北京首都师大附中2017届九年级10月月考数学试题(含标准答案).doc

首都师大附中2017-2018学年第一学期十月月考
初三数学
第I卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】绕一点旋转后与自身能重合的图形是中心对称图形．
2．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】平移：左右——（用于），上下——（用于）．
3．如图，点，，在⊙上，的延长线交于点，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
4．代数式的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．
5．已知圆锥的母线长是，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设母线为，底面半径为，圆锥侧面展开图圆心角为，则，所以，．
6．如图，是等边三角形，是的中点，以为旋转中心，把顺时针旋转后，所成的图形是（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】

7．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】∵结称轴过点，
∴
，
∴，
∴即为，，，．
8．已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，若抛物线与轴有两个不同的交点，则点（ ）．
A．在⊙的内部 B．在⊙的外部 C．在⊙上 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵与轴有两个不同交点，
∴，
∴，
，
∵，
∴点在⊙内部．
9．小刚在实践课上要做一个如图所示的折扇，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为．小刚现要在如图所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为，宽为．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴的损耗，此时扇面的宽度为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

∵，，
∴，
．
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：为⊙外一点．
求作：经过点的⊙的切线．

小敏的作法如下：
如图，
（）连接，作线段的垂直平分线交于点．
（）以点为圆心，的长为半径作圆，交⊙于，两点．
（）作直线，．

老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接，后，可证，其依据是____________________；由此可证明直线，都是⊙的切线，其依据是________________________________________．
【答案】见解析．
【解析】①直径所对的圆周角是直角．
②经过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线．
10．【答案】D
【解析】∵，
∴对称轴，
将关于对称轴对称，
得，
则此时图象位于轴上方，
∵时图象位于轴下方，
∴可知，图象过，
∴
．
二、填空题
11．【答案】
【解析】时，，
时，，
∴．
12．【答案】且
【解析】∵图象与轴有两个不同交点，
∴且，
∵
，
∴，
∴，
∴且．
13．【答案】
【解析】

如图：，，
∴中，，

．
14．【答案】
【解析】∵，
可化为，
即方程的解为函数，，
图象交点的横坐标，
又∵交点为，，
∴为，．
15．【答案】
【解析】

如图：，，
由垂径定理可知：，
设半径为，
在中，，
∴
．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解一元二次方程：
【答案】，．
【解析】

，
，．
18．已知，求的值．
【答案】．
【解析】原式

，
当，即时，
原式．
19．如图，内接于⊙，，，为⊙的直径，，求弦的长．

【答案】．
【解析】

∵⊙中是直径，
∴，
∵中，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
20．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，求的度数．

【答案】．
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由旋转性质可知，．

21．已知：如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以为旋转中心，把逆时针旋转，得到．
（）画出．
（）点的坐标为______________________________．
（）求点旋转到所经过的路线长．

【答案】（）见解析；（）；（）．
【解析】（）如图，走过的路线为弧，
∵，
∴，
∵，
∴
．

22．已知：关于的一元二次方程有实数根．
（）求的取值范围．
（）若，是此方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】（）；（）．
【解析】（）∵ 有实根，
∴，
∵，
∴，
∴．
（），
，
∵、为方程的两根，
∴，，
∴，，
∴，

（舍），
∴．
23．已知：二次函数中的和满足下表：

（）可求得的值为__________．
（）求出这个二次函数的解析式．
（）当时，则的取值范围为______________________________．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】（）由表可知，，关于对称轴对称，
∴．
（）设顶点式，
∵过，
∴
，
∴．
（）∵抛物线开口向上，对称轴，
∴时，
当时，有最大值，
时，有最小值，
∴．
24．某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价元，则可卖出件．如果商店计划要获利元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？
【答案】
【解析】设每件商品的售价定为元，
，
，，
，
∵，
∴，
（件），
答：售价定为时，卖出件．
25．已知：如图，内接于⊙，于，，过点的直线与的延长线交于点，，．
（）求证：是⊙的切线．
（）若为⊙上一动点，连接交直线于点，问：是否存在点，使得的值最小，若存在求的最小值，若不存在，说明理由．

【答案】（）见解析；（）见解析．
【解析】（）连结，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为⊙切线．

（）将点关于直线对称到点，
由垂径定理可知在⊙上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴最小值为．
26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（）函数的自变量的取值范围是__________．
（）列出与的几组对应值．请直接写出的值，__________．

（）请在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（）结合函数的图象，写出该函数的两条性质．
①__________________________________________________．
②__________________________________________________．

【答案】（）；（）；（）图象不过第三象限，与直线没有交点；（）见解析．
【解析】（）分母不为，则，．
（）令，则，
∴．
（）从交点个数，增减性，过象限等角度来写．
27．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点左侧），且点的横坐标为．
（）求的值．
（）设抛物线的顶点关于原点的对称点为，求点的坐标．
（）将抛物线在，两点之间的部分（包括，两点），先向下平移个单位，再向左平移个单位，平移后的图象记为图象，若图象与直线无交点，求的取值范围．

【答案】（）；（）；（）见解析．
【解析】（）∵图象过，
∴

．
（）
，
顶点，
与关于原点对称，
∴．
（）令，则，
，
，，
∴，，
将图象向下平移个单位后，，，
∵，，
∴直线解析为，
令，则，
∴，
由图可知，，
∴时，
图象与直线无交点．

28．（）如图，在四边形中，，，，点是边上一点，把射线绕点顺时针旋转，与边交于点，请你补全图形，求，，的数量关系．
（）如图，在菱形中，点是边上任意一点，把射线绕点顺时针旋，与边交于点，连结，请你补全图形并画出辅助线，直接写出，，的数量关系是__________．
（）如图，正方形的边长是，点，分别在，上，若的周长为，则的面积最小值为____________________．

解：（）____________________．
（）____________________．
（）____________________．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】（）连延长线上截取，
连结，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连结，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．

（）证明同（）．
（）

延长至，使，
连结，
∵，，
∴≌（），
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴≌（），
设，，，
则，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
即，
又∵，
∵

，
∴ 最小值
29．在平面直角坐标系中，点在直线上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为．给出如下定义：若线段，⊙和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形（点，，，顺时针排列），则称矩形为直线的“理想矩形”．
例如，下图中的矩形为直线的“理想矩形”．

（）若点，四边形为直线的“理想矩形”，则点的坐标为____________________．
（）若点，求直线的“理想矩形”的面积．
（）若点，直线的“理想矩形”面积的最大值为__________，此时点的坐标为________________________________________．
解：（）____________________．
（）____________________．
（）______________________________，______________________________．
【答案】（）；（）；（） ．
【解析】（）四边形中，，，，是顺时针排列，
且分别落在线段，⊙和直线上，
∴．

（）连结，
过点作轴于点，
∵在上，
∴直线，
设与轴交于点，
∵，
∴，
在轴上截取，连结，
可知，
过点作交⊙于点，过点作于点，
使得，，，顺时针排列，
连结，
∵，
，
∴中，

，
∴，
∴．

（）设“理想矩形”的一组邻边分别为，，
则，
∵，
∴，
，
∴当且仅当时，有最大值，此时理想矩形为正方形．

①当点在第四象限明，
过点作轴于点，交过点平行于轴的直线于点，
易证≌，
∴，即．
②当点在第三象限时，
过点作轴的平分线，交轴于点，交过点平行于轴的直线于点，
易证≌，
则有，，
∴即，
综上：最大值为，或．

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