视图与投影--真题练习.doc

第七章 图形与变换
第一节 视图与投影
基础过关检测
1．下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）

1．A【解析】考查点：本题考查了几何体的表面展开图.解题思路：
A
√
该图是三棱柱的表面展开图
B
×
该图是三棱锥的表面展开图
C
×
该图是四棱锥的表面展开图
D
×
该图不能围成一个几何体，不是任何几何体的表面展开图

2.如图，这是一个正三棱柱，则它的俯视图为（ ）

第2题图

A B C D

2．C【解析】考查点：本题考查了几何体的三视图.解题思路：
A
×
该图是从前面看这个正三棱柱得到的视图，即主视图，因为后面的棱看不到，所以画成虚线
B
×
该图是从左面看这个正三棱柱得到的视图，即左视图
C
√
该图是从上面看这个正三棱柱得到的视图，即俯视图
D
×
该图是从后面看这个正三棱柱得到的视图，因为后面的棱看得到，所以画成实线
3．如图，桌面上的模型由20个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上
涂料，则涂上涂料部分的总面积为（ ）
第3题图

A． B． C． D．
3．D【解析】考查点：本题考查了根据三视图计算几何体的表面积.解题思路：

4.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（　　）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
第4题图

4.B【解析】考查点：本题考查了中心投影的性质.解题思路：

5.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（　　）
A．米 B．7米 C．8米 D．9米
第5题图

5．C【解析】考查点：本题考查了中心投影，相似三角形.解题思路：

6.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（ ）

1
2
A.
B.
C.
D.
2
3
1

6.B【解析】考查点：本题考查了几何体的三视图.解题思路：
A
×
该图是这个几何体的主视图
B
√
该图是这个几何体的左视图
C
×
该图是这个几何体的右视图
D
×
该图不是这个几何体的任何视图
7.如图（1）是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．奥 B．运 C．圣 D．火
迎
接
奥
运
圣
火
图1
迎
接
奥
1
2
3
图2
第7题图

7. D 【解析】本题考查了正方体的表面展开图，几何体的翻转.解题思路：

8.如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是________.
第8题图

8. 思路分析：如图，共有7中等可能的涂法，只有4种涂法能构成这个正方体的表面展开图，所以P（能构成这个正方体的表面展开图）=.
第8题图

9.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 .
主(正)视图
左视图
俯视图
第9题图

9. 圆柱 【解析】本题考查了根据三视图推断几何体的形状.解题思路：

10. 一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 .
3

2

左视图

4

俯视图

第10题图

10. 8 【解析】本题考查了根据左视图和俯视图的大小判断主视图的大小.解题思路：

【归纳总结】主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．
11.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是
.
第11题图

11. 5 思路分析：从主视图来看，从左往右数第一列有2个小正方形（说明上下有2层），
因此俯视图中第一列的2个正方形中至少有一个要填2；主视图的第二列、第三列都只有一个小正方形，因此俯视图的第二列、第三列均只能填1（如图1、2、3所示，共有三种填法）.再从左视图来看，从左往右数第一列有2个小正方形，说明几何体第二排中有两层的情况；第二列有1个小正方形，说明几何体第一排都是一层.因此只有图2符合题意，可知这个几何体由5个小正方块组成.
图1 图2 图3

【技巧点拨】本题考查了由若干个小正方体组成的几何体的三视图求组成该几何体的小正方体的个数，解题思路一般都在俯视图上操作，即先在俯视图中的各个小正方形处填上该处正方体叠加的个数，然后相加即得总数.
12. 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．
第12题图
主视图
左视图
俯视图

12.思路分析：本题综合考查了几何体三视图的画法.
20
10
第13题图
解：
【易错提示】画俯视图时不要漏掉圆心的黑点.
13.如图是某几何体的展开图．
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积．（取3.14）
13.思路分析：本题综合考查了几何体的表面展开图，三视图，圆柱的体积计算.（1）由表面展开图可知该几何体是圆柱；（2）圆柱的三视图分别是长方形，长方形，圆；（3）由展开图可知该圆柱底面圆的直径为10，高为20，根据圆柱的体积计算公式可求得其体积.
解：（1）圆柱；
（2）如图所示；
第13题图

