平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题).doc

(完整word)平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)
平面向量1
1. 数量和向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小,不能比较大小.
2。向量的表示方法：
①用有向线段表示；②用字母等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示:；向量的大小——长度称为向量的模,记作｜|。
3. 有向线段：
具有方向的线段叫做有向线段，三要素:起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别:
⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。
4. 零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作.
②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明:⑴向量与相等，记作=；
⑵零向量与零向量相等；
⑶任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
6. 平行向量的定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定与任一向量平行。
说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义;
⑵向量平行，记作。
四边形法则
三角形法则
二、 向量的运算法则
1。向量的加法
某人从A到B，再从B到C,则两次的位移和：;
⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
⑵三角形法则:
⑶四边形法则：

练习：化简(1） (2） （3）

2。向量的减法
⑴相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
①；
②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：；
③如果是互为相反的向量，则：。
⑵向量的减法:
向量加上的相反向量，叫做和的差.即
向量减法法则：两向量起点相同,则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。
注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。
练习：（1） (2） （3） （4）

例1.平行四边形ABCD中，，用、表示向量.

例2。已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、，试用向量、、表示。

3. 向量的数乘运算
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下:
⑴;
⑵当>0时,的方向与的方向相同;当<0时，的方向与的方向相反;特别的，当=0或=时,=.
注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法,即+,-是无意义的.
实数与向量的积的运算律：
设、为任意向量，为任意实数,则有：
①；
②
③
例1.计算
； ;

例2。计算
（1）. （2）。

结论：向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数，是的=。
例3。向量是否共线？

例4。平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且,你能用表示吗？

二、 向量运算法则的应用
向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数，恒有。
1. 有关向量共线问题
例1。已知向量满足，求证:向量共线。

例2。已知,试判断是否共线？

定理的应用：
（1）。有关向量共线问题;
（2).证明三点共线：三点共线；
(3）.证明两直线平行问题。
例3.已知任意两个非零向量，试作，你能判断三点间的位置关系吗？为什么?

例4 。在四边形中，，求证：四边形为梯形.

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高中数学必修4同步练习
(2.1-2。2平面向量的概念及线性运算)
姓名______班级______学号______
一.选择题（每题5分)
1。设是的相反向量,则下列说法错误的是( )
A。与的长度必相等 B。
C.与一定不相等 D.是的相反向量
2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、,则向量等于（ ）
A。 B。 C。 D.
3.(如图）在平行四边形中，下列正确的是( ）.
A. B.
C. D。

B
D
C
A

4.等于( )
A。 B。 C。 D.
5.化简的结果等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6.(如图)在正六边形ABCDEF中，点O为其中心,则下列判断错误的是（ )
A B ∥
C D
7。下列等式中,正确的个数是( ）
①②③
④⑤
A.5 B。4 C.3 D.2
8。在△ABC中,，,如果,
那么△ABC一定是( )。
A.等腰三角形B。等边三角形
C.直角三角形D。钝角三角形
9。在中,，,则等于( ）
A. B。 C。 D。
10。已知、是不共线的向量，，(、)，当且仅当（ ）时，
、、三点共线。

二.填空题(每题5分）
11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______

12。的两条对角线相交于点,且,则______,
______,______，______。

13。已知向量和不共线,实数，满足,则______

14。化简：①______;
②______;
③______

15。化简下列各式:
（1）______;
(2)______。

16。在中,，则
______，______.

17.在四边形ABCD中有,则它的形状一定是______

18。已知四边形中，,且则四边形的形状是______。

19.化简:______.

20。在△ABC中,设,，则=______

三。解答题(每题10分)
21。某人从点出发向西走了10m，到达点,然后改变方向按西偏北走了15m到达点,最后又向东走了10米到达点.
(1)作出向量，，(用1cm长线段代表10m长)；（2）求

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22。如图，在梯形中,对角线和交于点,、分别是和的中点,分别写出
(1)图中与、共线的向量;
（2)与相等的向量.

23。在直角坐标系中，画出下列向量:
(1），的方向与轴正方向的夹角为,与轴正方向的夹角为;
（2），的方向与轴正方向的夹角为,与轴正方向的夹角为；
（3),的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为.

24.在所在平面上有一点,
使得,试判断点的位置.

25。如图所示,在平行四边形中,点是边中点，点在上且，求证:、、三点共线.

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参考答案
一。选择题(每题5分)
1。C
2。B
3。C
4.B
5。B
6.D
7.C
8。A
9.B
10。D
二。填空题(每题5分）
11。圆
12.,
13.1
14。①；②；③
15.（1) （2)
16。,
17。平行四边形
18.等腰梯形
19.
20.

三.解答题(每题10分）
21。【解答】(1)如图，

(2）∵,
故四边形为平行四边形,
∴

22.【解答】与共线的向量有、;
与共线的向量有，，,，；
与相等的向量是

23。【解答】

24。【解答】

,故
、、三点共线，
且是线段的三分点中靠近的那一个

25.【解答】提示：可以证明
或证明.