基于一般二元关系粗糙近似算子的格结构研究.pdf

基础学科基于一般二元关系粗糙近似算子的格结构研究王豪，刘银山，秦克云*（西南交通大学数学学院,四川成都611756）摘要：刻画了基于一般二元关系及悲观多粒度粗糙近似算子的完备格结构，证明了在选取蕴涵算子之后，基于一般二元关系的粗糙近似算子构成 MV、R0 与布尔代数。关键词：一般二元关系；近似算子；完备格；剩余格中图分类号：O159文献标志码：A文章编号：1673159X(2024)01009706doi：10.12198/j.issn.1673159X.5053ResearchonLatticeStructureBasedonGeneralBinaryRelationshipRoughApproximationOperatorsWANGHao，LIUYinshan，QINKeyun*（School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 611756 China）Abstract:Acompletelatticestructurebasedongeneralbinaryrelationshipsandpessimisticmultigranularityroughapproximationoperatorswascharacterized.Afterselectingimplicationoperators,MV,R0,andBooleanalgebrawereconstructedbasedongeneralbinaryrelationshiproughapproximationoper-ators.Keywords:generalbinaryrelation；approximationoperator；completelattice；residuallattice粗糙集理论（RoughSets）是波兰学者Pawlak12于 1982 年提出的一种处理不确定性知识的数学工具。作为一种处理不确定性问题的数学工具，粗糙集理论将知识理解为区分对象的能力，形式化的知识是对论域的划分，通过论域上的等价关系表示。不确定性概念借助相应的等价类构造近似算子进行逼近。目前，粗糙集理论已经在知识与数据发现、模式识别与分类、知识推理、不确定性决策等领域取得了成功的应用37。Pawlak 粗糙集模型中，等价关系起着至关重要的作用，但是在许多实际问题中，论域的二元关系不是等价的。从更广义的角度出发，Yao3将 Pawlak 粗糙集模型拓展为一般二元关系的粗糙集模型。Song 等4刻画了基于L-模糊广义邻域系统和基于 L-模糊关系的粗糙集的格结构。一般二元关系是 L-模糊关系的特例，所以也具有格结构。宋巧玲等5给出了基于一般二元关系的格结构和悲观多粒度近似算子的格结构，证明了给定论域上所有的基于一般二元关系的收稿日期：20230921基金项目：国家自然科学基金资助项目(12271319、61976130)。*通信作者：秦克云(1962），男，教授，博士，博士研究生导师，主要研究方向为粗糙集理论、形式概念分析等。ORCID：000000033169487XE-mail：引用格式：王豪，刘银山，秦克云.基于一般二元关系粗糙近似算子的格结构研究J.西华大学学报（自然科学版），2024，43（1）：97102.WANGHao,LIUYinshan,QINKeyun.ResearchonLatticeStructureBasedonGeneralBinaryRelationshipRoughApproximationOperatorsJ.JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）,2024,43（1）:97102.第 43卷第 1 期西华大学学报（自然科学版）2024年1月Vol.43，No.1JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）Jan.2024上（下）近似算子构成完备格。完备格满足一定条件后成为剩余格，剩余格既具有代数结构又具有序结构，成为多个数学分支的研究课题。陈子春等6证明了在适当选取蕴涵算子及剩余算子之后，粗糙集代数成为剩余格。乔全喜等7证明了在适当选取蕴涵算子之后，粗糙集代数成为布尔代数。笔者将对基于一般二元关系的近似算子的完备格结构进行进一步的刻画，刻画格结构上下确界的代数表示，并且将证明在适当选取蕴涵算子之后，基于一般二元关系的粗糙近似算子构成 MV、R0 与布尔代数。1预备知识本节本文给出一些关于 Pawlak 粗糙集模型、多粒度粗糙近似算子和剩余格的概念。URUX U(U,R)R(X)=x U|xRX,R(X)=x U|xR XXRXRR(X),R(X)R(X)=(R(X),R(X)RR,R:2U 2U2UU定定义义 12设 是一个非空集合，是 上的等价关系，且，则称为Pawlak 近似空间，并分别称和为 的-上近似和 的-下近似。