壁中折射引起的损耗。 在隧道侧壁()，设相对介电常数为，则场有如下的形式： （3.25） 其中 （3.26） 由边界上电磁场切向分量连续有 （3.27） 因为上式不一致（这是忽略图中四个角之外的八个边界条件而引起的），我们只能近似满足H边界条件，注意到，1，和相近，然而比较小，因此我们可以忽略第三个式子，那么上式可以写成 （3.28） 从上面的式子中可以近似得到 （3.29） 因为和于相比非常小，我们可以找到波模的 （3.30）从这个表达式可以看的虚部很小，如果不考虑虚部的话，那么x方向的模和金属波导相同，当电磁波的波长小于时，近似做法是可取的。将（3.30）和（3.24）代入（3.17），忽视二次阶项，可以发现z方向的传播常数为 （3.31）模在一段距离z上功率衰减为（bB） （3.32） 衰减率为（） （3.33） 对该式运用互易原理，可得垂直极化模式衰减率为（） （3.34） 当模式次数较高可根据（3.34）和（3.21）得 （3.35） 为考虑电导率对电磁波传播损耗的影响，可认为相对介电常数为复数，并用和来表示，即 （3.36） 、分别为左右侧壁和上下顶壁的复相对介电常数，、分别为左右侧壁和上下顶壁的电导率。对模，有 （3.37） 传播常数由式给出，、与相比较小，可得模的衰减率（）为 （3.38） 将（3.37）代入（3.38），得 （3.39） 采用类似的方法，可以得模的衰减率为 （3.40） 第四章 FDM法在计算矩形波导截止频率和衰减常数中的应用1.FDM的基本原理在电磁场数值分析的计算方法中，有限差分法(也称网格法)是应用最早的种方法。早在上世纪五十年代，有限差分法以其简单、直观的特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。近代科学的发展，使计算方法本身经历了由手算到计算机运算的变革，与此相适应，方法涉及的方面也由线性场扩展到时变场。虽然现阶段电磁场数值计算方法发展很快，即使是在有限差分与变分法相结合的基础上形成的有限元法日益得到广泛应用的今天，有限差分法以其固有的特点仍然是一种有效的数值分析方法。有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，也是数值微分的经典算法，其基本思想是化(偏)导数为差商，化(偏)微分方程为线性方程组，即用各离散点上函数的差商来近似代替该点的导数，把需要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程问题。然后，根据差分方程组(代数方程组)，解出位于各离散点上的待求函数值，便得到所求边值问题的数值解.它具有简单、直观的特点，最早在电磁场分析领域得到了广泛的应用。 对于包括电磁场在内的各种偏微分方程定解问题，应用有限差分法进行计算的主要步骤通常为: (1)采用一定的网格划分格式将定解区域化为离散点集，即把实际连续的场离散为有限的多个点，用这些离散点上的参数近似描述实际上连续的场，也就是所谓的“离散”; (2)基于差分原理的应用，通过适当的途径将微分方程离散化为差分方程，并将定解条件离散化，一般把这一过程叫做构造差分格式，不同的离散化途径得到不同的差分格式; (3)建立差分格式后，把原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似值组成的离散解，应用插值法便可以从离散解得到定解问题在整个定解区域上的近似解。可见，有限差分法有大体固定的模式，它有较强的通用性。1.1差分设一函数，当其独立变量x有一很小的增量，相应地函数的增量为: (4.1)被称为函数的差分（一阶）。它与微分不同，因为微分是有限量的差，故通常也被称为有限差分。但只要增量h很小，差分与微分之间的差异将很小。根据差分的定义，在差分运算中还常用一阶中心差分，其公式为 (4.2)一阶差分仍是独立变量x的函数用式(4.1)两端一阶差分的类似方法求二阶差分，得到了，称为原始函数的二阶差分。同样，当h很小时，二阶差分很接近于二阶微分。1.2矩形网络剖分在x-y平面上用两组分别平行于x、y轴的平行直线将场域G划分成足够多的矩形网格 (4.3)其中是x-y平面上的任意一点，h，分别为x，y方向的步长，这样x一y平面就被这两组平行线构成的网格所覆盖。网格中两组平行线的交点称为结点。我们只考虑属于G+的结点，如果两个结点沿x轴方向(或沿y轴方向)只相差一个步长时称这两个结点为相邻的结点。若一结点的所有四个相邻的结点均属于G+，则称此结点为内部结点;若一结点其四邻的四个结点中至少有一个不属于G+时，则称此结点为边界结点。内部结点的全体组成网络格区域，边界结点的全体组成网络格区域的边界，记为。如果x，y方向的步长相等，即h=，则成网络为正方形网络(图4.1），否则为矩形网格。为简单起见，将结点简单表示为。 