圆锥曲线(椭圆)专项训练(含标准答案).doc

圆锥曲线 椭圆 专项训练
【例题精选】：
例1 求下列椭圆的标准方程：
（1）与椭圆有相同焦点，过点；
（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t；
（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为。
（4）

例2 已知椭圆的焦点为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在这个椭圆上，且，求：的值。
例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的
求：椭圆的离心率。

小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。
例4 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。

小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例5 过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。

小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。

例6 已知是椭圆在第一象限内部分上的一点，求面积的最大值。

小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、 选择题：
1．椭圆的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6. 已知＜4，则曲线和有（ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
7．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右焦点的距离是，则点到左焦点的距离是 （ ）
A． B． C． D．
8．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
9．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
10．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
二、 填空题：
11．椭圆的离心率为，则 。
12．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。
13．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
14、椭圆上有一点P到两个焦点的连线互相垂直，则P点的坐标是
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
16、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
17、中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。
18.求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AoB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
19.在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
20.椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.
圆锥曲线 椭圆 专项训练参考答案
【例题精选】：
例1（1）（2）（3）
（4）（5）
例2 （1） （2

例3
例4 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。
求：弦AB的长，左焦点F1到AB中点M的长。

解：

小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。
例 5 x+2y-4=0

例6 解：
过A、B的直线方程是

小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。
【专项训练】：
一、 选择题：ACD DABB BBD
填空题 11、3或 12、 4 1 13、 14
15、
16、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；
　　（2）当 为短轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；
17、设椭圆：（a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
18、 （Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，由
，，得．①
又为锐角，
∴ 又
∴
∴．②
综①②可知，∴的取值范围是
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　② 又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
20、[解析]：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [].
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