量子力学 习题（计算题）解答 - 电气工程学院.pdf

习题（计算题）解答第一章绪论1.解根据普朗克的黑体辐射公式以及有,S/r hv06=一C eAv=c,小，万一1(1)(2)pvd v=pd X,(3)d vPLPfd=哗,_ 87 r he 1二一1这里的是黑体内波长介于人与入+d入之间的辐射能量密度。本题关注的是入取何值时，历取得极大值，因此，就得要求必 对人的一阶导数为零，由此可求得相应的人的值，记作4n。但要注意的是，还需要验证0对人的二阶导数在，处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的4就是题目所要求的。具体如下:_ 8 就c 1Pa heeAkT_ he-5 H-及T-1 1h=0n_ he-5 H-AkT=0 1一）而=he -he5(1-e r)=AkT如果令户善,则上述方程为5(i-e-x)=x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：%=4.97,经过验证，此解正是所要求的，这样则有XK把以及三个物理常量代入到上式便知4/=2.9x10-3m这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定 温度的高低。2.解根据德布罗意关系，可知E=hv如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（线片.胚 cos0 c o s=h它 2E/W cos2 0d O=-h=，k 2其中方=2。2万B=2E-M si r?即 62 V k这样，便有A+B=2E#2E%。(A-B=2E-c o s26t i0=喉 cos2%(26)=需c o s阳3,这里夕=2。，这样，就有A B=(Ed sin/=0(2)根据式（1）和（2）,便有A=E出这样，便有口口九E7 V.=hk 2=n I k I kE=hi=nnl-2乃飞 丫 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次,这量子化的能量是等间隔分布的。这里也可采用更为简便的方法：将E=+工H2改写为2 22 2一 1 一一(7)2(v w)2该式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。于是qpd x=兀12a J2E/2=nh 从而得E=注九，(2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有喙=q uB=p=juu=q BR这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为q BRd RO)=nhn q BR2-27 T=nhq BR2=nh又因为动能E=,所以有2q BR)1 q2B2R22 2=阴802 2nBM B,其中，”8=处是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2AE=BM r D具体到本题，有AE=10 x9xl0-24J=9xl0-23Jr根据动能与温度的关系式3 E=kT 2以及lk-K=10-3eV=1.6xl()-22J可知，当温度T=4K时，5=1.5x4x1.6x10-22,=9 6x10-22 j当温度T=100K时，E=1.5x100 x1.6x10-22/=2.4x10-2 J显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。5.解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样 的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去 计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不 需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰 撞时，转化为正负电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有E=hv=4/此外，还有于是，有疗1.24x10-6=-0.51X106=2.4x10-12 加=2.4x10-3 八加尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的。