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第5讲 数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析
例1。
分析：
，

例2。
解:法一、常规解法：

法二、数形结合解法：

例3。
A. 1个 B。 2个 C。 3个 D. 1个或2个或3个
分析：
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根，选（B）。

例4.

分析：

例5。
分析：
构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例6.

分析：
以3为半径的圆在x轴上方的部分,（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

例7.
MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）

分析:①设椭圆另一焦点为F2,(如图）,
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出｜ON｜,但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8。
分析：

例9.
解法一（代数法)：，

解法二（几何法）:

例10.
分析：
转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

相切于第一象限时，u取最大值

三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.

四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题：
1。 方程的实根的个数为（ ）
A。 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2。 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是( ）
A. B.
C。 D.
3。 设命题甲：,命题乙：，则甲是乙成立的( )
A. 充分不必要条件 B。 必要不充分条件
C. 充要条件 D。 不充分也不必要条件
4. 适合且的复数z的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
5。 若不等式的解集为则a的值为（ )
A. 1 B。 2 C. 3 D. 4
6. 已知复数的最大值为（ ）
A。 B. C. D.
7。 若时，不等式恒成立,则a的取值范围为（ )
A。 （0，1) B. （1，2） C. （1，2］ D. [1，2］
8. 定义在R上的函数上为增函数,且函数的图象的对称轴为，则（ ）
A. B.
C。 D。

二、填空题：
9. 若复数z满足，则的最大值为___________。
10. 若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。
11。 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。
12. 函数的最小值为___________。
13. 若直线与曲线有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___________。

三、解答题:
14. 若方程上有唯一解，
求m的取值范围。
15。 若不等式的解集为A，且,求a的取值范围。
16. 设，试求下述方程有解时k的取值范围.

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