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图形的平移旋转与对称变换
一、 知识点总结
（一）平移
关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．
1、平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．
2、简单作图
平移的作图主要关注要点：1．方向 2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．
（二）、旋转
1、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．
2、旋转的规律
经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
3、简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．
（三）、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、性质
（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴。
（四）、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
（五）、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
（六）、视图与投影
1、试图
①主视图 从正面看到的图
②左视图 从左面看到的图
③俯视图 从上面看到的图
注：长对正,高平齐,宽相等.
2、虚实
在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
3、①物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
②太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影.
③在同一时刻,物体高度与影子长度成比例
④物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
⑤探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称为中心投影.
⑥皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.
⑦像眼睛的位置称为视点.
⑧由视点出发的线称为视线.
⑨两条视线的夹角称为视角.
⑩看不到的地方称为盲区.
二、相关题型
例1、如下图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF，找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形.

下面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质
分析：因为△CDF是由△ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找出平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形状和大小”得到.
解：如图，点A、B、E的对应点分别为点C、D、F，因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.
平移不改变图表的形状和大小，所以：
△ABE≌△CDF.
例2、钟表的分针匀速旋转一周需要60分.
(1)指出它的旋转中心；
(2)经过20分，分针旋转了多少度？
分析：经演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出.
解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.
(2)分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为×20= 120°.
例3、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.
假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角. △DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.
［师］通过分析知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来，要注意把痕迹保留下来.
解：(1)连接OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.
(4)连接EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.

例4. 在五边形ABCDE中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.
求证：AD平分∠CDE.

分析：要证：AD平分∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F为一直线，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得.
结果：如图，连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，所以AB与AE重合.
因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D、E、F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.
在△ADC与△ADF中
DF=DE+EF=DE+BC=CD.
AF=AC,AD=AD
所以,△ADC≌△ADF(SSS)
因此，∠ADC=∠ADF
即：AD平分∠CDE.

例5、如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；，
（3）将△A2B2C2平移得到△ A3B3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3
，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出△ A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标。

【答案】
（1）C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)
例6、将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形的纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF（如图2），证明：四边形AEDF是菱形。

【答案】证明：∵三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，
∴∠BAD＝∠CAD
又∵点A与点D重合，折痕为EF，设EF和AD交点为M，
∴AD⊥EF，MD=MA
∴∠AME＝∠AMF＝90°
在△AEM和△AFM中，∠BAD＝∠CAD，∠AME＝∠AMF＝90°
AM=AM，
∴△AEM≌△AFM
∴ ME=MF
又∵AD⊥EF，MD=MA
∴四边形AEDF是菱形。
例7、在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．
（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图②，当=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
C1
A1
F
E
D
C
B
A
图①
C1
A1
F
E
D
C
B
A
图②

【答案】(1)；提示证明
（2）①菱形（证明略）
（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1
在中，
由（2）知AD=AB=2 ∴
例8如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【答案】猜想：BM=FN

证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,
∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°
∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得
∴FO=DO, ∠F=∠BDA
∴OB=OF ∠OBM=∠OFN
在 △OMB和△ONF中
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN

平移旋转与对称
一、填空题（每小题3分，共24分）
1.图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________.
2.经过平移，对应点所连的线段____________.
3.经过旋转，对应点到旋转中心的距离___________.
4.△ABC平移到△A′B′C′，那么S△ABC______S△A′B′C′.
5.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少______度，能够与本身重合.
6.甲图向上平移2个单位得到乙图，乙图向左平移2个单位得到丙图，丙图向下平移2个单位得到丁图，那么丁图向______平移______个单位可以得到甲图.
7.边长为4 cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm.
8.9点30分，时钟的时针和分针的夹角是______.
二、解答题（9、10小题每小题5分，11~21小题每小题6分，共76分）
9.请画一个圆，画出圆的直径AB，分析直径AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？

10.作线段AB和CD，且AB和CD互相垂直平分，交点为O，AB=2CD.分别取OA、OB、OC、OD的中点A′、B′、
C′、D′，连结CA′、DA′、CB′、DB′、AC′、AD′、BC′、BD′得到一个四角星图案.将此四角星沿水平方向向右平移2厘米，作出平移前后的图形.

11.在下面的正方形中，以右上角顶点为旋转中心，按逆时针旋转一定角度后使之与原图形成轴对称.

12.过等边三角形的中心O向三边作垂线，将这个三角形分成三部分.这三部分之间可以看作是怎样移动相互得到的？你知道它们之间有怎样的等量关系吗？

13.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA.连结BC并延长到E，使CE=CB.连结DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，为什么？线段DE可以看作哪条线段平移或旋转得到.

14.画线段AB，在线段AB外取一点O，作出线段AB绕点O旋转180°后所得的线段 A′B′.请指出AB和A′B′的关系，并说明你的理由.

15.如图，四边形ABCD是平行四边形.
（1）图中哪些线段可以通过平移而得到；
（2）图中哪些三角形可以通过旋转而得到.

