资源描述
导数与函数的极值
1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
一、导数与函数的极值：
1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题
（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？
（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？
<二>、探索研讨
1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
类型一：函数的单调性与导数：
例1、求函数的极值
解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)
令=0,解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
(1) 当＞0,即x＞2,或x＜-2时;
(2) 当＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)=
函数的图象如:
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求,解方程=0,当=0时:
(1) 如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值.
(2) 如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值
练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7
令y′=0，解得x=.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
－
0
+
↘
极小值
↗
∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)
令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
-3
(-3,3)
3
+
0
－
0
+
↗
极大值54
↘
极小值-54
↗
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.
当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54
考点一 求含字母参数的函数的极值
考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的单调区间与极值。
思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值
解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，令=0，解得，由，由此可知，
函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；
进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。
举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
解：(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点。
考点二 求函数的最值
考例2.已知a为实数，
（1）若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
（2）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.
思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。
解: (Ⅰ)由原式得
∴
由 得,此时有.
由得或x=－1 ,
当变化时，的变化如下表
-
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
(2)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令即 由求根公式得:
所以在和上非负.
由题意可知,当x≤－2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥－2, x2≤2,
即 解不等式组得: －2≤a≤2.
∴a的取值范围是[－2,2].
锦囊妙计：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。
举一反三：1.（06浙江卷）在区间上的最大值是( )
A．-2 B．0 C．2 D．4
解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C
2. (06全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x)=（-2ax）
(1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
解：（I）对函数求导数得
令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0
解得
当 变化时，、的变化如下表
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函数
而当时=，当x=0时，
所以当时，取得最小值
（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是
即，解得
于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
考点三 利用导数解决函数的综合问题
考例3.(06年深圳市模拟)已知函数的图象与函数的图象相切,记.
（Ⅰ）求实数的值及函数的极值；
（Ⅱ）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.
思路分析:首先由是的切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数的图像,利用数形结合的思想求解.
解：(1)依题意，令
∴函数的图象与函数的图象的切点为,将切点坐标代入函数可得 .或:依题意得方程，即有唯一实数解, 故，即,
故,令,解得,或.
列表如下 :
-
递增
极大值
递减
极小值0
递增
从上表可知在处取得极大值,在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数大致图象如下图所示.作函数的
图象,当的图象与函数
的图象有三个交点时, 关
于的方程恰有三个不
等的实数根.结合图形可知：.
锦囊妙计:读题,审题,发现”是的切线”是解题的关键, 数形结合的思想在该题中再一次得到运用.本题综合了导数,单调性 ,极值 ,方程的解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生的计算,推理,阅读理解的数学能力.
举一反三: (中山市模拟.) 已知函数的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.
解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，
∴即.
(2)若函数可以在和时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得.
(3)由(2)，得.
根据题意，()恒成立.
∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点处的值为.
∴函数（）的最大值为.
所以.
误区警示：
例.设函数，其中.
（1）求函数的极值；
（2）若当时，恒有，试确定实数的取值范围.
常见错误：（1）忽略0<a<1导致错误；（2）解带参数的绝对值不等式出错。
正解：（1），得，.
∵，∴. 列表如下：
a
—
0
+
0
—
极小值
极大值
∴极小值=；极大值=
（2），∵，∵.
即在上单调递减，即当时.
从而：.
恒成立，故.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x<x1时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1<x<x2时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，
则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．
[点评] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2．(2014·屯溪一中期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设g(x)＝f ′(x)e－x，求函数g(x)的极值．
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∵f ′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，
∵f ′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，
∴a＝－，b＝－3，
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f ′(x)＝3x2－3x－3，
∴f(1)＝－，f ′(1)＝－3，
∴切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.
(2)∵g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，
∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，
∴当0<x<3时，g′(x)>0，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.
3．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．
[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f ′(x)＝x－＝，
令f ′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f ′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则x＝1是f(x)的极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝
＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，
即f(x)<g(x)恒成立．
因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．
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基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f ′(x)＝3x2，f ′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．(2013·北师大附中高二期中)函数y＝x4－x3的极值点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
无极值
极小值
故选B.
3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2＋2bx由题设0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.
4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案] D
[解析] f ′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.
∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．
5．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴或∴ad＝2.
6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f(x)＝－(a<b<1)，则( )
A．f(a)＝f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)>f(b) D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f′(x)＝()′＝
＝.
当x<1时，f ′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵a<b<1，∴f(a)>f(b)．
二、填空题
7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．
[答案] [－1,1]
[解析] f ′(x)＝1＋acosx，由条件知f ′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，
∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴0<a≤1；a<0时，∵－≥cosx恒成立，∴－≥1，∴a≥－1，即－1≤a<0，综上知－1≤a≤1.
9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
[答案] －
[解析] f ′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得∴a＝－.
三、解答题
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
[解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f ′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f(1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．
一、选择题
11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] f ′(x)＝2exsinx，令f ′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ<x<2kπ＋π时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π<x<2kπ时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2013π)，∴0<(2k＋1)π<2013π，∴0≤k<1006，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2011π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2011π＝＝，故选B.
12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A．，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
13．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．－1<a<2 B．－3<a<6
C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，
∴f ′(x)＝0有两不等实根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
二、填空题
14．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________________，b＝________.
[答案] －3 －9
[解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有∴
经检验a＝－3，b＝－9符合题意．
三、解答题
15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
[解析] (1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f ′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax.
(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值点；
(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x2＝0在(1，＋∞)上的根的个数．
[解析] (1)f(x)＝lnx＋x2－3x，f ′(x)＝＋2x－3，
令f ′(x)＝0，则x＝1或x＝，
由f ′(x)>0得0<x<，或x>1，
∴f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，
∴f(x)的极大值点x＝，极小值点x＝1.
(2)当a＝－4时，f(x)＋x2＝0，即lnx＋2x2－4x＝0，
设g(x)＝lnx＋2x2－4x，则
g′(x)＝＋4x－4＝≥0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根．
17．(2014·温州八校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋b，
∴f ′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x(x－)．
当a＝0时，f ′(x)≤0函数f(x)没有单调递增区间；
当a>0时，令f ′(x)>0，得0<x<，
函数f(x)的单调递增区间为(0，a)；
当a<0时，令f ′(x)>0，得<x<0，
函数f(x)的单调递增区间为(a,0)．
(2)由(1)知，a∈[3,4]时，x、f ′(x)、f(x)的取值变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，a)
a
(a，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
∴f(x)极小值＝f(0)＝b，f(x)极大值＝f()＝＋b，
∵对任意a∈[3,4]，f(x)在R上都有三个零点，
∴，即得－<b<0.
∵对任意a∈[3,4]，b>－恒成立，
∴b>(－)max＝－＝－4.
∴实数b的取值范围是(－4,0)．
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