如果，则称是一个关于 的 Pawlak 粗糙集，而映射分别被称作下近似算子和上近似算子,其中表示 的幂集。UX,Y U命命题题 12设 R 是非空集合上的等价关系，则，有：R(X)X R(X)1)；X YR(X)R(Y)R(X)R(Y)2)若，则且；R(XY)=R(X)R(Y)3)；R(XY)=R(X)R(Y)4)；R(R(X)=R(X)R(R(X)=R(X)5)且。RQU引引理理 18设 和是上的两个等价关系，则下列结论等价：R Q1)；R Q2)；R Q3)。下面给出一般二元关系下悲观和乐观多粒度粗糙集模型的概念。UR1,R2,RmUx U,i=1,2,mRi(x)=y U:(x,y)Ri以下表示论域，表示论域上的一族二元关系，假设。X UX定定义义 291），的悲观多粒度下近似mi=1Rpi(X)mi=1Rpi(X)集合与上近似集合分别定义为：mi=1RPi(X)=x U:R1(x)XRm(x)X且且;mi=1RPi(X)=x U:R1(x)X,Rm(x)X,或 或。Xmi=1ROi(X)mi=1ROi(X)2）的乐观多粒度下近似集合与上近似集合分别定义为：mi=1ROi(X)=x U:R1(x)XRm(x)X或或;mi=1ROi(X)=x U:R1(x)X,Rm(x)X,且 且。R1,R2,Rmmi=1ROi(X)mi=1ROi(X)一般情况下，当中存在不自反的二元关系时，乐观多粒度上近似集合和下近似集合有可能不满足上下近似集合的包含关系。UR1,R2,RmX U引引理理 29令为论域，为论域上的一族二元关系，有mi=1RPi()=mi=1RPi()=1)；mi=1RPi(sinX)=sinmi=1RPi(X)2)；mi=1RPi(sinX)=sinmi=1RPi(X)3)；mi=1RPi(X)=mi=1Ri(X)4)；mi=1RPi(X)=mi=1Ri(X)5)。sinXX其中，表示集合 的补集。(L,0,1)01L定定义义 31011设是一个有界格，其中 和 分别是它的最小元与最大元。如果 上还有两个运算 和，且满足：(L,1)11)是以 为单位的交换半群；(,)ab ca b c a,b,c L2)是 伴 随 对，即当 且 仅 当，；(L,0,1)则称是一个剩余格。(L,0,1)L定定义义 410,1215设是一个剩余格，若 满足条件(a b)(b a)=1,a,b L。98西华大学学报（自然科学版）2024年(L,0,1)(a 0)0=a,a Lab=a(a b),a,b L(a b)(a b)ab)=1,a,b L则称为 MTL 代数。一个 MTL 代数若还满足条件。则称其为IMTL 代数。一个 MTL 代数若还满足条件。则称其为布尔代数。一个IMTL代数，若还是布尔代数，则称其为 MV 代数。一个IMTL 代 数 若 还 满 足 条 件 则称其为 R0 代数。下面我们给出一些剩余格的示例。L=(0,1,0,1)ab=0(a+b1)a b=(1a+b)1L例例1，其中，。则 L 称为 Lukasiewicz代数，是一个剩余格，且是 IMTL 代数。L=(0,1,0,1)ab=aba b=1,a bb,a bL例例 2，其中，。则 称为 Godel 代数，L 是一个剩余格，不是 IMTL 代数。L=(0,1,0,1)ab=aba b=1,a bba,a bLL例例 3，其中，。则 称为 Goguen 代数，是一个剩余格，且是 MTL 代数，不是 IMTL 代数。2基于一般二元关系的粗糙近似算子的代数结构宋巧玲等5已经给出基于一般二元关系的粗糙近似算子的格结构，在此格结构的基础上，将上下确界的代数表示刻画得更加简单，并给出基于等价关系的粗糙近似算子上下确界的代数表示、悲观多粒度的粗糙近似算子上下确界的代数表示和基于一般二元关系粗糙近似算子其他的代数结构。R(U U)U(R(U U),)U U用表示上所有的二元关系之集，容易得出是有界完备格，最大元为，最小元为。U=a,b,c R(UU)UR(UU)29R(UU)(R(UU),)UU=(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)例例4集合，表示上所有的二元关系之集，集合元素个数为，则关于集合的包含关系构成偏序集，且是有界完备格，最大元为，最小元为。R1,R2 R(U U)R1R2=R1R2R1R2=R1R2R(U U)对于任意，令，。容易验证 与 是上封闭的二元运算。R(U U)在上 定 义 运 算 如 下：对 于 任 意R1,R2 R(U U)R1 R2=sinR1R2R(U U)，容易验证是上的封闭的二元运算。引引理理 3与 构成伴随对。