人教版高数选修2-2第1讲：变化率与导数(教师版).doc

变化率与导数

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1、 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
2、 理解导数的几何意义；

一、变化率问题：
知识导入：
问题1 气球膨胀率
将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：
（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？
（2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？
（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？
（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？
总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
h
t
o
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

1、 平均变化率：
1．上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3． 则平均变化率为

思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
f(x2)
y=f(x)
y

△y =f(x2)-f(x1)

f(x1)
直线AB的斜率
△x= x2-x1

x2
x1

x
O

二、 导数的概念：
1、瞬时变化率：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以

三、 导数的几何意义：
1、 平均变化率与割线的斜率、瞬时变化率与切线的斜率：
（一）曲线的切线及切线的斜率：
如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
图3.1-2

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：
（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
2、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.

类型一：求函数的平均变化率
例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.
思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.
解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为

当，时，平均变化率的值为：.
总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.
举一反三：
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。
【答案】，
所以平均变化率为。
【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001].
【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.
【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。
【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。
设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
，
。
所以。
同理。
。
【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
【答案】3.31
当时

类型二：利用定义求导数
例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
解析：∵

∴
∴。
总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：
第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。
举一反三：
【变式1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。
【答案】
（1）

，
（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，
∴所求切线的斜率为。
∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】
（1），
∴，
∴。
（2），
∴，
∴。
（3），
∴，
∴。
（4），
∴，
∴。
例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.
解析：设.

由f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
① 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
【答案】，
设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，，
即。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，，
即。
例4．已知函数可导，若，，求
解析： （）

（令t=x2，x→1，t→1）

举一反三：
【变式】已知函数可导，若，，求
【答案】

类型五：求曲线的切线方程
例5．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
解析：，

x=1时，y=3，
∴切点为（1，3），切线斜率为5
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
③ 求出函数的导函数
④ 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
⑤ 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.
解析：∵
∴切线的斜率.
∴切线方程为，即.
【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【答案】的导数为.
设切点，则.
∵的斜率，又切线平行于，
∴，∴，∴切点，
∴切线方程为，即.
【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】
（1）将代入曲线的方程得，∴切点.
∵，∴.
∴过点的切线方程为，即.
（2）由可得，解得或.
从而求得公共点为，或.
∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.
例6．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
解析：
（1），
直线的方程为.
设直线过曲线上的点，
则的方程为，即.
因为，则有，.
所以直线的方程为.
（2）解方程组 得
所以直线和的交点坐标为.
、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，
所以所求三角形的面积为.
举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【答案】
设切点坐标为
∴切线在点的斜率为
切线与直线平行，斜率为4
∴，∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【答案】由题意，切线的斜率为，
∴切线方程为，
与轴交点为，直线的交点为（2，4），
∴.
【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.
【答案】由题意知，

∴曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴该切线方程为
设的方程为，
则，
解得，或.
当时，的方程为；
当时，的方程为
综上可知，的方程为或.

一、选择题
1．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于(　　)
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
【解析】　球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
【答案】　B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3 C．6 D．－6
【解析】　由平均速度和瞬时速度的关系可知，
V＝s′(1)＝li(－3Δt－6)＝－6.
【答案】　D
3．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图1－1－2所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　)

图1－1－2
A．甲的日生产量大于乙的日生产量
B．甲的日生产量小于乙的日生产量
C．甲的日生产量等于乙的日生产量
D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
【解析】　由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．
【答案】　B
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
【解析】　∵f′(x0)＝li
＝li＝li(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
【答案】　C
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．3
【解析】　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】　C
二、填空题
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1－1－3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．

图1－1－3
【解析】　∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA<kAB<kBC，
∴3>2>1.
【答案】　3>2>1
7．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.
【解析】　∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx.
从而割线PQ的斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
【答案】　2.1
8．设函数f(x)＝mx3＋2，若f′(－1)＝3，则m＝________.
【解析】　∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝m(－1＋Δx)3＋m＝3mΔx－3m(Δx)2＋m(Δx)3，
∴＝3m－3mΔx＋m(Δx)2，
∴f′(－1)＝[3m－3mΔx＋m(Δx)2]＝3m，
由f′(－1)＝3得3m＝3，∴m＝1.
【答案】　1
三、解答题
9．正弦函数y＝sinx在区间[0，]和[，]的平均变化率哪一个较大？
【解】　y＝sin x在区间[0，]的平均变化率为
＝＝.
y＝sin x在区间[，]的平均变化率为
＝＝，
∵>.
∴正弦函数y＝sin x在区间[0，]的平均变化率比在区间[，]的平均变化率大．
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
【解】　(1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
11．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状．如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位：℃)为
f(x)＝
求开始加热后第15分钟和第4小时沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义．
【解】　∵15分钟＝0.25小时，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20，
∴＝
＝＝40＋80Δx.
∴f′(0.25)＝li ＝li (40＋80Δx)＝40.
又当1<x≤8时，f(x)＝－(x2－2x－244)，
∴当x＝4时，
＝