（3）体积为:==1570．
14. A
B
C
D
第14题
在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得，，与地面成30°角，且此时测得垂直于地面的1m长标杆在地面上影长为2m，求电线杆的长度．

14.思路分析：本题综合考查了平行投影，三角函数.过点D向AB和地面做垂线，构造直角三角形和相似三角形求解.
解：如图，过点D作于点，过点交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵垂直于地面的1长标杆在地面上影长为2，
∴，
∴.

15. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点到最短路径的距离．
第15题备用图
第15题图

15．思路分析：先画出表面展开图，然后根据勾股定理求出对角线的长，最后根据三角函数或者相似三角形的性质求出点到最短路径的距离．
解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和．
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是．
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是．
，最短路径的长是．
（3）作于，则··为所求．
★中考真题
1．（’10福建晋江）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小的是( ).
1
4
2
5
3
6
第1题图

A. 4 B. 6 　C. 7 D.8
1．B【解析】考查点：本题考查了正方体的表面展开图.解题思路：

2.（’10浙江衢州）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小刚准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的俯视图应该是（　　）
第2题图
主视方向

A．两个相交的圆 B．两个内切的圆
C．两个外切的圆 D．两个外离的圆
2．C【解析】考查点：本题考查了几何体的三视图，两圆的位置关系.解题思路：
两个圆柱的俯视图分别是两个圆，并且这两个圆外切
3．（’10广东广州）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）
A．52 B．32 C．24 D．9

主视图 俯视图
3．C【解析】考查点：本题考查了三视图与物体长、宽、高的关系，长方体体积的计算公式.解题思路：

4．（’10山东淄博）图中的八边形是一个正八棱柱的俯视图，如果要想恰好看到这个
正八棱柱的三个侧面，在图中标注的4个区域中,应该选择站在（ ）
④
③
①
②
第8题图

A.① B.② C.③ D.④
4．B 【解析】考查点：本题考查了视点、视线和盲区.解题思路：
A
×
站在①处能看到四个面
B
√
站在②处能看到三个面
C
×
站在③处能看到两个面
D
×
站在④处能看到一个面
5．（’10四川宜宾）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是（ ）
第5题图

A．正视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
5．B【解析】考查点：本题考查了几何体的三视图的面积.解题思路：

6．（’10山东德州）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）
b
主视图
c
左视图
俯视图
a

A. B. C. D.
6. B 【解析】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，圆锥侧面积的求法.解题思路：

7. （’10内蒙赤峰）下图是一个几何体的三视图，则这个几何体是___________．

第7题图

7．三棱柱（或正三棱柱）【解析】考查点：本题考查了根据三视图推断几何体的形状.解题思路：

8．（’10湖北咸宁）一个几何体的三视图完全相同，该几何体可以是 ．（写出一个即可）
8. 球、正方体等 【解析】本题考查了几何体的三视图.解题思路：

9．（’10安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是__________m．

9. 1.8 【解析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质.解题思路：
△PAB∽△PCD→相似三角形对应高的比等于相似比→→P到AB的距离是0.9m→AB与CD间的距离为2.7-0.9=1.8m
10. （’10湖北孝感）如图，长方形ABCD的长AB=4，宽BC=3，以AB所在直线为轴，
将长方形旋转一周后所得几何体的主视图的面积是 .
第10题图

10. 24 【解析】本题考查了面动成体，几何体的主视图.解题思路：

11．（’10新疆建设兵团）长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是 cm2.
第11题图

11. 12 【解析】本题考查了三视图与物体长、宽、高的关系.解题思路：

12．（’10江西）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小．
其中，正确的结论的序号是 ．
第12题图

