复数的各类表达形式.doc

(完整版)复数的各类表达形式复数的各类表达形式一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式.二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中,以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定. 复数z=a+bi 用复平面上的点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题.三、三角形式 表示形式 复数za+bi化为三角形式，zr(cos+sini)。 式中r=z=(a2+b2），是复数的模（即绝对值）; 是以x轴为始边,射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz= =arctan(b/a)。 这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式zr（ cos+isin)中的cos+isin换为 exp(i)，复数就表为指数形式zrexp（i)。向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量.向量的运算法则1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC. a+b=（x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：（a+b）+c=a+（b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=b，b=a，a+b=0。 0的反向量为0 AB-AC=CB。 即“共同起点，指向被减” a=（x,y)b=(x，y） 则ab=(xx，y-y)。 如图:c=ab 以b的结束为起点,a的结束为终点。 3、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。 当0时，a与a同方向 当1时,表示向量a的有向线段在原方向(0）或反方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=（ab)=（ab). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(+）a=a+a。 数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b）=a+b。 数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。 4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a，b并规定0a，b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=a|bcosa,b（依定义有：cosa，b=ab / a|b）；若a、b共线,则ab=+ab。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy. 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律） (a）b=(ab）（关于数乘法的结合律) （a+b)c=ac+bc（分配律） 向量的数量积的性质 aa=|a的平方。 ab =ab=0。 ab|a|b。（该公式证明如下：ab=a|bcos 因为0|cos1，所以ab|a|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1向量的数量积不满足结合律，即：（ab)ca（bc)；例如：（ab)2a2b2. 2向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac （a0)，推不出 b=c。 3|ab|与ab不等价 4由 a=b| ,推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量 积（外积、叉积）是一个向量，记作ab（这里并不是乘号，只是一种表示方法，与“不同,也可记做“”）。若a、b不共线,则ab的模是：ab=|a|bsina，b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab=0。 向量的向量积性质： ab是以a和b为边的平行四边形面积。 aa=0。 a垂直b=ab=a|b|。 向量的向量积运算律 ab=-ba （a)b=(ab）=a（b） a(b+c）=ab+ac. 注:向量没有除法，“向量AB/向量CD是没有意义的. 6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积ab,再和向量c作数量积（ab)c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a，b,c)或（abc），即(abc)=（a,b，c)=（ab）c 混合积具有下列性质： 1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V（当a、b、c构成右手系时=1；当a、b、c构成左手系时=1) 2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3(abc)=(bca)=(cab）=（bac）=-(cba)=（acb) 4(ab）c=a(bc）