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二次根式的运算及化简求值
一、 最简二次根式
二、 同类二次根式
三、 二次根式的运算
题型一：加减运算
题型二：乘除运算
题型三：混合运算
题型四：巧算
四、 二次根式的化简求值
五、 二次根式的应用
六、 比较大小

一、 最简二次根式
1. 【易】（广州市育才中学2011学年第一学期）下列根式中不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

2. 【易】（2013年上海市中考数学试卷）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B

3. 【易】（北京市西城区南区2012学年度第一学期期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

4. 【易】（北大附中2012学年度第二学期期中考试初二年级）把化成最简二次根式，结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

5. 【易】（天津市河西区2010学年度第二学期八年级期末阶段性质量调查数学试卷）下列根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

6. 【易】（2010广州天河期中考试）下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

7. 【易】（2010年北京五中期中）下列各式不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

8. 【易】（2010年北京北师大期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

9. 【易】（2010年北京怀柔区期末）下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

10. 【易】（北京市朝阳区2013年初二期末统考数学）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

11. 【易】（2010年北京三十五中期中）在二次根式、、、中，是最简二次根式的是________．
【答案】

12. 【中】二次根式：中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C

13. 【中】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（　　）
，，，，，，，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B

二、 同类二次根式
14. 【易】（2013年广西崇左市中考数学试卷）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B

15. 【易】（清华附中2013学年初二第二学期期末数学试卷）与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

16. 【易】（2010年北京铁二月考）下列二次根式中，与能合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

17. 【易】（2010淄博）与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

18. 【中】（天津耀华中学2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
下面四组二次根式：⑴和；⑵和；⑶和；⑷和，其中是同类二次根式的是________．
【答案】⑵⑷

19. 【易】（2010年北京宣武区期末）若最简二次根式和是同类二次根式，则________．
【答案】6

20. 【易】（2012学年四川省巴中市通江县铁佛中学八年级下第一次月考数学试卷）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么b=__________.
【答案】5

21. 【易】（2010乐山）已知二次根式与是同类二次根式，则的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

22. 【中】（2013学年四川省遂宁市射洪中学外国语实验学校九年级上期中数学试卷）
在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B

23. 【中】已知最简根式与是同类二次根式，则满足条件的，的值（　　）
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组
【答案】B
根据同类二次根式定义可知：，解之得．

24. 【中】若与最简二次根式为同类二次根式，其中，为整数，则________，________．
【解析】由题意可知，，故，又，．
【答案】0；2．

25. 【中】如果最简根式与是同类二次根式，求的值.
【解析】根据题意可得，解得，解得．
【答案】1

26. 【中】已知方程，则此方程的正整数解的组数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C

27. 【中】（2010年黄冈期末）在，，，…，这个式子中，与是同类二次根式的共有多少个？
【解析】，所以，，…，与同类，共个．
【答案】19

三、 二次根式的运算

题型一：加减运算
28. 【易】（2012广西贵港）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

29. 【易】（2013年新疆、生产建设兵团中考数学试卷）下列各式计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A

30. 【易】（2013年江苏省泰州市中考数学试卷）下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C

31. 【易】（山东淄博市中考）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D

32. 【易】（2013年山东省临沂市中考数学试卷）计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B

33. 【易】（2013年湖北省荆州市中考数学试卷）计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B

