人教版高数选修2-2第4讲：函数的极值与导数(教师版).doc

导数与函数的极值 1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 一、导数与函数的极值：1观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当ta时,函数单调递增, 0;当ta时,函数单调递减, 0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 类型一：函数的单调性与导数：例1、求函数的极值解:=x2-4=(x-2)(x+2)令=0,解得x=2,或x=-2.下面分两种情况讨论:(1) 当0,即x2,或x-2时;(2) 当0,即-2x2时.当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)+0_0+f(x)单调递增单调递减单调递增因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)=函数的图象如:归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:1求,解方程=0,当=0时:(1) 如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极大值.(2) 如果在x0附近的左边0,右边0,那么f(x0)是极小值练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54考点一 求含字母参数的函数的极值考例1.（06安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，令=0，解得，由，由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范。举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值0即(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(，)上。当(1，+)时，曲线=与轴仅有一个交点。考点二 求函数的最值考例2.已知a为实数，（1）若，求在2，2 上的最大值和最小值；（2）若在（，2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围.思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。解: ()由原式得 由 得,此时有.由得或x=1 ,当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增 所以f(x)在2,2上的最大值为最小值为 (2)解法一: 的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 即 2a2. 所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x2或x2时, 0, 从而x12, x22, 即 解不等式组得: 2a2. a的取值范围是2,2.锦囊妙计：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。举一反三：1.（06浙江卷）在区间上的最大值是()A-2B0C2D4解：，令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C2. (06全国卷)已知a 0 ，函数f(x)=（-2ax） (1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得+2(1)2=0从而+2(1)2=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（II）当0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是即的取值范围是考点三 利用导数解决函数的综合问题考例3.(06年深圳市模拟)已知函数的图象与函数的图象相切,记.（）求实数的值及函数的极值；（）若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围.思路分析:首先由是的切线,利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性,极值的关系作出函数的图像,利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令函数的图象与函数的图象的切点为,将切点坐标代入函数可得 .或:依题意得方程，即有唯一实数解, 故，即,故,令,解得,或. 列表如下 : -递增极大值递减极小值0递增从上表可知在处取得极大值,在处取得极小值. （）由（）可知函数大致图象如下图所示.作函数的图象,当的图象与函数的图象有三个交点时, 关于的方程恰有三个不 等的实数根.结合图形可知：. 锦囊妙计:读题,审题,发现”是的切线”是解题的关键, 数形结合的思想在该题中再一次得到运用.本题综合了导数,单调性 ,极值 ,方程的解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生的计算,推理,阅读理解的数学能力.举一反三: (中山市模拟.) 已知函数的图象为曲线E.() 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；() 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；() 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，即. (2)若函数可以在和时取得极值，则有两个解和，且满足. 易得. (3)由(2)，得. 根据题意，()恒成立. 函数（）在时有极大值（用求导的方法），且在端点处的值为. 函数（）的最大值为. 所以. 误区警示：例.设函数，其中.（1）求函数的极值；（2）若当时，恒有，试确定实数的取值范围.常见错误：（1）忽略0a1导致错误；（2）解带参数的绝对值不等式出错。正解：（1），得，.，. 列表如下：a0+0极小值极大值极小值=；极大值=（2），. 即在上单调递减，即当时. 从而：.恒成立，故.1函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有一个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f (x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点点评有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解2(2014屯溪一中期中)设f(x)x3ax2bx1的导数f (x)满足f (1)2a，f (2)b，其中常数a、bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f (x)ex，求函数g(x)的极值解析f(x)x3ax2bx1，f (x)3x22axb，f (1)2a，32ab2a，f (2)b，124abb，a，b3，f(x)x3x23x1，f (x)3x23x3，f(1)，f (1)3，切线方程为y()3(x1)，即6x2y10.(2)g(x)(3x23x3)ex，g(x)(6x3)ex(3x23x3)(ex)，g(x)3x(x3)ex，当0x0，当x3时，g(x)0，当x0时，g(x)0，g(x)在(，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，)上单调递减，所以g极小(x)g(0)3，g极大(x)g(3)15e3.3(2014山东省菏泽市期中)已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f (x)x，令f (x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f (x)0，因此函数f(x)在(1，)上单调递增，则x1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x1处取得极小值为f(1).