我们 知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之 类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上 告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因。期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谓方程1.证：对于定态，可令中（不，/）=材（尸）/“）=（尸）6力J=（V*-乎*V乎）2m1 方 Et Et Et Ei=（尸）e h V（y/（f）e h）一（尸）e 力 V（y/（r）e h）2m=兽（尸）？*（尸）一*（尸）（尸）2m可见了与t无关。2.解：Z和5只有分量在球坐标中 V=）+e-+e .d r 0 r 50 rsi n。丽（1）%=兽（%咳;一出*少J 2m=-eikr-e-ikr）-e-ikr（-eikr）rQ2m r d r r r d r rih 1,1.1.1.1.71Vl一-（一r次）（_r+水 _）偏2m r r r r r rhk _ hk _）=r mr mrr与亍同向。表示向外传播的球面波。（2）/2=妙（%*-%*Q2m访1 八一如1 c ikr、1 ikr1-ikr-i=e（e）一一 k（一）“2m r o r r r o r rih A 1 L 1 1 1、l=-（T+很）（T 一 次 一）居2m r r r r r rhk _ hk-=-r%=-rrmr mr可见，:2与7反向。表示向内（即向原点）传播的球面波。3.解：U(%)与/无关，是定态问题。其定态S方程(%)+U(%)叶(%)=E 夕(%)2m d x2在各区域的具体形式为力2 d2I：x0%(%)+U(%)%(%)=Ey/(%)(1)r/n W-v-0 x a-y/3(x)+U(x)y/3(x)=Ei/3(x)(3)2m d x由于(1)、(3)方程中，由于U(%)=8,要等式成立，必须少 1(%)=0匕(%)=0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为储2(%)+2mE“2(无)二d)2(%)+上2少2(%)=0 ax其解为叶 2(%)=Asin kx+B cos kx根据波函数的标准条件确定系数A、Bo由连续性条件，得2(0)=心(0)(5)=B=0(6)=A si n 版=0A w 0si n ka=0=ka=n 兀Asi n由归一化条件得.mr c由|si n-13 a.2 2mE:k=力2f P/%2 2 n En=-Tn2ma2=120 2八乃j 1A sm xax=1J a.几兀 i ac*sm xd x=-8mna 2=A=,、12.mi-2(%)=Jsmx V a a(n=1,2,3,)可见E是量子化的o-a对应于纥的归一化的定态波函数为2.nr c-Ent,、Jsi n xe h,匕(%)=例。a0,Asin(x+a),4.uh：y/n=2a0,由归一化条件，得1=帆办=4=42*l.cos 手相“相=-X-CC0 xax aM a2 2 z isi n(x+a)ax2a(x+a)d xYl7 t z、7)s(x+a)ax.l2 A,2 a.n7 t.=A a-si n(x+a)2 mr a=A,2a-a归一化常数4 Na5.解：弘(%)=2a也8=/2%-2a 2/e-2 d x 飞兀令也9=0,得 d xx=0 x=-x=oo a由6y1(%)的表达式可知，=0,尤=8时，6yA%)=0。显然不是最大几率的位置。而 d 叱%)=-6(z2x2)-2a2x(2x-2a2x3)ea2x2d x N兀-5a2x2-2a4x4)e-a2x2d2CDxx d x20 4a3 1=-2-t-%反演，可得(1),反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。=y/(x)=c y/(-x)(4)乘(5),得夕(x)以一 x)=cV(x)(-x)可见，c2=1C=1当c=+l时，(-x)=/(x),=少(%)具有偶宇称，当 C=一1 时，w(x)=(%),=具有奇宇称,故当势场满足U(-%)=(%)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。7.