34. 【易】（2011年广西区北海市中考数学试题）计算：________
【答案】

35. 【易】（2011年广雅实验初三上期中）计算：________
【答案】

36. 【易】（天津市初中毕业生学业考试试卷）化简：________．
【答案】

37. 【易】（2012贵州遵义中考）计算：＝________．
【答案】

38. 【易】（顺义初二上期末）计算：=________．
【答案】

39. 【易】（杭州翠苑中学初一2011第一学期期中）计算
【答案】

40. 【易】（河南省实验中学2009-2010学年上期期中试卷）
【答案】

41. 【易】（2012南外初二期末）计算：
【答案】

42. 【易】（泰安市高中段学校招生考试）化简：的结果为________
【答案】

43. 【易】（深中初二章测）计算：________
【答案】

44. 【易】（天津市初中毕业生学业考试）化简：
【答案】

45. 【易】（北京161中期中）计算：
【答案】

46. 【易】（2010年北京北师大期中）计算：
【答案】

47. 【易】（北京五十中期中）
【答案】

48. 【易】（2010年北京西四期中）
【答案】

49. 【易】（2010年北京怀柔区期末）计算：
【答案】

50. 【易】（2011-2012北京171初一第二学期期中）
【答案】

51. 【易】（2011-2012北京171初一第二学期期中）
【答案】

52. 【易】（2010-2011学年度北京市第三十五中学第二学期期中初二）计算：
【答案】

53. 【易】（朝阳区2013学年度七年级第二学期期末数学检测）化简：___________.
【答案】 ．

54. 【易】（西城外国语初二期中）计算：
【答案】原式=
=
=

55. 【中】（2011深圳中学初二上期末）计算：
【答案】

56. 【中】（北方交大附中2011-2012学年第二学期初二）
【答案】

57. 【中】计算
【答案】

58. 【中】
【答案】

59. 【中】（2005北京165中初一下期中）
【答案】

60. 【中】（2011-2012北京171初一第二学期期中）计算：
【答案】

61. 【中】（天津市河西区2010-2011学年度第一学期八年级期末质量调查数学试卷）计算
【答案】

62. 【中】（深圳高级中学初一下期末）计算
【答案】
＝
＝

63. 【中】（2010年北京1区期中竞赛）
【答案】

64. 【中】（南昌市初中毕业考试）计算:________．
【答案】2

65. 【中】（中考沈阳市数学试题）计算：
【答案】

66. 【中】（广东深圳外国语初二上）
【答案】
．
67. 【中】（东城区2013学年度第二学期期末初二数学教学梳一检测）计算：

【答案】0

68. 【中】（2010广州天河期中考试）计算：
【答案】

69. 【中】（2010年北京十三中期中）计算：
【答案】2

70. 【中】（2011年广州二中初三上期中）计算：
【答案】

71. 【中】（广州市育才中学2011学年第一学期）计算：
【答案】

题型二：乘除运算
72. 【易】（2011年广西区钦州市中考数学试题）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B

73. 【易】（2011年广雅实验初三上期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

74. 【易】（2010年北京通州区期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C

75. 【易】（房山区2012学年度第一学期终结性检测试卷）计算：
⑴（）=________；
⑵=________；
⑶________．
【答案】⑴；⑵4；⑶2．

76. 【易】（2011学年度北京市第三十五中学第二学期期中初二）计算：
【答案】

77. 【易】（2010年北京五中期中）
【答案】

78. 【易】（2010年北京十三中期中）计算：
【答案】3

79. 【易】计算：
【答案】

80. 【易】（西城外国语初二期中）计算：
【答案】原式=

81. 【易】（2012南外初二期末）计算：
【答案】

82. 【中】（沈阳）计算
【答案】

题型三：混合运算
83. 【易】（清华附中2013学年初二第二学期期末数学试卷）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

84. 【易】（衡阳市初中毕业学业考试试卷）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B

85. 【易】下列算式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

86. 【易】（北京市第一六一中学2010-2011学年度初二期中检测）下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

87. 【易】（2012山东省德州一模）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

88. 【易】（天津市2011年河北区初中毕业生学业考试模拟试卷（三））下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

89. 【易】（天津市2011年南开区初中毕业生学业水平质量调查（二））下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

