第四章矩阵的对角化.doc

个人收集整理 勿做商业用途第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分， 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题。 4.1 矩阵的特征值与特征向量 工程技术中的振动问题和稳定性问题， 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题。 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题. 一、特征值和特征向量的基本概念先看一个例子设取可验证这说明矩阵作用在向量上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量称为矩阵的特征向量, 数4称为对应于的特征值. 对于一般的阶矩阵， 引入如下概念： 定义1。 1 设是阶矩阵, 如果存在数和维非零向量使得 则称数为矩阵的特征值， 是的属于(或对应于）特征值的特征向量。 根据定义， 阶矩阵的特征值， 就是使齐次线性方程组 有非零解的的值, 即满足方程的都是矩阵的特征值。 在复数域上次方程有个根（重根按重数计算）， 因此阶矩阵在复数域上有个特征值。 方阵的对应于特征值的特征向量就是齐次线性方程组的非零解。 定义1。 2 设阶矩阵则 称为矩阵的特征多项式, 称为的特征矩阵, 称为的特征方程. 根据上述定义, 求阶的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1)由求出矩阵的全部特征值其中的重根， 对应的个数值相同的特征值。 （2）对于的每一个特征值求解齐次线性方程组设它的一个基础解系为（其中, 则的属于的全部特征向量为其中是不全为零的任意实数。 例1。 1 求的特征值和特征向量. 解 的特征多项式为 故的特征值为 对特征值， 解方程， 由求得基础解系为故是对应于的全部特征值向量对特征值, 解方程, 由求得基础解系所以是对应于的全部特征向量例1。 2 设， 求的特征值和特征向量。 解 的特征多项式为， 所以的特征值为对特征值, 解方程， 即得其基础解系为故对应于的全部特征向量为不同时为。 对特征值， 解方程， 即得其基础解系为故对应于的全部特征向量为. 例1。 3 求阶数量矩阵的特征值和特征向量. 解 故的特征值为把代入得这个方程组的系数矩阵是零矩阵， 所以任意个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组作为基础解系， 于是的全部特征向量为（不全为) . 注 特征方程与特征方程有相同的特征根, 的对应于特征值的特征向量是齐次线性方程组的非零解， 也是的非零解. 因此， 在实际计算特征值和特征向量时， 以上两种形式均可采用。 二、特征值与特征向量的性质 性质1. 1 设为阶矩阵, 则与有相同的特征值. 证明 因为所以与有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同. 性质1. 2 设阶方阵的个特征值为则（1） (2） 其中的主对角线的元素之和称为矩阵的迹, 记为证明 由行列式的定义可知其中一项是主对角线个元素的乘积, 而省略的各项至多含有个主对角线上的元素， 因此特征多项式中含与的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然的系数为1， 的系数为又因为, 在特征多项式中令可得其常数项为故 另一方面， 由于是的个特征值， 所以在上述两式中, 比较的系数和常数项, 可得和 推论 阶方阵可逆的充要条件是的个特征值都不为零. 例1。 4 设阶方阵满足等式， 证明的特征值为1或0。 证明 设为的特征值, 则存在非零向量， 使因此由题设知 即因为。 所以, 即或例1。 5 设是方阵的特征值, 为对应于特征值的特征向量, 证明 (1）是的特征值(为任意常数)； （2)对正整数是的特征值（为正整数）； （3)若A是可逆的， 则是的特征值. 证明 由题意, 对向量有（1） 因为 所以是的特征值. (2）由知是的特征值. （3）当可逆时， 由推论可知, 用左乘两边, 得即所以是的特征值。 用例1. 5的方法, 读者可自证：若是方阵的特征值， 是矩阵多项式, 即， 则矩阵有特征值 例1.6 设三阶方阵的三个特征值分别为2， 3， 7, 求行列式. 解 当是的特征值， 可知， (）为的特征值， 即有特征值， ， 所以由性质1。 2知 定理1。1 设是矩阵的个不同的特征值, 是的分别属于的特征向量, 则线性无关. 证明 用数学归纳法对特征向量个数进行归纳证明. 当时, 由于因此线性无关. 假设对个互异的特征值定理成立, 即线性无关. 对向量组， 设有数使 （4. 1） 两端左乘并利用条件得 （4. 2） 将（4。 1)(4。 2）， 得由归纳假设， 线性无关, 因此又从而 代入（4. 1)， 得 从而线性无关. 推论 如果阶方阵有个不同的特征值, 则有个线性无关的特征向量. 类似地可以证明：定理1。2 设是矩阵的个互不相同的特征值， 是的属于特征值的线性无关的特征向量， 则向量组线性无关 定理1.3 设是阶方阵的一个重特征值, 则对应的线性无关的特征向量至多有个. 习题4。 11求矩阵的特征值与特征向量。 2。 已知方阵满足试确定的特征值的可能取值。 3。 