解法一：粒子所满足的S-方程为“(%)+U*)“()=Ey/(x)-按势能U(x)的形式分区域的具体形式为2 dx-oo x-aT T 力 2 d2=Ei/2(x)-a xa(2)11：c.2 r iX)2/7 d x力2 d2a x A=0%3)有限=E=0因此5=Bekx收 3=Fe-k|X由波函数的连续性，有=i/2(-a),=Beka=-Csi nk2a+Dcosk2a(10)=必(一),n kBeka=k2C cos k2a+k2D si n k2a(11)-2（a）=匕（a）,n C si n k2a+D cos k2a=Feka（12）=必（a）,=k2ccosk2a-k2Dsi n k2a=-kxFeka（13）整理（10）、（n）、（12）、（13）式，并合并成方程组，得e-kaB+si nk2a C-cosk2a D+0=0k1e-kaB-k2 cosk2a C-k2 si nk2a D+0=00+si n k2a C+cosk2a D-e-k,aF=00+k2 cosk2a C-k2 si nk2a D+k1e-k,aF=0解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须e-kasi n k2a-cos k2a0-k2 cos k2a-k2 si n k2a0=00si n k2acos k2a一丁也0k2 cos k2a-k2 si n k2akxe-ka%cos/a0=eka sin 或-sinA/z 0 c o s ka-ekaA2 cos sin A2a 及即sin 22a-kxeka sin%2a&cos%2a一 cos 女2a 0 cos%2a eka-k2sink2a kxeka=e%-秘2e cos2 k2a+keka si n k2a cos k2a+kxk2eka si n2 k2a+keka si n k2a cos k2a-kxekxa kxeka si n k2a cos k2a+k2eka cos2 k2a+kieka si n k2a cos k2a-k2ek,a si n2 k2a=e2ka-2k1k2 cos 2k2a+k；si n 2k2a-k；si n 2k2a=e2ka（kl 一女；）si n 2k2a-2kxk2 cos 2k2a e2ka w 0.（%；k；）si n 2k2a-2kk2 cos 2k2a=0即（心-犬）氏2攵2。-2攵1七=0为所求束缚态能级所满足的方程。解法二：接（13）式k k-Csi nk7a+Dcosk?a=-Ccosk.a H-Dsi nk?aI 2.k kCsi nk2a+Dcosk2a=-Ccosk2a Hsi nk2a ki Kcos k2a+si n k2a si n k2a-cos k2a ki 一cos k2a+si n k2a-(-si n k2a-cos k2a)=0k k-(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)ki kik k-(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)=0ki ki(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)=0k kx2 k k-si n 左 2 cos 左 2。+si n?k2a-cos2 k2a-si n k2a c o sk2a=0k kx k(-1+2ksi n 2k2a-cos 2k2a=0 ki(反一&：)si n 2攵2。一 2k/2 cos 2%2a=0解法三：(n)-(13)=2履。Si n 左2。=ke-ka(B+F)(10)+(12)n 2Dcosk2a=e-ka(B+F)(11)-(13)7,-=k7t gk7a=k.(10)+(12)2 2 1(11)+(13)n 2k2Cc o sk2a=-kF-B)e-ika(12)-do)2Csi nk2a=(F-B)e-i ka(11)+(13),-=k7c t gk7a=-k.(10)-(12)2 23)令=k2a,7=kxa,则J eg=一(d)片+2=(片+后)=红浮(f)自火J 二 或合并(a)、(b)：利用tg2k2a=上孽一,得 l-tgk2a2k#?t g2k2a=-(2解法四：（最简方法-平移坐标轴法）t 力2I：一丁夕i+。0 夕i=石1 2U0)力2II：一取(0 x 2a)h25=0=E=0因此5=Aekx“3=Fe-kx由波函数的连续性，有%(0)=%(0),n A=)(4)%(0)=必(0),=kxA=k2C(5)H(2a)=(2a),n k2C cos 2k2a-k2D si n 2k2a=-kFelka(6)收 2(2。)