整式培优拓展题(含标准答案).doc

第二章《整式》培优
专题一、找规律题
（一）、代数式找规律
1、观察下列单项式：，…
（1）观察规律，写出第2010和第2011个单项式；
（2）请你写出第m个单项式和第n+1个单项式。（m为自然数）
答案：（1）-2010a2010；2011a2011
（2）ma^m(m为奇数)，-ma^m(m为偶数)
2、有一个多项式为…，按这种规律写下去，第六项是= ab5 ，最后一项是= b6 。
3、（1）观察一列数2,4,8,16,32，…发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是= 2 ，根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么= 218 ，= 2n 。
（2）如果欲求的值，可令①，将①式两边同乘以3，得 3s=3+32+33+34+…+321 ，②
由②减去①式，得S= （321-1）/2 ;
（3）由上可知，若数列，，，…，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则= a1qn-1，（用含，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么+++…+= a1(1-qn)/(1-q) （用含，q，n的代数式表示）。
4、 观察下列一组数：，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是 （2n-1）/2n ．
（二）、图形找规律
5、用棋子摆成如图所示的“T”字图案．
（1）摆成第一个“T”字需要 5 个棋子，第二个图案需要 8 个棋子；
（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要 32 个棋子，第n个需要 (3n+2)个棋子．

6、如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中棋子个数是= 15 ，第n个“广”字中棋子个数是= 2n+5 。

7、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“●”的个数为 3n+2 ．
（1）
（2）
（3）
……
……

8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有___46______个小圆； 第n个图形有_(_n2+n+4_)______个小圆.
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…

9、观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ D ）
……
第1个
第2个
第3个

A. B． C． D．
10、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
……
……
①1=12
②1+3=22
③1+3+5=32
④1+3+5+7=4^2
⑤1+3+5+7+9=5^2

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式1+3+5+……+（2n-1）=n2

11、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子：

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了[（n+1）2+（2n-1）] 块石子。
解析：第一个小房子：5=1+4=1+22
第二个小房子：12=3+9=3+32
第三个小房子：21=5+16=5+42
第四个小房子：32=7+25=7+52
……………………
第n个小房子：（n+1）2+（2n-1）

专题二：整体代换问题
12、若=2010，则= 0 。
13、若式子的值是9，则的值是= 17 。
14、 (2010•常州)若实数a满足=0，则= 3 。
15、已知代数式=2，=5，则的值是多少?
解：∵=2，=5
∴=2（）+3（）=4+15=19
16、当x=2010时，，那么x=－2010时，的值是多少？
解：∵当x=2010时，时，
∴2010^3a+2010b=2009,
∴当x=－2010时，-2010^3a-2010b+1=-(2010^3a+2010b)+1
∴原式=-2009+1=-2008

专题三：绝对值问题
17、在数轴上的位置如图所示，
化简：
解：
=-(a+b)-(b-1)+(a-c)-(1-c)+(2b-3)
=-a-b-b+1+a-c-1+c+2b-3=2a-
18、有理数a、b在数轴上位置如图所示，试化简.