设是三阶矩阵， 它的特征值是-1， 0， 4, 又知求的特征值. 4. 设矩阵（1)求的特征值. （2）求矩阵的特征值. 5. 设矩阵有三个线性无关的特征向量， 求应满足的条件。 4。2 相似矩阵 在矩阵的运算中， 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个阶矩阵是否可化为对角矩阵， 且保持矩阵的一些重要性质不变， 本节将讨论这个问题. 一、相似矩阵的概念与性质定义2。 1 设和都是阶方阵， 如果存在可逆矩阵使则称是的相似矩阵， 或说矩阵与相似, 记为可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵. 对进行的运算称为对进行相似变换。 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性： (2)对称性：若则 （3）传递性：若则即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性 定理2。 1 若阶矩阵与相似, 则 （1） （2）（3)和的特征多项式相同, 即从而A和B的特征值相同；（4）（为正整数)；(5） (可逆时)。 证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为 故存在可逆矩阵使于是 从而A和B的特征值相同。 推论 若阶矩阵与对角矩阵相似, 则是的个特征值。 从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质， 若一个矩阵与一个简单矩阵相似， 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质， 最简单的矩阵就是对角阵。 下面来研究矩阵满足什么条件与对角阵相似。 定义2. 2 对阶方阵若存在可逆矩阵使则称相似于对角矩阵， 也称矩阵可相似对角化. 如果方阵能够对角化， 则可简化许多运算过程。 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的。 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件. 二、矩阵可对角化的条件定理2. 2 阶矩阵与对角矩阵相似（可对角化）的充要条件是有个线性无关的特征向量证明 必要性设可对角化， 即存在可逆矩阵和阶对角阵使 设由得, 即因此, . 由于可逆, 所以故分别是属于特征值的特征向量, 且由可逆知线性无关。 充分性设为的分别属于特征值为的个线性无关的特征向量， 则有取因为线性无关， 所以可逆, 于是有即因此可对角化. 注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵不具有唯一性 推论 若阶矩阵有个互异的特征值, 则必相似于对角矩阵 定理2. 3 阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是的每一个重特征值对应个线性无关的特征向量, 即这里是的所有互异的特征值。 定理2。2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下： (1）求出矩阵全部互不相等的特征值它们的重数依次为。 (2） 求的特征向量. 对每个特征值, 求出齐次线性方程组的一个基础解系， 设为 （3）判断是否可对角化. 若的重特征值有个线性无关的特征向量, 则可对角化, 否则不可对角化. 例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵， 若能， 则求出相似变换矩阵 （1）, (2）解 (1）的特征多项式为故的特征值其中为二重特征值， 又故只对应一个线性无关的特征向量， 故矩阵不能相似于对角阵 （2）的特征多项式为故的特征值其中为的二重特征值， 又 当时所以故对应2个线性无关的特征向量, 即可对角化, 且对应的线性无关特征向量为由于为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由， 得线性无关的特征向量取 于是 习题4. 21. 设方阵与相似, 求2. 设都是阶方阵， 且, 证明与相似3。 判断下列矩阵能否相似于对角阵， 若能, 则求出相似变换矩阵 （1）； （2)4。 当为何值时, 方阵可相似对角化？4.3 向量的内积与正交矩阵 本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念， 并介绍它们的性质。 若不特别说明， 本章讨论的向量都是实数域上的。 一、向量的内积定义3。 1 设维向量令 称为向量与的内积。 由于内积是两个向量间的一种运算， 其结果是一个实数。 内积可用矩阵记号可表示为容易证明内积满足下列运算性质（其中为维向量, 为实数）：(1) (2） （3） (4) 当时， 当时, 定义3. 2 令 称为维向量的长度（或范数)当时， 称为单位向量对中的任一非零向量， 向量是一个单位向量, 因为用非零向量的长度去除向量, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量单位化. 向量的长度具有下述性质：（1） 非负性 且（2） 齐次性 (3) 三角不等式 另外， 可以证明向量的内积满足柯西施瓦兹(Chauchy-Schwarz）不等式 这里不予证明。 