图4.1 正方形网格差分1.3差分格式（直角坐标）用向前差分和中心差分把波导中的Hemlholtz方程 (4.4)化分差分表达式(式中u为Hz或Ez） （4.5）同理 （4.6）其中p，r，q，s的定义见图4.2，且p，q，r，s1。将（4.5）和（4.6）代入（4.4），则有 （4.7）对于等距情况：即p=q=s=r=1，（4.7）成为 （4.8） 图4.2 不等距差分2.电磁波的有限差分分析2.1基本假设和基础分析关于波导场的分析，常引入以下假设:1) 波导壁由完纯导体构成;2）波导内的介质(介质的特性系数为、)系均匀、线性且各项同性的理想质;3）波导中无自由电荷和传导电流(，J=0)，也就是说，波导是远离激励的;4）波导工作在匹配状态，具有均匀的截面。所以在分析中只考虑前进的入射波，无反射波。基于上述假设，取决于激励源激发的不同状况，波导中传播的电磁波可分为横波（TE波)和横磁波(TM波)两种类型。对于横电波而言，磁场强度除了有和波传播方向(即沿波导方向设为z方向)相垂直的横向分量外，尚有和波传播向相平行的纵向分量，但电场强度只有和波传播方向相垂直的横向分量。在横磁波情况下，类似地磁场强度只有和波传播方向相垂直的横向分量。工程上，在分析电磁波沿各种截面形状的规则波导传输的一般特性时，通常关心的问题是:截止波长(或截止频率)，场分布及特性阻抗等.这些问题的解答显然在于求解由方程 和 以及边界条件构成的定解问题。在电磁场问题中某些三维问题可以简化为二维问题。如在散射问题中，如果入射波和散射体的形状及结构均与z无关，于是可用任何一个与z垂直的截面上的解反映三维问题的全部解答，因而三维电磁场问题可以在二维上获得解决。同样在波导的传输过程中(由于规则金属波导是直的，因此不管其横截面形状如何，总可以将z轴与波导的轴线重合)，如果传输的是横电波(TE波)(假设沿z轴传播)，此时电磁场的其他分量均可用磁场沿z轴的磁场分量表示出来:如果传输的是横磁波(TM波)(沿z轴传播)，此时电磁场的其他分量均可用电场沿z轴的电场分量表示出来，于是就把三维问题简化成了一维问题。由于波导中场量的纵向分量和横向分量之间存在着内在的联系，因此，无论在横电波或横磁波的情况下，问题的求解首先归结为求解由相应的纵向分量或所描述的定解问题。由以上分析过程可见，求解规则金属波导内的TE、TM模截止频率和衰减常不必从求解麦克斯韦方程组出发，只需按如下步骤进行:从纵向场分量满足的标量亥姆霍兹方程中解出或，其中包含有待定常数和未知截止波数;利用边界条件求出纵向场分量或，确定待定截止波数，它与波导横截面形状、尺寸及传输模式有关;根据具体坐标系的纵横关系式，由纵向分量求得横向场分量，再由此计算衰减常数。以标记相应的纵向分量或。于是波导的定解问题就变为Helmholzt方程 （4.9）加上边界条件(不同的波型有不同边界条件)，如对TE波有 （4.10）对TM波有 （4.11）2.2截止频率的计算（直角坐标)由（4.10）可以看出求u分布，需要先给定值，但此值是计算前不知道的，然而可以在计算前，除给内部节点赋初值外，也给一个初值，有了此值便能进行u值迭代计算，使各节点u值改善到一个较好的精度，接着再用各节点的这些u值计算。由波导中的Helmholtz方程 （4.12）把上式左边第二项移到右边，并对两侧同时乘以u，再对波导的横截面进行面积分，得到 （4.13）利用（4.4）（4.5）对此作正方形网络化分，得 （4.14）式中角标1,2,3,4,0的定义参见图4.3，于是把（4.13）表示成差分形式 （4.15）其中代表第（i,j）节点所占的面积。对于区域内的规则点，如图中的g点，但对于w点，对于角点z，。 由 图4.3 边界节点的利用超松弛法可以得到 （4.16）式中为松弛系数，为第k此迭代产生的值，表示第k+1次迭代产生的值。其中余量为 （4.17）对于TM波，在边界上u=0，因此在边界上，此时式（4.15）可简化为 （4.18）2.3衰减常数的计算当波导系统有损耗时，正向波的振幅沿传播方向按规律变化（其中为衰减常数），传输功率则按规律变化。设在z=0处传输功率为，则z处的传输功率为 （4.19） 对上式求导得 （4.20）因为传输功率沿z的减少率（变化率的负值）等于波导系统单位长度上损耗的功率，用表示 由此得 （4.21）波导的衰减主要由二部分构成，一部分是单位长度波导壁的损耗功率为 （4.22）式中为波导壁上磁场切向分量幅值，代表导体表面切向单位矢量，线积分环绕导体周界l进行。另一部分是单位长度波导内介质的功率损耗为 （4.23）式中的面积分是对波导系统的横截面进行。 因此波导中单位长度上的总损耗 （4.24）波导中传播功率 （4.25）2.3.1计算TM波直角坐标衰减常数 TM波在波导中传播时，直角坐标系下各个场分量关系为： 将上面几式代入（4.22）（4.23）（4.24）中，得： （4.26） 由（4.