R1R2 R3R1R2 R3R1=(R1R1R2)(R1R2)R1R1R2 sinR2R1R2R3R1=(R1R1R2)(R1R2)sinR2R3R1 R2 R3证明证明若，则。，由于，故有。即。R1 R2 R3R1 sinR2R3R1R2 R3(x,y)R1R2 R3(x,y)R1(x,y)sinR2R3R1 sinR2R3R1 sinR2R3R1R2 R3R1R2 R3另一方面，若，有，故。否则存在，则。又因为，故有，与矛盾，所以，即。由引理可得以下定理。(R(U U),U U)R(U U)1定定理理 1构成一个剩余格，记为。H(U)=R:R R(U U)L(U)=R:R R(U U)H(U)(L(U)R Q(R Q)X UR(X)Q(X)(Q(X)R(X)R,Q H(U)(R,Q L(U)(H(U),)(L(U),)记且，在集合上定义序关系 如下：当且仅当，其中，显然和是两个偏序集。R,QUX U引引理理 45设是上的一般二元关系，则，下列等式成立：RQ(X)=R(X)Q(X)1)；RQ(X)=R(X)Q(X)2)；RQ(X)R(X)Q(X)3)；RQ(X)R(X)Q(X)4)。引引理理 5下列 3 个条件等价：R1 R21);R1 R22);R1 R23)。1)2)证明证明：R1 R2 x U,R1(x)R2(x)X U,x UR2(x)X,(R1(x)X,)X U,x U,x R2(X)(x R1(X)X U,R1(X)R2(X)R1 R21)3)：R1 R2 x U,R1(x)R2(x)X U,x R1(X)(x R2(X)X U,R2(X)R1(X)R1 R2U=a,b,cR1=(a,b),R2=在例 4 中，集合，取第1期王豪等:基于一般二元关系粗糙近似算子的格结构研究99(a,b),(a,c),(c,a)R(U U)R1 R2P(U)=Xi|i=1,2,3,8X1=,X2=a,X3=b,X4=c,X5=a,b,X6=a,c,X7=b,c,X8=a,b,c则。，。Xi P(U)对于任意，有：R1(X1)=R2(X1)=,R1(X2)=R2(X2)=c,R1(X3)=a R2(X3)=a,R1(X4)=R2(X4)=a,R1(X5)=a R2(X5)=a,c,R1(X6)=R2(X6)=a,c,R1(X7)=a R2(X7)=a,R1(X8)=a R2(X8)=a,c。Xi P(U)R1,R2同理，对于任意关于的下近似有：R1(X1)=b,c R2(X1)=b，R1(X2)=b,c R2(X2)=b,c，R1(X3)=a,b,c R2(X3)=b，R1(X4)=b,c R2(X4)=b，R1(X5)=a,b,c R2(X5)=b,c，R1(X6)=b,c R2(X6)=b,c，R1(X7)=a,b,c R2(X7)=a,b，R1(X8)=a,b,c R2(X8)=a,b,c。(H(U),)(L(U),)Rii H(U)iRi=iRiiRi=iRi宋巧玲等5给出偏序集和偏序集的完备格结构如下：，有，。其中：iRi=R R(U U)|X U,R(X)iRi(X)。Rjj L(U)iRi=iRiiRi=iRi，有，。其中：iRi=R R(U U)|X U,iRi(X)R(X)。本文通过对完备格结构的下确界的代数表示进行刻画，使得下确界表示方式上更加简单。(H(U),)(L(U),)Rii H(U)iRi=iRiiRi=iRiRjj L(U)iRi=iRiiRi=iRi定定理理 2偏序集和偏序集是两个完备格结构。其中，有、。，有、。iRi=iRiiRi=iRi证明证明本文只证和。Rii R(U U)iRi RiiRi RiRUi R RiR RiR iRiR iRiRiiiRi对于任意，有，由引理 5，得。设是 上的一般二元关系，且满足对于任意，。由引理 4 得，故有。由引理 5，所以的下确界是。Rii R(U U)iRi RiiRi RiRUi R RiR RiR iRiR iRiRiiiRi对于任意，有，由引理 5，得。设是 上的一般二元关系，且满足对于任意，。由引理 4 得，故 有。由 引 理 4 得，所 以的下确界是。Equ(U)UM=R:R Equ(U)M=R:R Equ(U)M(M)R Q(R Q)X U,R(X)Q(X)(Q(X)R(X)R,Q M(R,Q M)此定理刻画了基于一般二元关系的粗糙近似算子的完备格结构。等价关系是特殊的一般二元关系，所以基于等价关系的粗糙近似算子也具有相同的格结构。设记为上的等价关系之集，记且，在集合上定义序关系 如下：当且仅 当，其 中。我们有以下推论。(M,)(M,)Rii MRii MMiRi=iRiMiRi=iRiMiRi=iRiMiRi=iRi推推论论 1和是两个完备格。其中，都有，且。在悲观多粒度粗糙集模型中，由引理 2 和引理 3 得mi=1RPi(X)=mi=1Ri(X)=mi=1Ri(X)，mi=1RPi(X)=mi=1Ri(X)=mi=1Ri(X)。