90. 【易】（2012湖北宜昌中考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A

91. 【易】（2011年四川省广安市中考数学试卷）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

92. 【易】下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D

93. 【易】（2010广州天河期中考试）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

94. 【易】（北京五十中期中）
【答案】

95. 【易】（2010年北京燕山区期末）
【答案】

96. 【易】（2010广州天河期中考试）计算：
【答案】

97. 【易】计算：=________．
【答案】

98. 【易】（广东深圳外国语初二上）________
【答案】

99. 【易】（2010年北京燕山区期末）
【答案】1

100. 【易】（2011-2012上期郑州实验外国语中学第一次月考）
【答案】

101. 【易】
【答案】

102. 【易】计算：
【答案】

103. 【易】（2012南外初二期末）计算：
【答案】

104. 【易】
【答案】

105. 【易】
【答案】

106. 【易】计算：=________．
【答案】

107. 【易】（北京市东城区南片2013学年下学期七年级期末数学考试）
化简_____．
【答案】

108. 【易】（2010年北京北师大期中）
【答案】2

109. 【易】计算
⑴ ⑵
⑶； ⑷
【答案】⑴
⑵
⑶
⑷

110. 【易】（深中初二章测）
【答案】

111. 【易】（沈阳）
【答案】

112. 【易】
【答案】

113. 【易】
【答案】

114. 【易】（河南省实验中学2009-2010学年上期期中试卷）
【答案】

115. 【易】（2012广西柳州中考）计算：
【答案】

116. 【易】
【答案】

117. 【易】（新疆乌鲁木齐市高中招生考试数学试卷）
【答案】

118. 【易】（朝阳区2013学年度七年级第二学期期末数学检测）计算：．
【答案】

119. 【易】（2012初二深圳罗湖统考）化简：
【答案】

120. 【易】（2010年北京顺义区期末）计算：
【答案】2

121. 【易】（湖北省宜昌市初中毕业生学业考试）化简：
【答案】2

122. 【中】（广州市育才中学2011学年第一学期）计算：
【答案】

123. 【中】（2011深圳中学初二上期末）计算：
【答案】

124. 【中】（沈阳）
【答案】

125. 【易】计算：
【答案】

126. 【易】计算：
⑴
⑵
【答案】⑴
⑵

127. 【易】（北京五十中期中）
【答案】6

128. 【易】（2010年北京四中期中）计算：
【答案】

129. 【易】（铁岭市初中毕业生学业考试）计算：．
【答案】

130. 【易】（2010年北京怀柔区期末）计算：
【答案】

131. 【易】（2010年北京通州区期末）（九中分校初一下期中）计算：
【答案】

132. 【易】（2011-2012北京171初一第二学期期中）计算：
【答案】

133. 【易】（2010年门头沟区初三年级第一次统一练习）计算：
【答案】

134. 【易】（2010年北京1区期中竞赛）化简：
【答案】

135. 【易】（2010年北京宣武区期末）
【答案】

136. 【易】（清华附中2013学年初二第二学期期末数学试卷）
计算：
【答案】0

137. 【易】计算：
【答案】

138. 【易】（2010实验初二上期中）
【答案】

139. 【易】（2011年呼和浩特市中考试卷）
【答案】

140. 【易】（东城区2013学年度第二学期期末初二数学教学梳一检测）
；
【答案】

141. 【中】（2011年广雅实验初三上期中）计算：
【答案】

142. 【中】（北京一零一中2013学年度第二学期期末初二数学考试）计算：
【答案】
143. 【中】（2010年北京五中期中）
【答案】

144. 【中】（北京市西城区2013学年度第二学期期末试卷八年级数学）计算：
．
【答案】

145. 【中】（河南省实验中学2013届八年级上期期末数学模拟试题一）
⑴
⑵
【答案】⑴
⑵

146. 【中】计算题：
【答案】

147. 【中】（2010年北京西四期中）计算：
【答案】5

148. 【中】（2010年北京五中期中）
【答案】
=
=

149. 【中】（2010年北京四中期中）计算：．
【答案】

150. 【中】（2011年广东省初中毕业生学业考试）下列式子运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D

151. 【中】（2011年内蒙古包头市中考数学试题）化简二次根式：________．
【答案】

152. 【中】计算：
【答案】

153. 【中】（2010年北京十一校期中）
【答案】

154. 【中】（2010年北京汇文期中）计算：
【答案】

155. 【中】（北方交大附中2011-2012学年第二学期初二）
【答案】

156. 【中】（2010年第22届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试）化简：=________．
【解析】，故原式
【答案】

