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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学 200071）
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有.
证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
图1
设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以.
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.
若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q）， ,,同理, 所以
将代入(*)得,又得, , 同理 , ，所以，即.
注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有.
证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
图2
设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线.
图3
证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.
过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得，设M（m，0），H（n，0），焦点轴长为2a，则有，得.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.
图4
性质3：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得： .
图5
性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.
证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得： ，由性质3得，点I在直线l：上，所以点G在直线l：上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，直线l与CD交于点I，则.
性质6：过点M（m，0）做抛物线的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.
注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.
性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：上.
图6
证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l上.
性质8：过点M（m，0）做抛物线的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l： 上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
性质9：直线l：，过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则.
图7
证明：如图7，由性质3得： ,所以.
性质10：直线l：，过点M（m，0）做抛物线的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则.
图8
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.
性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.
证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，Q，由定理1得：, 所以.
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，4
4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7