=匕(2a),n C si n 2k2a+D cos 2k2a=Fe2ka(7)代入C si n 2k2a+D cos 2k2a=-C cos 2k2a+Dsi n 2k2a k k、利用(4)、(5),得A si n 2k2a+A cos 2k2a=-A cos 2k2a+Dsin 2k2a&2 占A(-)si n 2k2a+2 cos 2k2a=0k2 kA。0k k(-)si n 2k2a+2 cos 2k2a=0左2左i从而得(k；一 k；)si n 2k2。-2kxk2 cos 2k2a=08.解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态S-方程为h2 d22 d x2以%)+U(%)()=对各区域的具体形式为I：-叫+U(x)W=Ei/】(x 0)2II：-叶；+。02=后,2(0 X )24 一 力III：-四一U必=E5(axb)24 0(%)U。a bAX力IV：-+0=E w4 3%)2对于区域I,U(%)=8,粒子不可能到达此区域，故h (Un-E)八而 收2-Ti-犷2=0n 2W+E)r 3十夕3=力24=n对于束缚态来说，有-q Ak(*+)=Ck2 cos k2a-Dk2 si n k2a(8)叶3 3)=%(b)=C si n k2b+D cos k2b=Fekyb(9)3)=M(。)n Ck2 cos k2b-Dk2 si n k2b=-Fk3ek?,b(10)由、（8）,得仆 eka+eka _ C cos k2a-D si n k2a k2 eka-eka C si n k2a+D cos k2a(H)由(9)、(10)W(k2 cos k2b)C-(k2 si n k2b)D=(k3 si n k2b)C-(k3 cos k2b)Dcos k2b+si n k2b)C+(-si n k2b+cos k2b)D=0(12)令”工9则)式变为(/3 si n k2a-cos k2a)C+(/?cos k2a+si n k2a)D=0(13)联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须cos k2b+si n k2b)si n k2b+cos k2b)=0(J3 si n k2a-cos k2a)(0 cos k2a+si n k2d)k即(，cos k2a+si n k2a)(cos k2b+si n k2b)-(/?si n k2a-cos k2a)-k(-si n k2b+cos k2b)=0勺 _ 一k kP-cos k2b cos k2a+cos k2b si n k2a+p si n k2b cos k2a+左3 左3k k+si n k2b si n k2a+/3sin k7b si n k2a-si n k2b cos k2a k?43-p cos kJy si n k2cl+cos k2b c o sk2a=0k ksi n k2(b 一 s)(夕-)+cos k2(b 一)(/?+1)=0-k3 k3把代入即得t gk2(b-a)=(1+-rV a_)t gk2(b-a)=(l+k2e)此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。从方程(10)之后也可以直接用行列式求解:=0(户-e-ka)一 si n%2 a-c o s k2a0(eka+e-ka)k2-k2 cos k2ak2 si n k2a00si n k2bcos k2b-e比0k2 cos k2b-k2 si n k2bk3ekiak2 c o sk2ak2 si n k2a00=(eka-e-ka)si n k2bcos k2b-e-ak2 cos k2b-k2 si n k2b-si n k2a-cos k2 0-k eka+eka)=si n kJ cos k2b-ekya k2 cos k2b-k2 si n k2b k3ekya=(eka-eka)(-k2k3/%cos k2a cos k2b-kekia si n k2acos k2b-k2k3*/si n k2a si n k2b-kekya cos k2a si n k2b)-kx(ek,b+ekb)(k2k3eb si n k2a cos k2b-k2ekib cos k2acos kjb+k3ek3b cos k2a si n k2b+k2ekib si n k2a si n k此)=(eka-ekia)-k2k3 cosk2(b-a)+k；si n k2(b-a)ekibeka-ek,a)kik3 si n k2(b-a)+k1k2 cos k2(Z?