由此成立 （当时）， 于是, 可定义向量的夹角 定义3. 3 当时， 称 为维向量与的夹角定义3. 4 当向量与满足时， 则称向量与正交显然, 若则与任何向量都正交定义3. 5 若是一个非零向量组, 且中的向量两两正交， 则称该向量组为正交向量组例如, 中单位向量组是正交向量组. 定理3. 1 若维向量是一组两两正交的非零向量， 则该向量组线性无关证明 设有使得用与上式两端作内积， 得即由于与均正交, 即所以有， 再有得所以， 线性无关例3. 1 已知3维向量空间中两个向量正交， 试求一个非零向量, 使两两正交解 记 则应满足齐次方程， 即由得从而有基础解系则取即为所求定义3. 6 设维向量是向量空间的一个基， 如果两两正交, 且都是单位向量， 则称是的一个规范正交基（或标准正交基） 例如 维向量是的一个规范正交基再如 就是的一个规范正交基若是的一个规范正交基, 那么中任一向量都能由线性表示， 设表示式为为求出其系数, 可用与上式两端作内积, 有 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式利用这个公式能方便的求出向量的坐标， 因此， 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基设是向量空间的一个基， 要求的一个规范正交基。 也就是要找一组两两正交的单位向量使与等价。 该过程称为把规范正交化我们可以用以下的办法把规范正交化, 具体的步骤为：（1) 正交化：取容易验证两两正交， 且与等价（2） 单位化：取则就是向量空间的一个规范正交基上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特正交化过程它不仅满足与等价， 还满足：对任何, 向量组与等价例3。 2 设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化解 正交化：取再单位化, 取则即为所求 二、正交矩阵定义3. 7如果阶实矩阵满足（即）， 那么， 称为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, 阶单位矩阵是正交矩阵. 由正交矩阵的定义， 显然有下面的的性质：（1) 如果为正交矩阵， 则；（2） 如果为正交矩阵， 则也是正交矩阵；（3） 如果为同阶正交矩阵， 则它们的乘积也是正交矩阵（4) 正交矩阵的行列式等于1或1定理3。 2 阶矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行)向量组是单位正交向量组证明 设是实矩阵， 它的列向量组为， 则与可表示为于是因此， 的充分必要条件是即的列向量组是单位正交向量组又正交时， 也正交, 因此是正交矩阵的充分必要条件是的行向量组是单位正交向量组例3。 3 判断下列矩阵是否为正交阵(1) ； （2) ；(3） ； (4) ;（5) ； （6） 解 （1)、（2)、 (3)、 (4）都是正交矩阵因为它们的列向量组都是单位正交向量组（5)、(6）都不是正交矩阵因为它们的第一列都不是单位向量 定义3。 6 若为正交矩阵， 则线性变换称为正交变换. 设为正交变换， 则有这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性. 习题4. 3 1. 已知求与的夹角 2. 设求与等价的标准正交向量组。 3. 设求使为正交阵。 4。 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化。 本节专门讨论一种特殊的方阵-实对称矩阵,这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵。 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 设是实对称矩阵的特征值, 为对应的特征向量。 即以表示的共轭复数, 表示的共轭复向量，则于是有及 以上两式相减， 得 因为所以 即为实数。 对实对称矩阵， 因其特征值为实数， 故方程组是实系数方程组, 由知它必有实的基础解系， 所以的特征向量可以取实向量。 定理4.2 设是实对称矩阵的两个特征值， 依次是它们对应的特征向量。 若则与 正交. 证明 故因对称, 故 于是 因故即与正交。 定理4.3设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根, 则矩阵的秩从而特征值恰有个线性无关的特征向量. 证明 略定理4。4 设为阶对称矩阵, 则必有正交矩阵, 使, 其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明 设的互不相等的特征值为它们的重数依次为 于是. 根据定理4. 1及定理4. 3知， 对应特征值恰有个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得个两两正交的单位特征向量， 由知这样的特征向量恰有个。 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵并有其中对角矩阵的对角元素含个恰是的个特征值. 根据定理4. 3及定理4。 4， 我们有下述把对称阵对角化的步骤： （1)求出的全部互不相等的特征值它们的重数依次为 （2）对每个重特征值, 求方程的基础解系， 得个线性无关的特征向量。 