16.同学们用直尺和三角板画平行线，这种画平行线的方法利用了怎样的移动？由此我们得出了什么结论？

17.如图，△ABC通过平移得到△ECD，请指出图形中的等量关系.

18.请你指出△BDA通过怎样的移动得到△CAE.

19.如图，你能说明△ABC通过怎样的移动可以得到△BAD吗？

20.请你以“植树造林”为题，以等腰三角形为“基本图形”利用平移设计一组有意义的图案，完成后与同学进行交流.

21.由一个半圆（包含半圆所对的直径）和一个长方形组成一个“蘑菇”图形，将此图形作为“基本图形”经过两次平移后得到一组图案.这样的图案是否可作为公园中“凉亭”的标志呢？请你设计一下这个标志.

22、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt △ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－6，1），点B的坐标为（－3，1），点C的坐标为（－3，3）．
　　⑴将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出点A1的坐标．
⑵将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形
第13题图

23、、如图（十）将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕
（1）求证：△FGC≌△EBC；
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积．

图（十）

24、推理证明如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小.

单元测试参考答案
一、1.图形的形状、大小不变，只改变图形的位置
2.平行且相等 3.相等 4.等于 5.120 6.右 2 7.4π 8.105°
二、9.绕圆心旋转180°或以直线AB为对称轴翻折 10~11.略
12.旋转120°，它们是全等四边形，面积相等，对应线段、对应角相等
13.△ABC≌△DCE,AB=DE,线段DE可看作AB绕点O旋转180°得到
14.AB∥A′B′,且AB=A′B′,△AOB≌△A′OB′
15.(1)AB和DC，AD和BC （2）△AOB和△COD，△BOC和△DOA，△ABC和 △CDA，△ABD和△CDB
16.平移，平行公理：同位角相等两直线平行
17.AB=EC,AC=ED,BC=CD,∠A=∠E,∠B=∠ECD,∠ACB=∠D,∠A=∠ACE
18.△BDA先绕点A逆时针旋转，使DA和AB在一条直线上，然后再以过A点垂直AB的直线为对称轴作它的对称图形.（或将△BDA绕点A顺时针旋转∠CAB，再以AE为对称轴翻折）
19.先将△ABC沿直线AB向左平移，使点B与点A重合，然后再以过A点且垂直于AB的直线为对称轴翻折.
20~21.略 22、【答案】

　　　　　　A1（－1，1）
23、【答案】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠FEA
又∠CEF＝∠FEA ∴∠CEF＝∠CFE ∴EC=FC
在直角△FGC和直角△EBC 中，EC=FC BC＝AD＝GC ∴△FGC≌△EBC
（2）由（1）知，DF=GF=BE，所以四边形ECGF的面积＝四边形AEFD的面积＝=16
24、【答案】（1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABD≌△ADE.（3分）
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AC与AE是一组对应边，
∴∠CAE的旋转角，（4分）
∵AE=AC，∠AEC=75°，
∴∠ACE=∠AEC=75°， （5分）
∴∠CAE=180°—75°—75°=30°. （6分）

视图与投影练习题
一． 选择题：（每小题5分，共25分）
1．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是 （ ）
B

A
C

D

正面
2．在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为 （ ）
A、 16m B、 18m C、 20m D、 22m
3．小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子 （ ）
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
4．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 （ ）
A. 上午12时 B. 上午10时 C. 上午9时30分 D. 上午8时
5．当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。这是因为 （ ）
A 汽车开的很快 B 盲区减小 C 盲区增大 D 无法确定
二．填空题：（每小题5分，共25分）
A
E
D
C
B

6．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝ ；
7．将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影是 ；
8．举出生活中类似锥体的实物 ， 。（两个）；
9．如图，一几何体的三视图如右：
那么这个几何体是 ；
10．一个三棱锥的俯视图是 ； 主视图 左视图 俯视图
三．解答题：（每踢10分，共50分）
11．确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子；

12．画出下面实物的三视图：

13．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

A
B
太
阳
光
线
C
D
E
实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）

14．立体图形的三视图如下，请你画出它的立体图形：

15．已知，如图8，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.
（1）请你在图8中画出此时DE在阳光下的投影；
A
E
D
C
图8
B
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.

视图与投影练习题参考答案：
一．选择题：（每小题5分，共25分）
1．C； 2．C； 3．B； 4．D； 5．C；
二．填空题：（每小题5分，共25分）
6．米；
7．三角形或一条线段；
8．金字塔、四棱锥屋顶等；
9．空心圆柱；
10．；
11.

12．略；
13．解：实践一：由题意知 ∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=Rt∠
∴△CED∽△AEB
∴ ∴
∴AB≈5.2米
A
E
D
C
B
F
14．略；
15．解：（1）

（连接AC，过点D作DE//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）
（2）∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE.
∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF.