-a)ekb=*一(匕+攵3)攵2 cos 左2 S-)+(代一秘3)si n k2(b-a)ekib eka(Z:,-k3)k2 cosk2(b-a)+(kl+)si n k2(b-a)ekb=0=一(4+k3)k2+(k；-kk3)t gk2(b-a)ekjb-(k1-kjk?+(代+k.kt gkb-a)e-kib=0(代-ke2ka-(kl+kk3)t gk2(b-a)(k1+k3)k2e2ka_(Z _/)女2=0此即为所求方程。第三章量子力学中的力学量_ 1-11、解：(1)U=4 xi 2 i 1 2 2 J 2 1 2 2a 1ro a x o d 一一a x五乐L 2(才菽人公2 2x2ea2x2d x1 2 o万.2于a2 a1 2 1 1 2 h=Lit t)-=U,CD-2 2a 4 rco=-hc o 4x2ne-axd x=1-3-5.(2h-1)n)2n+1n a(2)T=y-=-5-*(x)pV(x)x 乙LI 乙Lt或a力(l-a2x2)ea2x2d x=三七2 vdi2%2产2M 品 2%人a 力 2&、=-；=-a，乃 2 a 2aa h 2 2 4tv 力 2%2=i=a=a -，乃 2 2a 4 4 h1+=hcD 4-1 1 1T=E-U=ha ha=ha 2 4 4(3)c(p)=-；(%)-(%)=占、及一品近6/2力，乃 a动量几率分布函数为以p)=,(两=l/庐 ahy/TTp2 2a 2#2、解：(1)尸=M(r,e,0)dc=Y(r elrlar2 si n d r d O d(p 兀a。=二卜3产0。拆=金o 上 03!w3了=5 乙（3）电子出现在r+dr球壳内出现的几率为d r=(人&/)r2 si n0 d r d G d(p=-e2rla0r2d r以厂ao幽 八=0,r2=co,r3=a0d r当q=0,弓=s时，颔)=0为几率最小位置d2a)(r)-匕+金&屋以）8 2-1=r-e d r d O d(p 2 7 T I。_!L r rJ-v。2上上上万4r2(r/fl)r2 sinOd r d O d(p r d r d r二一篝(一匚)2。d r 2“o 4 a o=%2心吟=工2”；4 4 2 赋(5)c(p)=i/(r,a(p)d r_ 1 4i p扃”勿劭力（1+4）2 a0%_ _4_.力 4,2疗兀（1。（。02P2+力2（2旬力产2-一乃（42p2+力 2）2动量几率分布函数奴 p）=|c（p）|2=叱 乃（4P+%）3、证：电子的电流密度为7 7，力/V7*V7 Je=eJ=%加-W*而）2在球极坐标中v=+2且+一-d r r d O rsi n。d（p式中加即 为单位矢量7 7 诙 r SI 一。一 1 d*-e J=一/UL，拓+外最花加）.*S 1 一 S 一 1 d福+/茄+%高工而）必，”屹九,d*d、一/1 d*B Wnm至WnCm 匕细石匕加）+%（匕加茄匕加Mm；3心+。荔”.心m-许心丽匕，/v Wnt m中的，和6部分是实数。.V ieh z.I|2.I|2_ ehm.必 _ Je=F（T叫匕帆一，回%（帆）=-F%2rsm6.4rsm3可见，Jer=Je0=OT ehm i2J ep=r-r 忆.4 rsm e4、解：（1）一圆周电流的磁矩为d M=iA=Je（pd S-A（，为圆周电流，4为圆周所围面积）=_-阮，/2 dS.乃（r si n 0）2 jur si n u（2）氢原子的磁矩为92 2兀 r si n。d-d。ehm 22(r 2smOd r d Oet im2帆扁2产 si nSdrdedeehm 2在CGS单位制中 M=-2/jc原子磁矩与角动量之比为-M7 e _ e加4+2）=4即 J2m兀=1m=0,1,2,加2%2转子的定态能量为就=（m=0,1,2,.）2/可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为A为归一化常数，由归一化条件t&Pa=虏弋姆=屋转子的归一化波函数为综上所述，除根=0外，能级是二重简并的。（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈密顿算符为H=-l3 21力与，无关，属定态问题，其本征方程为三法（6,6=EY（仇明（式中丫（&）设为百的本征函数，e为其本征值）似丫（仇明=2正丫（a明令2I E=觉,则有已丫（仇（!）=川消（3明此即为角动量2的本征方程，其本征值为1?=./=-2+1）-2（2=0,1,2,）其波函数为球谐函数h(e，0)=N.d(cose)*(m=0,1,2,-)转子的定态能量为口，(4+1)%2E(=r 可见，能量是分立的，且是(22+1)重简并的。