再把它们正交化、单位化， 得个两两正交的单位特征向量。 因故总共可得个两两正交的单位特征向量. （3）把这个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵便有 注 中对角元的排列次序应与中列向量的排列次序相对应。 例4. 1 设求一正交矩阵使得 解 的特征多项式为故的特征值为对, 由解得基础解系为单位化得对， 由解得基础解系为单位化得对， 由解得基础解系为单位化得 将构成正交矩阵 则 例4. 2设, 求一正交矩阵使。 解 的特征多项式为故的特征值为对， 解齐次线性方程组求得基础解系为：经过施密特正交化， 再单位化得 对， 解齐次线性方程组求得基础解系为单位化得取则 例4. 3 设, 求 解 因对称， 故可对角化， 即有可逆矩阵及对角阵， 使于是从而 由 得的特征值为于是 对应 由解得基础解系为； 对应 由解得基础解系为。 并有， 再求出于是. 习题4。 41。 试求一个正交矩阵, 将下列对称矩阵化为对角矩阵. (1) ； (2） 。 2。 设为三阶实对称矩阵, 特征值是而和的特征向量分别是求矩阵。 3。 设三阶对称矩阵的特征值为特征值6 对应的特征向量为求。 4。 设求4。5应用举例例5. 1 社会调查表明， 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有改为从事非农工作， 在非农从业人员中每年有改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的和， 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为 如果引入2 阶矩阵其中表示每年非农从业人员中有改为从农工作。 表示每年从农人员中有改为从事非农工作. 于是有 再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比如向量表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的和那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出于是， 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为 年后该地劳动力的从业情况可由计算而得。 矩阵的特征多项式得的特征值所以能与对角矩阵相似。 求特征值对应的特征向量为：求特征值对应的特征向量为:取矩阵则为可逆矩阵， 且使得因为所以 类似的, 第年底该地劳动力的从业情况为 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的 和 . 例5. 2 在1202年， 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖， 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子， 假设兔子只繁殖， 没有死亡， 那么问每月月初会有多少兔子?解 假设这对兔子出生时记为零月份， 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初， 这对兔子还未开始繁殖， 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初， 它们又生了一对兔子， 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖， 故此时共有3对， , 依次下去， 有1， 1, 2， 3， 5， 8， 13, 21， 34, 55， ， 这一数列称为裴波那契数列。 设第月初有对兔子， 则有这是一个递推公式， 显然 将上式用矩阵表示， 有记那么且 易知的特征值为属于的特征向量为属于的特征向量为令那么而于是所以这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式。 习题四1。 求与正交的单位向量2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) ; （2) 3。 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由. (1) （2）4。 设为同阶正交矩阵， 则它们的乘积也是正交矩阵. 5. 求下列矩阵的特征值与特征向量(1) （2)（3） （4）6. 设为阶方阵, 可逆， 证明与有相同的特征值7。 设是三阶矩阵, 它的特征值是1, 2， 1, 求. 8。 设和是矩阵的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为和, 证明不是的特征向量. 9. 设已知的伴随矩阵特征值所对应的特征向量, 求和的值。 10。 已知是矩阵的一个特征向量. （1） 求参数及特征向量所对应的特征值；(2) 问能不能相似对角化？并说明理由。 11。 设求12. 设阶方阵的秩为（1）求的特征值;（2）证明的秩为（3)证明可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵。 13. 设为3阶矩阵， 为矩阵的分别属于特征值 -1和1 的特征向量， 满足 , 证明 线性无关。