∴DE=10（m）.
中考题型
1、如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

【答案】
（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢ ………………（1分）
∴∠CAC ¢=∠BAB ¢
∴∠ACC ¢=∠ABB ¢ ……………………………………（3分）
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4分）
（2）解：当时，△ACE≌△FBE． …………………（5分）
在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，
∴ ………（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC¢+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE ……………………（8分）
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）
2、 如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
图1
图2
图3
（第23题）
图4
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．

【答案】
（1）① =
② ＞
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，
则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．
∵30°，∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，
∠ADM+∠CDK =60°．
∴∠ADM=∠GDM，
∵DM=DM，
∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．
∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．
（3）∠CDF=15°，．

3、如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点D的坐标为 (0，)，点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数；
(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；
(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标.

（图2）
（图1）

解：(1) 在Rt△AOD中，
∵tan∠DAO=，
∴ ∠DAB=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DCB=∠DAB=60°
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB
∴∠DGE=∠AFE
又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE
∴△DEG≌△AEF
∴DG=AF
∵AF=OF-OA=4-2=2
∴DG=2
∴点G的坐标为(2，)
(3)①∵CD∥AB
∴∠DGE=∠OFE
∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’
∴∠OFE=∠OF’E
∴∠DGE=∠OF’E
在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=AD=AE
又∵∠EAO=60°
∴∠EOA=60°， ∠AEO=60°
又∵∠EOF’=∠EOA=60°
∴∠EOF’=∠OEA
∴AD∥OF’
∴∠OF′E=∠DEH
∴∠DEH=∠DGE
又∵∠HDE=∠EDG
∴△DHE∽△DEG
②点F的坐标是F1(，0)，F2(，0).
对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.
过点E作EM⊥直线CD于点M，
M
∵CD∥AB
∴∠EDM=∠DAB=60°
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴ 即
当点在点的右侧时，设，
　　　　　　∴
解得：（舍）
　 ∵△DEG≌△AEF
∴AF=DG=
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为(，0)
当点在点的左侧时，设，
　　　　 ∴　
解得：（舍）
　 ∵△DEG≌△AEF
∴AF=DG=
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为(，0)
综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1(，0)，F2(，0).
A1
B1
C1
A
B
C
（图①）
4、如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．

A
B(A1)

C
B1
C1
图 ②
E
﹙1﹚ 将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．

A1

C1

C
A
B(B1)

图 ③
F
﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 ．
【答案】
（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．
∴ ∠3=∠A=∠1． ……………………………………………………………………1分
∴ BC1∥AC．
∴ 四边形ABC1C是平行四边形． ………………2分
A
B(A1)

C
B1
C1
图 ②
E
1
4
3
2
5
6
7
∴ AB∥CC1．
∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠B1C1C＝∠B1BC．……………………………4分
﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC． …………………………5分
理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．
A1

C1

C
A
B(B1)

图 ③
F
3
6
4
5
1
2
7
8
∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． ………………………6分
∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，
∴ ∠C1BC＝∠A1BA． …………………………7分
∵ ∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)．
∴ ∠4=∠A． …………………………………8分
∴ ∠4=∠2．
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠A1C1C=∠A1BC．……………………………………………………………………9分
﹙3﹚△C1FB，…………10分； △A1C1B，△ACB．…………11分﹙写对一个不得分﹚
5、如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1，的位置，连接AE1、CF1．
（1）求证：△AOE1≌△OCF1；
（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；
（2）存在，∵OE⊥OF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与OF垂直，又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线，又点C为⊙O外一点，过点C与⊙O相切的直线只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2，点切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴点E1的横坐标为2cos60°＝1，点E1的纵坐标为2sin60°＝，∴E1的坐标为（1，），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限，同理可求E2（1，－），∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，此时点E的坐标分别为E1（1， 或者E2（1，－）．
6、（1)操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.

(2)问题解决
保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求的值.
(3)类比探究
保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求的值.
【答案】（1）同意.连接EF，则∠EGF = ∠D=90°,EG = AE = ED,EF = EF,
∴Rt△EGF ≌ Rt△EDF. ∴GF = DF.
（2）由（1）知，GF = DF.设DF = x ，BC = y ，则有GF = x，AD = y.
∵DC = 2DF, ∴CF = x ,DC = AB = BG = 2x , ∴BF = BG + GF = 3x.
在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2 .即y2+x2=(3x)2.
∴y = x , ∴ ==
（3）由（1）知，GF = DF.设DF = x，BC = y，则有GF = x，AD = y.
∵DC = n·DF, ∴ DC = AB = BG = nx.
∴CF = (n-1)x，BF = BG + GF =（n+1）x.
在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2，即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2
∴ y = 2x, ∴==(或)
7、阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）.
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为　　　　；
（2）另取两点B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为　　　　　，　　　　　;
拓展延伸：
（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.
x
y
O
C
P2
B
P1

【答案】解：设A、P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且为正整数).
（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，
∴x＝＝1，y＝＝1，
∴A（1，1）. 2分
（2）∵点P3与P2关于点B成中心对称，且B(－1.6，2.1),
∴＝－1.6，＝2.