6、解：y/(x)=Asi n2 kx+cos kx=A(1-cos 2kx)+1 cos kx=1-cos 2kx+cos kxA=-1-(ei2kx+e-i2kx)+1(eikx+e-ikx)2Ayl271 h r jOx 1 i2kx-y c-LpT2kx,X2匕 T 2eikx+e-力 15/2.力-e2可见，动量p.的可能值为02kh-2khkh-kh动能屋的可能值为02k2#21%2k2h2k2h22A2fl2对应的几率以应为A2A2A2A、一(2徜41616161611111.工-)-A22 8 8上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得88A2 A2 A21=啰=(+4x)-2%力=2%力V 4 16 2A=l/而动量p的平均值为 二 Zp0 nA?A2=0+2kh x-2肪-2kh x 2肪+khx-2肪-khx-2肪=016 16 16 16亍/咚=。+等V+k2M21 cx x 285左2力287、解：(1)先求归一化常数，由1=口少(乃d%=A2x2e-2Axd x=工人24234=2产y/(x)=2A3/2xe-Ax(x0)=0(x0)c(p)=e-ilccy/(x)d x=()1/2-2/l3/2 T xe-(A+ik)xd xY27 r h 2万方 M=（为味普露/4A3 1/2 1/4Z3 l/2 1(-)-=(-)-2%力(X+派)2 2%力(丸+j42动量几率分布函数为（p）=b（p）2A3 1病啰+分2分力3 1九（力2储+p2）2(2)万=匚 W*(x)pi/x)d x=-ih JT 4，%*(xeAx)d x=一访4万 X(l-Ax)e-2Axd x=T 力 4万(x-Ax2)e-2Zxd x=zm23(_1_1_)=08、解：粒子能量的本征函数和本征值为0 xax a_ n27 r2h2n 2/5=1,2,3,)动量的几率分布函数为以)=|CjG=sin-xi/(x)d x a a先把y/(x)归一化，由归一化条件，1=匚|夕(%)dx=A1 x2(a-x)2d x=A2 x2(a2-2ax+x2)d x=A2 (a2x2-2ax3+x4)d x2V15r4.nTT p 2 a xsi n xax-x si nn冗,xd xa2a/15 r a2 n7 r a3=-X cos X H-a n7 i a n ti.n7 i a 2 乃smx+x cosxa mi a2a2.n7 r 2/n冗 n-9 xsi n x cos xn 71:a n 兀 a=孚1一(1)n 7 i 好)=以=筌(_1)呼n式960 i.二二，n=l9 3,5,一=)由于在的区域内，t/(r)=0o只求角动量为零的情况，即2=0,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒了的几率分布与角度。、。无关，是各向 同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与。、“无关。设为什(厂)，则粒子的能量的本征方程为令 w(r)=W(r),k2=,得n2+k。u=0其通解为w(r)=A cos kr+B si n kr.(r)=-cosJlr+-si n波函数的有限性条件知，00)=有限，则A=0(、B.y/r)=si n krr由波函数的连续性条件，有B-3)=0=si n 化。=0 a8 W 0/ka=n7 r(n=1,2,)z nji k=-a.Z7/力2/、B.Mi/r)=si n r r a其中B为归一化常数，由归一化条件得1=/帆)产 si n 0 d r二4乃B2 si n2 r d r=2乃 aB2J归一化的波函数以上仅是粒子处于s态(2=0)的情况。普遍的解法如下:在区域内，粒子的能量本征方程为有2-VV(r,6,)=Ew(r,B,(p)2(1)3 2 e 1 d n 5 1 d(r)+(si n 0)+,d r d r si n 6 36 d O si n2 0 d(/)2令优=当，则方程写成 h-(r)Hz-(si n 0)Hz-z-r d r d r r2 sin0 d O d O r2 si n2 6 d fW，仇 0)=-a V(r,6,0)设y/(r,仇(p)=R(r)Y(a(p),代入上式，得i e 2 e 2 2 i 1 e q e i a山口、-(r)R(r)+a r=-(si ng)+-彳 Y(0,(p)R(r)d r d r 丫(a/)si n。0。d O si n2 9 J上式左边仅与r有关，右边仅与仇。有关，r,a 是互为独立的变量，要使上式 成立，两边应等于同一常数。当考虑到以上方程在区域内的解有限，此常数只能取2(4+1)2=0,1,2,。