(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上单调递减，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立，即f(x)0，右侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值D如果在点x0附近的左侧f (x)0，那么f(x0)是极大值答案C解析导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)x3，f (x)3x2，f (0)0，但x0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2(2013北师大附中高二期中)函数yx4x3的极值点的个数为()A0B1C2D3 答案B解析yx3x2x2(x1)，由y0得x10，x21.当x变化时，y、y的变化情况如下表x(，0)0(0,1)1(1，)y00y无极值极小值故选B.3函数yax3bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx由题设0和是方程3ax22bx0的两根，a2b0.4若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2B3C6D9 答案D解析f (x)12x22ax2b0的一根为x1，即122a2b0.ab6，ab()29，当且仅当ab3时“”号成立5已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2B1C1D2答案A解析a、b、c、d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或ad2.6(2013辽宁实验中学期中)函数f(x)(ab1)，则()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Df(a)，f(b)的大小关系不能确定答案C解析f(x)().当x1时，f (x)0，f(x)为减函数，abf(b)二、填空题7(2014福建安溪一中、养正中学联考)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_答案4xy30解析y|x1(3lnx4)|x14，切线方程为y14(x1)，即4xy30.8(2014河北冀州中学期中)若函数f(x)xasinx在R上递增，则实数a的取值范围为_答案1,1解析f (x)1acosx，由条件知f (x)0在R上恒成立，1acosx0，a0时显然成立；a0时，cosx恒成立，1，a1，0a1；a0时，cosx恒成立，1，a1，即1a0，综上知1a1.9设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点，则常数a_.答案解析f (x)2bx1，由题意得a.三、解答题10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解析(1)由f (1)f (1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.a，b0，c.(2)f(x)x3x，f (x)x2(x1)(x1)当x1时，f (x)0；当1x1时，f (x)0，函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上为减函数当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f (x0)0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f(1)1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数一、选择题11(2014山东省德州市期中)已知函数f(x)ex(sinxcosx)，x(0,2013)，则函数f(x)的极大值之和为()A BC D答案B解析f (x)2exsinx，令f (x)0得sinx0，xk，kZ，当2kx0，f(x)单调递增，当(2k1)x2k时，f (x)0，f(x)单调递减，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2013)，0(2k1)2013，0k1006，kZ.f(x)的极大值之和为Sf()f(3)f(5)f(2011)ee3e5e2011，故选B.12已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A，0 B0，C，0 D0，答案A解析f (x)3x22pxq，由f (1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x.由f (x)3x24x10得x或x1，易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.13(2014西川中学高二期中)已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A1a2 B3a6Ca6 Da2答案C解析f (x)3x22axa6，f(x)有极大值与极小值，f (x)0有两不等实根，4a212(a6)0，a6.二、填空题14已知函数yx3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a_，b_.答案39解析y3x22axb，方程y0有根1及3，由韦达定理应有经检验a3，b9符合题意三、解答题15(2013新课标文，20)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解析(1)f (x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f (0)4，故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f (x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f (x)0得，xln2或x2.从而当x(，2)(ln2，)时，f (x)0；当x(2，ln2)时，f (x)0得0x1，f(x)在(0，)和(1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，f(x)的极大值点x，极小值点x1.(2)当a4时，f(x)x20，即lnx2x24x0，设g(x)lnx2x24x，则g(x)4x40，则g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)20，所以g(x)在(1，)上有唯一实数根17(2014温州八校联考)已知函数f(x)x3ax2b(a、bR)(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a3,4，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围解析(1)f(x)x3ax2b，f (x)3x22ax3x(x)当a0时，f (x)0函数f(x)没有单调递增区间；当a0时，令f (x)0，得0x，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)；当a0，得x0，函数f(x)的单调递增区间为(a,0)(2)由(1)知，a3,4时，x、f (x)、f(x)的取值变化情况如下：x(，0)0(0，a)a(a，)f (x)00f(x)极小值极大值f(x)极小值f(0)b，f(x)极大值f()b，对任意a3,4，f(x)在R上都有三个零点，即得b恒成立，b()max4.实数b的取值范围是(4,0)16