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(完整版)复数的各类表达形式

复数的各类表达形式
一、代数形式
表示形式：表示一个复数
复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式.
二、几何形式
点的表示形式：表示复平满的一个点
在直角坐标系中,以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定.
复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题.

三、三角形式
表示形式
复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。 式中r=∣z∣=√(a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）;θ 是以x轴为始边,射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ =arctan(b/a)。 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式
表示形式
将复数的三角形式z＝r（ cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp（iθ)。

向量
在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量.
向量的运算法则
1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

OB+OA=OC.
　　a+b=（x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a;
结合律：（a+b）+c=a+（b+c).
2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=—b，b=—a，a+b=0。 0的反向量为0
　　AB-AC=CB。 即“共同起点，指向被减”

　　a=（x,y)b=(x'，y'） 则a—b=(x—x'，y-y')。
　　如图:c=a—b 以b的结束为起点,a的结束为终点。
3、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ>0时，λa与a同方向
　　当λ<0时,λa与a反方向；

当λ=0时,λa=0,方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0.
　　注：按定义知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ〉0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
　　当λ〈1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ（a·b)=（a·λb).
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ）a=λa+μa。
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b）=λa+λb。
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的数量积
　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作<a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=｜a|·｜b｜·cos〈a,b〉（依定义有：cos<a，b〉=a·b / ｜a|·|b｜）；若a、b共线,则a·b=+—∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y’.
　　向量的数量积的运算律
　　a·b=b·a（交换律）
　　(λa）·b=λ(a·b）（关于数乘法的结合律)
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a｜的平方。
　　a⊥b 〈=〉a·b=0。
　　｜a·b｜≤|a|·｜b｜。（该公式证明如下：｜a·b｜=｜a|·|b｜·｜cosα｜ 因为0≤|cosα｜≤1，所以｜a·b|≤|a|·|b|）
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1．向量的数量积不满足结合律，即：（a·b)·c≠a·（b·c)；例如：（a·b)^2≠a^2·b^2.
　　2．向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c （a≠0)，推不出 b=c。
　　3．|a·b|与｜a｜·｜b｜不等价
　　4．由 ｜a｜=｜b| ,推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量积
　　定义：两个向量a和b的向量

积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“·"不同,也可记做“∧”）。若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·｜b｜·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a垂直b〈=〉a×b=｜a|｜b|。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a
　　（λa)×b=λ(a×b）=a×（λb）
　　a×(b+c）=a×b+a×c.
　　注:向量没有除法，“向量AB/向量CD"是没有意义的.
6、三向量的混合积
　　定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积（a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a，b,c)或（abc），即(abc)=（a,b，c)=（a×b）·c

　　混合积具有下列性质：
　　1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=—1)
　　2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
　　3．(abc)=(bca)=(cab）=—（bac）=-(cba)=—（acb)
　　4．(a×b）·c=a·(b×c）