于是，有+浜n喻+看看卜a(仇加。a a(r2)7?(r)+a 2r2 _ 勿+i)(r)=o d r d r方程(2)的解为Yem(仇(P)=(cos o ym(p(2=0,1,2,;加=0,1,2,出)方程(3)是球贝塞尔方程。令=a r,R(r)=y(x)方程(3)可以写成尤2 答+%半+尤2_+)2y=0 ax ax 2(4)1方程是退阶贝塞尔方程,其通解y(%)=x(x)+c2J i(无)y+q)因o,j 1 a)f 8,所以含有奇异解j(%)的项要弃去，即令。2=0,故球贝塞尔方程在=0的邻域的有限解是所谓的球贝塞尔函数粒子在 区域内的波函数叭斓冲)=。氏的3)心(仇。)利用波函数在r=”处的连续性，收(,仇9)=032 Cj，(aa)Y，em=4金9严。)L3M=0J.ad)-0+-2由此可以选择本征值，由于对每一个给定的出值，贝塞尔函数有无穷多个零点,=1,2,3,，我们得到无穷多个。加值a1=1,2,3,-和无穷多个能级%)%2(U-)4 2 a方27韬7纥2h22/11、解法1：由习题3.6知 p=0/=2=#%2而 元=A2xsi n2 kx+cos kxf d x=Q8 2x2=r A2x2si n2 kx+c o skx2d x=(X)2故有(W-(A7=(7-x2)-(/-P2)=解法 2：(%)=Asi n2 kx+c o skx 2=-(1+coskx-cos2日)今(1+cos2 kx+cos2 2kx+2cos kx-2 cos 2kx-2cos Heos 2b;)A 3 1、2+cosZl xcos 2kx-cos+cos 4kx二*(4+2cosx-3 cos 2kx-2cos3 H+cos 4H)422屋 2 3 2 1d x=4xh-si nxsi n 2kx-si n 3履 H-si n 4kx2k3k4k8k=r4L+-si n-si nL-si n+si n2L8k 2 k3k 2 2k其中3=x=42 r 12 L1+B/l=12(BA2=2/L 1+-l L-sin-si n kL-sin+si n 2kLk 2 4k3k2 8k;加=0-2（被积函数为奇函数）L3%?(4+2 cos 丘一 3 cos 2kx-2 cos 3kx+cos 4kx)d x 2因为1 x2 cos nxd x=-x2 si n nx-2 nL L PL-sin nxd x-2 2 n13.nL 2=si n-xc o snx2n 2 n2 c o snxd xl3,nL 4.nL=si n-7 si n 2 2/2A2TL3一+3(13 118k 16k3k 27 k(U 8).3kL si n-2si n 2kL+42Z?尸si n 丝一3si nH !si n%+!si n2Z一十一3 k2 8l 2 4831_r8si n.2si n,L_Asi n+si n2,L2 162 2k27其中:L3=-2 1+C+3.8C=-31 si n-si n kL-sin +-si n 2kLD=V8si n-si n kL-sin+si n 2kL27 2 16Lk2 43 2 82 2又因为=-(ksinkx-2k si n 2kx)d x 2d2d x2=-A2女 2(cos H 一 4 cos 2b;)L dp=O(因被积函数是奇函数)P2L L/p2l/(x)d x=,-*(%)-%22 2 Vd,、L屋-=+方22 j,(l+c o skx-c o s2kxc o skx-4c o s2kx)d x4 2A2 乙(5 3 7 5=h2k2-cosb;cos2b;c o s3kx-2c o s4kx4*412 2 2 2A*212 r c 1(/.kL _.7 r 10.3kL _._;_=h k L 5-6 si n-1-7 si n kL-si n-1-2 si n 2kL81Hl 2 3 2G=-其中k6 si n +7 si n kL+si n-F 2 si n 2kL2 3 2(Ax)2=(x-x)2=x2-x2=x2(Ap)2=(p-p)2=p2-p2=p2国7丽7;V?=与25一丫1+提19649=h2k2i3L1+-+L人在乙很大的情况下(Ar)2(Ap)2=12万当L-8时，过渡到自由粒子的情况(Ax)2(Ap)2=oo12、解：先把以%)归一化，由归一化条件，得一是归一化后的八%）为=expj pox-f n 2动量平均值为-求/号&号 一 hPQX/1 hpx 5,jp=(-in)ii/d x=-in e n 2(x)e n 2 axL d x L 力=t%L(Pq-7 V x)e 7rx d x h=o1e c-公+沅力匚 xe nx d x=Po(AX)2.