解：
=(3b-1)-2(2+b)+(3b-2)=3b-1-4-2b+3b-2=4b-7

19、有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：

解：
=-（a-b）-(a+b)-(c-a)+2(b-c)=a-b-a-b-c+a+2b-2c=a-3c

专题四：综合计算问题
20、若与的和是一个单项式，则m= 3 ，n= 2 。
21、如果关于x的代数式的值与x的取值无关，则m= 5 ，n= 2 。
22、已知m、n是系数，且与的差中不含二次项，求的值。
解：（）-（）
=mx2-2xy+y-3x2-2nxy-3y
=(m-3)x2-(2+2n)xy-2y
∵与的差中不含二次项
∴m-3=0,2+2n=0
∴m=3,n=-1
即，=32+2×3×(-1)+(-1)2=4
23、已知，求的值。
解：∵a/(ab+a+1)＝a/(ab+a+abc)=1/(b+1+bc)
∴a/(ab+a+1)=1/b *b/(bc+b+1)
∴c/(ca+c+1)=c/(ca+c+abc)=1/(a+1+ab)=1／a* a/(ab+a+1)
=1／a* 1/b *b/(bc+b+1)=1/ab* b/(bc+b+1)
∴a/(ab+a+1) +b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1)
=1/b *b/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+1/ab* b/(bc+b+1)
=(a+ab+abc)/(a+ab+abc)
=1
24、已知，求的值。
解：∵
∴
=3m^2-3mn+3mn-mn-2n^2
=3(m^2-mn)+2mn-2n^2
=3(m^2-mn)+2（mn-n^2）
∴原式=3*15-2*6=45-12=33
25、已知均为正整数，且，求的值。
解：∵ab=1, ∴a=1/b
∴=1/b(b/1+b)+(b/b+1)=(1/1+b)+(b/b+1)=(1+b/1+b)=1
26、已知，求的值。
解：∵∴m2+m=1
∴=m3+m2+m2+2005=m(m2+m)+m2+2005=m+m2+2005
∴原式=1+2005=2006

27、若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展开式中不含x3和x2项，求m和n的值。
解：∵（x2+mx+8）（x2-3x+n）
= x4 -3x3+nx2 +mx3 -3mx2-24x +nx2 +mnx +8n
= x4 –(3-m) x3+(2n-3m) x2 +(mn-24)x+8n
又∵（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展开式中不含x3和x2项
∴(3-m)=0，(2n-3m)=0，
∴m=3,n=4.5

28、3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是多少。
解：3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1
=(24-1) (24+1)(28+1)……(232+1)+1
=(28-1) (28+1)……(232+1)+1
=264-1+1
=264= (24)16=(16)16
∵16的任何次方的个位数都是6
∴3(22+1)(24+1)(28+1)……(232+1)+1的个位数是6.

专题五：应用问题
29、一位同学做一道题：“已知两个多项式A，B，计算2A+B”。他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为。已知B=，求原题的正确答案。
解：∵A+2B=，B=
∴A=(9x2-2x+7)-2()=9x2-2x+7-2x2-6x+4=7x2-8x+11
∴2A+B=2(7x2-8x+11)+ =15x2-13x+20
30、某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。A：计时制：0.05元/分；B：包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）。此外，每一种上网方式都加收通信费0.02元/分。
(1)某用户每月上网时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下改用户应该支付的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
解：（1）A=0.05x+0.02x=0.07x;B= 0.02x+50
(2)A-B=0.07x-( 0.02x+50)=0.05x-50
当x=20时，A-B=0.05×20-50=-49<0
∴当上网的时间为20小时，采用A方式较为合算.
31、小星和小月玩猜数游戏，小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数。只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数。”小月不相信。但试了几次，小星都猜对了，你知道小星是怎样猜的吗？如果小月告诉小星的数是484，你知道小月所想的三个一位数是什么吗？
分析:设这三个数分别是abc，再根据①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数，把所得的式子化简，再减去250把第一个数除以100，第二个数除以10即可．
解答：解：设这三个数分别是a、b、c，
∵①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数,
∴[（2a+5）×5+b]×10+c
=[10a+b+25]×10+c
=100a+10b+c+250，再减去250，把第一个数除以100，第二个数除以10即可得出这三个数．
∴484-250=234=2×100+3×10+4 ∴a=2,b=3,c=4
32、七年级一班的小明和小王是好朋友。有一次，小王拿出一副扑克牌，让小明从中任意抽出一张牌，且让他将牌上的点数默记心中。小王说：“请你将点数乘2加3后再乘5，再减去25，算出答案后告诉我，我就知道你所抽的牌是几点。”小明算完后说“100”。小王马上宣布：“你抽的牌是J。”小明很佩服。你能帮小明分析其中的奥秘吗？若小明算出的答案是120，他抽到的是哪张牌？
分析:设这个数为x，在根据“将点数乘2加3后再乘5，再减去25”，设计算后所得到数是y，那么y=（2x+3）×5-25。
解答：设这个数为x，计算后所得到数是y，
∵将这个数乘2加3后再乘5，再减去25
∴（2x+3）×5-25=y
10(x-1)=y
X=y/10+1
∴当y=120时，x=120/10+1=13
即，答案是120时，他所抽到的牌是K。

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