157. 【中】（2012年全国初中数学竞赛）如果，那么的值为________。
【答案】

158. 【难】（天津市耀华中学初二年级期末阶段性形成检测数学试卷）化简：
【答案】

题型四：巧算

159. 【易】________
【答案】

160. 【易】________
【答案】

161. 【易】（东城区2013学年度第二学期期末初二数学教学梳一检测）
计算：___________
【答案】

162. 【易】（2010年北京燕山区期末）
【答案】

163. 【易】（深圳高级中学初一下期末）
________．
【答案】

164. 【中】（2012南京高淳县期中检测）计算________．
【解析】

【答案】

165. 【中】（天津市河西区2009-2010学年度第二学期八年级期末阶段性质量调查数学试卷）
计算：
【答案】解：原式=

166. 【中】（2010年北京北师大期中）计算：
【答案】

167. 【中】（沈阳）
【答案】

168. 【中】（北京西城初二下期末）计算：
【答案】解：

169. 【中】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
计算：⑴ ⑵
【答案】⑴
⑵

170. 【中】（沈阳）计算
【答案】

171. 【中】（沈阳）
【答案】

172. 【中】（沈阳）计算的值是（　　）
A．1 B． C．2 D
【答案】D

173. 【中】（沈阳）计算
【答案】

174. 【中】（2011深圳中学初二上期末）
计算________．
【答案】

175. 【中】（北京东城六校期中）观察下列各式：
，，
，，…
根据上面的四个式子写出第五个式子________，
根据上面的变化规律计算：
________．
【答案】；100

176. 【中】（湖南省邵阳市中考）阅读下列材料，然后回答问题。
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
；（四）
⑴请用不同的方法化简
①参照（三）式得＝________；
②参照（四）式得＝________。
⑵化简：。
【答案】⑴①
②
⑵

177. 【中】（2011年北京市中学生数学竞赛初二年级）化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B

178. 【中】（沈阳）化简：．
【解析】
【答案】

179. 【难】（2000年山西省太原市初中数学竞赛试卷）
已知，．则等于（　　）
A．2000 B．2001 C． D．
【解析】∵，，
∴，

∴。
【答案】D

180. 【难】（第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试）计算：，结果等于（　　）
A．58 B． C． D．
【解析】，，
∴。

【答案】B

181. 【难】（2005年山西省太原市初中数学竞赛试卷）
化简根式的结果是（　　）
A．2 B． C． D．
【解析】

【答案】A

四、 二次根式的化简求值

182. 【易】（2010年北京四中期中）已知，求的值．
【答案】当时，
原式

．

183. 【易】（2010广州天河期中考试）已知，，求的值
【答案】

184. 【易】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
已知：，求：的值．
【答案】∵，
∴，∴，∴

185. 【易】（沈阳）已知，，那么的值为________．
【答案】10

186. 【易】（沈阳）化简求值：已知，，
求⑴；⑵
【答案】，
∴，

187. 【易】（沈阳）求值，已知，，求的值．
【答案】，
∴

188. 【易】（2010年北京三十五中期中）已知：，求出代数式的值．
【答案】289

189. 【易】（2010年北京十一校期中）已知，，求
【答案】17

190. 【易】（沈阳）已知，，则________．
【答案】194

191. 【易】（2010年北京汇文期中）已知：，，求的值．
【答案】5

192. 【易】（2010兰生复旦期中）已知，，则
【答案】

193. 【易】（沈阳）若，则的平方根是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B

194. 【易】（2010兰生复旦期中）若，则
【答案】或

195. 【易】（2012年希望杯决赛初二年级试题）已知，则的值是________．
【答案】-2

196. 【易】（沈阳）已知，，求的值．
【答案】

197. 【易】（2010年北京铁二月考）已知，求的值
【答案】

198. 【易】（沈阳），则________．
【答案】

199. 【易】（沈阳）已知，那么（　　）
A． B．21
C．13 D．13或21或31
【答案】C

200. 【易】已知：，，求：的值．
【答案】

201. 【易】已知，，求．
【答案】

202. 【中】已知，，求下列式子的值，

【答案】原式=
把，代入得=

203. 【中】（全国初中数学联赛题）为有理数，且满足等式，则的值为（　　）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】 B 由条件得