＝＝－(6＋Δx)，
∴f′(4)＝li ＝li[－(6＋Δx)]
＝－×6＝－.

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基础巩固
1.函数f(x)=x2-1在x0到x0+Δx之间的平均变化率为(　　)
A.2x0-1 B.2x0+Δx
C.2x0Δx+(Δx)2 D.(Δx)2-Δx+1
解析:=2x0+Δx.
答案:B
2.以初速度为v0(v0>0)做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2,则物体在t0时刻的瞬时速度为(　　)
A.v0-gt0 B.v0
C.v0+gt0 D.gt0
解析:∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0+=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,∴=v0-gt0-gΔt.
=v0-gt0,
∴物体在t0时刻的瞬时速度为v0-gt0.
答案:A
3.函数y=x2+5x在x=3处的导数是(　　)
A.3 B.5 C.11 D.14
解析:Δy=(3+Δx)2+5(3+Δx)-(32+5×3)=6Δx+(Δx)2+5Δx=(Δx)2+11Δx,=Δx+11,
∴y'|x=3=(Δx+11)=11.
答案:C
4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)
A.-9 B.-3 C.9 D.15
解析:由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,
∴切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.
令x=0,得y=9,∴切线与y轴交点的纵坐标为9.
答案:C
5.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(　　)
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
解析:∵点(0,b)在直线x-y+1=0上,∴b=1.
又y'==2x+a,∴过点(0,b)的切线的斜率为y'|x=0=a=1.
答案:A
6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=___________.(用数字作答).

解析:由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)=-2x+4(0≤x≤2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2<x≤6).所以f(0)=4,f(4)=2.
答案:2
7.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)=_____________.
解析:由导数几何意义知f'(1)=1,又f(1)=1+2=3,于是f(1)+f'(1)==4.
答案:4
8.求函数f(x)=x-x2在x=1处的导数.
解:f'(1)=-1.
即f(x)在x=1处的导数f'(1)=-1.
能力提升

一、选择题
1．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
【解析】　Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2.
∴＝＝2＋Δx.
【答案】　C
2．自由落体运动的公式为s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是(　　)
A．v是在0～1s这段时间内的速度
B．v是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
【解析】　由平均速度的概念知：v＝＝5Δt＋10.故应选D.
【答案】　D
3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A.米/秒 B.米/秒 C．8米/秒 D.米/秒
【解析】　∵＝
＝
＝Δt＋8－，∴ ＝8－＝.
【答案】　B
4．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
【解析】　k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定．
【答案】　D
5．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
【解析】　Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－3x－6x0＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
∴ ＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0.
∴x0＝－1，y0＝－2.
【答案】　B
二、填空题
6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s(t)＝t2(s的单位：米，t的单位：秒)，则小球在t＝5时的瞬时速度为________．
【解析】　v′(5)＝
＝ (10＋Δt)＝10
【答案】　10米/秒
7．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
【解析】　f′(1)＝ ＝ ＝2，∴a＝2.
【答案】　2
8．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么 ＝________.
【解析】　∵ ＝m，
则 ＝m.
∴
＝ ＋ ＝m＋m＝2m.
【答案】　2m
三、解答题
9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．
【解】　∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2
＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2 ，
∴＝＝2x0－2＋Δx，
f′(x0)＝ ＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.
10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
【解】　(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
(2)t＝2时的瞬时速度为：
v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a＝5×105 m/s2，它从枪口射出所用的时间为t1＝1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】　∵s(t)＝at2，
∴Δs＝s(t1＋Δt)－s(t1)
＝a(t1＋Δt)2－at
＝at1Δt＋a(Δt)2，
＝＝at1＋aΔt.
∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为
v＝ ＝ (at1＋aΔt)＝at1.
由题意a＝5×105 m/s2，
t1＝1.6×10－3s，
∴v＝at1＝5×105×1.6×10－3
＝800(m/s)，
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

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