所以悲观多粒度粗糙近似算子是特殊的基于一般二元关系的近似算子。UmH(U)(mL(U)mH(U)(mL(U)mi=1Rimi=1Qi(mi=1Rimi=1Qi)X Umi=1Ri(X)mi=1Qi(X)(mi=1Qi(X)mi=1Ri(X)记 上所基于一般二元关系的悲观多粒度上（下）近似算子之集为，在上定义序关系当且仅当，。我们有以下推论。(mH(U),)(mL(U),)mi=1RPijjmH(U)jmi=1RPij=jmi=1Rij=推推论论 2与是两个完备格。其中，有100西华大学学报（自然科学版）2024年jmi=1Rijjmi=1RPij=jmi=1Rij=jmi=1Rijmi=1RPijjmL(U)jmi=1RPij=jmi=1Rij=jmi=1Rijjmi=1RPij=jmi=1Rij=jmi=1Rij，；，有，。R1,R2 H(U)R1R2=R1R2R1R2=R1R2H(U)H(U)R1,R2 H(U)R1 R2=sinR1R2H(U)对 于 任 意。令，。容易验证 与 是上封闭的二元运算。再在集合上定义运算如下：对于任 意，显 然是上封闭的二元运算。H(U)引引理理 6在集合上，与 构成伴随对。R1R2 R3R1R2 R3R1R2 R3R1 sinR2R3R1 sinR2R3R1 R2 R3证明证明若，则。由引理5，得。由引理 2，得。由引理 5 得，。即。R1 R2 R3R1 sinR2R3R1 sinR2R3R1R2R3R1R2 R3R1R2 R3另一方面，若，则。由引理 5，得。由引理 2，得。由引理 5，得，即。(H(U),U U)H(U)1定定理理 3构成一个剩余格，记为。H(U)1定定理理 4是 MV 代数。R1,R2H(U)(R1R2)(R2R1)=sinR1R2sinR2R1sinR1R2sinR2R1=U UH(U)1证明证明对于任意，有=。所以是 MTL 代数。R1 H(U)(R1)=sinR1=sin(sinR1)=(R1U U)=R1H(U)1对于任意，有。所 以是 IMTL 代数。R1,R2 H(U)R1(R1 R2)=R1(sinR1R2)=R1(sinR1R2)=(R1sinR1)(R1R2)R1R2=R1R2H(U)1H(U)1对于任意，有=所以是布尔代数，故是MV 代数。H(U)1定定理理 5是 R0 代数。R1,R2 H(U)证明证明对于任意，有(R1 R2)(R1 R2)sinR1R2)=sinR1R2(sinR1R2 sinR1R2)=sinR1R2sin(sinR1R2)(sinR1R2)=sinR1R2(R1sinR2)sinR1R2=sinR1R2(R1sinR2)sinR1R2=(sinR1R2R1)(sinR1R2sinR2)=U U U U=U U。H(U)1所以是 R0 代数。H(U)1定定理理 6是布尔代数。R1,R2,R3 H(U)证明证明对于任意若满足：R1R2=R1R3R1R2=R1R3R1R2=R1R3,R1R2=R1R3R1R2=R1R3,R1R2=R1R3R2=R3R2=R3若且，则，由引理 4，有，所以，即。H(U)1N5M5H(U)1又因为中无五元子格及。则为分配格。R1sinR1=R1sinR1=,R1sinR1R1sinR1=U UH(U)1=，所以是有补格。H(U)1综上可知，是布尔代数。L(U)由引理 5 我们能够得出基于一般二元关系的上、下近似算子分别构成的完备格是同构的，故定义上文的蕴涵之后，也成为 MV、R0 与布尔代数。3结论本文主要研究基于一般二元关系的粗糙近似算子的代数结构。Song 等4分别刻画了基于 L-模糊广义邻域系统的粗糙近似算子和基于 L-模糊关系的粗糙近似算子的格结构。一般二元关系是 L-模糊关系的特例，我们在本文中给出了基于一般二元关系的粗糙近似算子完备格结构，同时也给出了基于等价关系粗糙近似算子的完备格结构和基于一般二元关系的悲观多粒度粗糙近似算子的完备格结构。在一般二元关系集合中定义蕴涵算子，则给定论域上所有的基于一般二元关系的粗糙近似算子集合成为 MV、R0 与布尔代数。参考文献1PAWLAKZ.RoughsetsJ.InternationalJournalofComputerInformationSciences,1982,11:341356.2 PAWLAK Z.Rough sets:Theoretical aspects ofreasoningaboutdataM.SpringerScienceBusinessMe-dia,1991.3YAOYY.InformationgranulationandroughsetapproximationJ.InternationalJournalofIntelligentSys-tems,2001,16（1）:87104.4SONGQL,ZHAOH,ZHANGJJ,etal.Thelat-ticestructuresofapproximationoperatorsbasedonl-fuzzygeneralized neighborhood systemsJ.Complexity,2021,第1期王豪等:基于一般二元关系粗糙近似算子的格结构研究1012021:110.5宋巧玲,赵虎,张红英.