12. ①③④ 【解析】本题考查了中心投影，旋转.解题思路：
①
√
在AB旋转过程中，当点B在△ABC外部时，m>AC
②
×
在AB旋转过程中，当点B在△ABC外部时，m>AC
③
√
在AB旋转过程中，当点B在AC上时，n=AB
④
√
在AB旋转过程中，当点B在△ABC外部时，影子逐渐增加；当点B在BC上时，影子长等于AC；当点B在△ABC内部时，影子逐渐减小；当点B在AC上时，影子有最小值，等于AB
【归纳总结】在中心投影中，当光源固定，物体水平移动时，其投影也随着变化，且物体离光源越近，其投影越小；当物体固定，光源水平移动时，其投影也随着变化，且光源离物体越近，其投影越小.
13．（’10河南）如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为 .
第13题图

13.7 思路分析：本题综合考查了几何体的三视图.结合主视图和俯视图可知俯视图可以为下图，此时小正方块的个数最多，一共有7块.
2
1
1
1
1
1
14．（’10浙江温州）由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图．
第14题图

14.思路分析：本题综合考查了几何体三视图的画法.
解：

15．（’10广东茂名）如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB、CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）．
小华
小丽
小军
A
B
C
D
第15题图

15.思路分析：本题考查了中心投影的画法.（1）分别连结小华和小丽影子顶端和他们身体的最高点，其延长线相交于一点，这个交点就是路灯灯泡P的位置；（2）连结点P和小军身体的最高点，其延长线交地面于点F，连结点F和小军身体的最低点E，线段EF即为所求.
解：
P
F
E

16．（’10浙江宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

四面体 长方体 正八面体 正十二面体

多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4
▲
长方体
8
6
12
正八面体
▲
8
12
正十二面体
20
12
30
(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
16.思路分析：本题是一道规律探索题，对“欧拉公式”进行了探索和应用.（1）问对表格中的数据进行分析可得出顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间的关系；（2）（3）问需利用（1）中所得规律求解.
解：(1) 6，6，；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为，棱数为条，根据可得 ，∴.　
★预测
1．（11预测）如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

A． B． 　　　　 C． D．
1．B【解析】考查点：本题考查了几何体的三视图.解题思路：
A
×
该图不是这个几何体的视图
B
√
该图是这个几何体的主视图
C
×
该图是这个几何体的俯视图
D
×
该图是这个几何体的左视图
2．（11预测）某物体的展开图如图，它的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
第2题

2. B 【解析】本题考查了几何体的表面展开图，三视图.解题思路：

3．（11预测）如图是某工件的三视图，其中主视图、左视图均是边长为20cm的正方形，则此工件的侧面积是 cm
第2题图

3. 400 【解析】本题考查了三视图，圆柱的侧面积.解题思路：

4．（11预测）一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表
面涂上颜色，那涂色面积为_________ m2.
第3题图

4. 23 【解析】本题考查了三视图与几何体表面积的关系.解题思路：

5．（11预测）晚上，身高1.6米的小华站在D处(如图)，测得他的影长DE＝1.5米，BD＝
4.5米，那么灯到地面的距离AB＝__________米．
A
B
D
E
C
第4题图

5. 6.4 【解析】本题考查了中心投影，相似三角形.解题思路：
△ECD∽△EAB→
6．（11预测）问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）
（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程．
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．

B
A

图①

P
A
图②
P
A
图③
第6题图

6．思路分析：（1）利用勾股定理求解；（2）连接，蚂蚁爬行的最短路线是的长度，利用圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长可求出∠=60°，又因为，所以是等边三角形，故；（3）仍利用圆锥的侧面展开图求解，由等边三角形“三线合一”的性质可知此时最短路线为点A到的距离，利用勾股定理可求解．
解：（1）易知

即蚂蚁爬行的最短路程为5．
（2）连结则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，则由题意得：
即

是等边三角形
最短路程为
（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过作于点则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程．

蚂蚁爬行的最短距离为
B
A

图①
图③

P
C
A
60°
图②

P
A