204. 【中】（天津耀华中学2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）已知，且，则的值为________．
【解析】由得：，，
由得：，
∴，又，得。
【答案】2

205. 【中】（沈阳）已知、满足，则________．
【解析】，∴，∴。
【答案】3

206. 【中】（沈阳）已知，求的值是多少？
【解析】，∴，∴，
∴

【答案】3

207. 【中】若实数使等式成立，则________．
【答案】

208. 【中】（全国初中数学联赛题）（1）设实数满足，求的值.（2）已知实数满足，求
的值.
【答案】（1）①，
同理②，①②得，即
（2）由①得，代入原式.

209. 【中】（浙江省台州市中考题）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：…①（其中为三角形的三边长，为面积）.而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”：
…②（其中）.
（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算核三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试.
【答案】（1）
（2）

故

210. 【难】（2011南京三中期末考试）已知，均为正数，且，求的最小值．
【解析】构造图形如下：

其中三点共线，，，
则，∴。
【答案】

211. 【难】（沈阳）若，那么的值是多少．
【解析】由得
，
∴，
∴，
∴
【答案】0

212. 【难】（第21届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试）设，其中是正实数，并且，则（　　）
A． B． C． D．
【解析】∵是正实数，，
∴，∴，
∴
【答案】B

213. 【难】（2011年山东省中学生数学竞赛初二年级）观察下列式子：

请回答下列问题：
⑴观察上面的解题过程，请直接写出式子________；
⑵利用上面所提供的解法，请化简
①的值．
②设，求不超过的最大整数．
【答案】⑴
⑵①

②

不超过S的最大整数为1999．

五、 二次根式的应用

214. 【易】（余姚中学保送生选拔卷）某商铺专营，两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润与投入资金（万元）的经验公式分别是，．如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为________万元．
【答案】

215. 【易】（北京人大附期中）观察式子：，，，，…，则第10个式子是________．
【答案】

216. 【易】小明做数学题时，发现，，，，……按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________．
【答案】，

217. 【中】（沈阳）满足的所有整数的值的和为________．
【解析】由题意：，∴，
∴原方程的整数解只可能是，代入均满足原方程。
【答案】5

六、 比较大小

218. 【易】（北京十三中期中）比较大小：________，________．
【答案】，

219. 【易】（人大附中统一练习2010年秋初二上练习）
用不等号填空：________；________．
【答案】，

220. 【易】（房山区2011-2012学年度第一学期终结性检测试卷）
比较大小：________．
【答案】

221. 【易】（2010年北京1区期中竞赛）比较大小：________
【答案】

222. 【易】（2010年北京四中期中）比较大小：________．
【答案】

223. 【易】（天津市和平区2011届九年级模拟试题四数学学科试卷）
比较大小：________．
【答案】

224. 【易】（沈阳）比较大小：________；________（用“”或“”填空）．
【答案】，

225. 【易】（沈阳）比较大小：________．
【答案】

226. 【易】（天津耀华中学2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）
比较大小：⑴________．⑵________．
【答案】，

227. 【中】（凉山自治州中考题）已知为有理数，分别表示的整数部分与小数部分，且，则_______.
【答案】2.5
，代入条件等式得，得且

228. 【中】（2011南京三中期末考试）若，，，，则、、的大小关系是________．
【答案】

229. 【中】（2012年全国初中数学联赛）已知，，，那么的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C

230. 【中】（北京西城区期末）下列判断正确的是（　　）
A．2 B．23
C．12 D．45
【答案】A

231. 【中】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）
比较，，的大小，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A

232. 【中】（天津耀华嘉诚2009-2010学年度第一学期形成性检测初二数学）三个实数之间的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C

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