多粒度粗糙近似算子的格结构研究J.模糊系统与数学,2022,36（4）:143150.SONGQL,ZHAOH,ZHANGHY.Researchonthelattice structure of multi granularity rough approximationoperatorsJ.Fuzzy Systems and Mathematics,2022,36（4）:143150.6陈子春,秦克云.粗糙集代数中的剩余格结构J.模糊系统与数学,2008,22（4）:149153.CHENZC,QINKY.Thestructureofresiduatedlat-ticeinroughsetalgebraJ.FuzzySystemsandMathemat-ics,2008,22（4）:149153.7乔全喜,秦克云.粗糙集代数与 BL 代数J.计算机工程与应用,2008,44（33）:4647.QIAOQX,QINKY.RoughsetAlgebraandBLAl-gebraJ.Computer Engineering and Applications,2008,44（33）:4647.8周欣.m-半格上的模糊理想与粗糙集 D.西安:陕西师范大学,2015.ZHOUX.m-FuzzyIdealsandRoughSetsonSemilat-ticesD.Xian:ShaanxiNormalUniversity,2015.9顾力平,杨习贝.基于一般二元关系的多粒度粗糙集模型J.南京航空航天大学学报,2013,45（1）:124129.GULP,YANGXB.Multigranularityroughsetmodel based on general Binary relationJ.Journal ofNanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,2013,45（1）:124129.10HAJEKP.MetamathematicsoffuzzylogicM.SpringerScienceBusinessMedia,2013.11王国俊.非经典数理逻辑与近似推理 M.北京:科学出版社,2000.WANGGJ.NonclassicalMathematicallogicandap-proximatereasoningM.Beijng:SciencePress,2000.12PEID.Onequivalentformsoffuzzylogicsys-tems NM and IMTLJ.Fuzzy Sets and Systems,2003,138（1）:187195.13TURUNENE.BooleandeductivesystemsofBL-algebrasJ.ArchiveforMathematicalLogic,2001,40（6）:467473.14ZHANGXH.OnfuzzylogicalgebraicsystemMTLJ.Advances Systems Science and Applications,2005,5（3）:475483.15胡明娣,吴洪博,于鹏.MV-代数、R0-代数、格蕴涵代数、FI-代数、BL-代数与剩余格J.西安文理学院学报(自然科学版),2006,9（1）:5660.HUMD,WUHB,YUP.MV-algebra、R0-algebra、latticeimplicationalgebra、FI-algebra、BL-algebraandRe-siduated latticeJ.Journal of Xian Liberal ArtsCollege(NaturalScienceEdition),2006,9（1）:5660.（编校：叶超）(上接第 96 页)20谈明高,张可可,吴贤芳,等.泵内大颗粒固液两相流流动试验J.农业工程学报,2021,37（8）:6267.TANMG,ZHANGKK,WUXF,etal.Experiment-alstudyonlargeparticlesolid-liquidtwo-phaseflowinacentrifugalpumpJ.TransactionsoftheChineseSocietyofAgriculturalEngineering,2021,37（8）:6267.（编校：夏书林）102西华大学学报（自然科学版）2024年