(A)2=?x=r/(%)冲%)d%=xe*d x=0(奇被积函数)J-o o J-?=r x2e-2d x=-x e-2CO+r e-d xj-8 2%yo 2 乃 l012/r/=/办=-方2/2年沁与d xL d x/L d x2=力2(+叁)+i27 r hp xex d x 一/力？x2enx2d x=（乃+与）+0+（/方2）白=g力2+p；n 2%2-7-7-2 1（A,V）=x-x=2式雨=/G=（2+P；）P；=?2 乙 乙西1丽=-彳为2=:方22万2 413、解：设氢原子基态的最概然半径为R,则原子半径的不确定范围可近似 取为ArR,由不确定关系-为2（Ar）2.（Ap）2-方2得 3汽条对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符万为奇宇称，所以p=02 2-2=P-P_又(Ap)所以/=-方2 心心占4相可近似取 7r力2R2能量平均值为-2 豆=2-幺2 r作为数量级估算可近似取2 2r R则有-方2 22M2 R基态能量应取后的极小值,由d E 方 2 e2 4-5 0d R 4 R2得R占代入后，得到基态能量为声_2:mi n 2方2第四章态和力学量的表象1 解：W=J*，必公1 a 广-p r -p r=(T-T-)P h(yp7-zpy)eh d r27 r h J1 Q f-pr Q。pr=（二）乎（一诙）（Pz 7-Py 丁）e d r2 彷）o py o pz/d d 1 q r 7（p-pz）r=（一法）（Pz t-Py）（）d ro py o pz 2 的）=ih（Py；一 一 PZ-WP-P）如 Z 3Py（左）p，p=J%底%dr1 a p-pr o p r=（二）（泡Z）2 d T17 t n，i i-i-.i _ _，r p r pr=（）p h yp.-zpyp.-zPyW d r27 m）1 q/-pr Q-pr=（/（次-z）a力）（Py标-d d 1 Q f-pr-p r,2Z a a、2/i、3 r（万一万）亍=一力（p-p,-）（-）e力y d pz z d py 2湎 J=一力 2（pl-pz；）2/万一）dPz dPy2.解：设势阱的势为 U(%)=co,x 00,0 x a基矢：wn（x）=J sin-x 0 x 一?+方 2=0n 4=,/=力，43 二 一力工乙的本征值为。h,-h当4=。时，有0丫%)010101h 正1、a20力双%+a3。,=0=。3=。1，42=0 2%=、一九由归一化条件1=收；收0=3：,0,%*)0、=2同2取为=，则对应于乙的本征值。的本征矢夕。=(1)正01当小=力时，有h 正010101/、a2儿0、10,=力/、%a2 u1正1 721正(%+%)7a29,=a2=42aa2-a?=a力=由归一化条件%、1=3；,&4；,：)=4 同2 9,取4弓，则对应于乙的本征值力的本征矢(%=J_ 1 21正2，当4=-力时，有12 3 o Q zf L-12 3 Q Q zf l ilOJ 取=,则对应于。的本征值-力的本征矢 2-)21忆一正01、2 由以上结果可知，从产和幻的共同表象变到,表象的变换矩阵为(1j_正22011双一正11正22 J对角化的矩阵为4=s+ks(人 一正1正J_ 2J_ 201正1 F1一正J_ 2J_ 20101010、10,(1 正01双1212)21 一正2,h=正01正1飞01101祝101J_21正1210V2 212hF00V21000、0 0 0、0=0力 0一色3 o-勤按照与上述同样的方法可得、的本征值为0,力,矢分别为(1)75o1)2%=正 1I 2；力，对应的归一化的本征2忆二W2，从2和2的共同表象变到乙表象的变换矩阵为S=(1 _-(1 n72 2 2正0 i i正一正=S+=2 一正1 _J_1 iV2 2 2 J 2 正1利用s可使对角化0000 h0Ly=S+LyS0、0-h.6.解：连续性方程为d tihJ=(四夕*-i1/*V)2而一 it iV-J=*_夕*V 夕)2=V21/)2=(/-*一夕*下夕)ihih=(y/Ty/-y/f 夕*)ih=（歹*下歹一写成矩阵形式为Q 人 人ih一(+)=y/+Ty/-y/Ti/+d taih一 w)=叶 一(+下叶)*=T-T*-0d t第五章微扰理论1.解：这种分布只对r 的区域有影响，对的区域无影响。据题意知H=U(r)-UQ(r)其中U0（r）是不考虑这种效应的势能分布，即。=一手U为考虑这种效应后的势能分布，在北为区域,Ze二/在区域，U（r）可由下式得出,U(r)=Ed r（，o）（