高等代数(下)期终考试题及答案(B卷).doc

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B卷）
一．填空题（每小题3分，共21分）
1.
2. 设n阶矩阵A的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为　　　　　　　　　　　　 .
3.

4．已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为，则A（λ）的不变因子________________________； 3阶行列式因子 D3 =_______________.

5. 若4阶方阵A的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A的若当标准形
J=
6.在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝　　　　
7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是　　 　　．

二. 选择题( 每小题2分，共10 分)
1.( ) 已知为R上的线性空间，
则dim(V)为
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4

2. ( ) 下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件
(A) A有n个线性无关的特征向量； (B) A的初等因子全是1次的；
(C) A的不变因子都没有重根； (D) A有n个不同的特征根；
3．( ) 设三阶方阵A的特征多项式为，则
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3
4.( )设，若与正交，则
(A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2
5．( )下列子集哪个不是R3的子空间
(A) (B)
(C) (D)
三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共12分)
1.( )设，则是V的子空间.
2.(　）是n维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵.
3．( ) 若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．

4．（ ）在线性空间R2中定义变换σ：，则σ是R2的一个线性变换.　　　
5.（　）设V是一个欧氏空间，，并且，则与 正交。
6. ( ）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是
四.计算题（3小题，共30分）
1．已知关于基的坐标为（1，0，2），由基 到基的
过渡矩阵为, 求关于基的坐标. (8分)
2. 设V是数域P上一个二维线性空间, 和是V的两组基, V的线性变换在基下的矩阵为 ,又从基到基 的过渡矩阵为, 求在基 下的矩阵. (8分)
3.
(14分)
五. 证明题 (每题9分，共27分)
1. 设为数域上的n维线性空间，为V的一组基, 证明
V= L() .
2．设为维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有

3. 设都是数域上线性空间的线性变换, 且, 证明 和都是的不变子空间.

答案
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