E-不等式(文科).doc

E　不等式
E1　不等式的概念与性质
10．B11、B12、E1[2012·浙江卷] 设a>0，b>0，e是自然对数的底数(　　)
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<b
C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a<b
10．A　[解析] 本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．由ea＋2a＝eb＋3b，有ea＋3a>eb＋3b，令函数f(x)＝ex＋3x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(a)>f(b)，∴a>b，A正确，B错误；
由ea－2a＝eb－3b，有ea－2a<eb－2b，令函数f(x)＝ex－2x，则f′(x)＝ex－2，函数f(x)＝ex－2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a，b∈(0，ln2)时，由f(a)<f(b)，得a>b，当a，b∈(ln2，＋∞)时，由f(a)<f(b)得a<b，故C、D错误．
7．E1、B6、B7[2012·湖南卷] 设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是(　　)
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
7．D　[解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比较，意在考查考生对不等式性质、幂函数和对数函数的性质的运用能力；解题思路：转化为幂函数比较大小，利用换底公式比较对数式的大小．由不等式的基本性质可知①对；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞1，所以②对；由对数函数的单调性可得logb(a－c)＞logb(b－c)，又由对数的换底公式可知logb(b－c) ＞loga(b－c)，所以logb(a－c)＞loga(b－c)，故选项D正确．
[易错点] 本题易错一：不等式基本性质不了解，以为①错；易错二：指数式大小比较，利用指数函数的性质比较，容易出错；易错三：对换底公式不了解，无法比较，错以为③错．
1．E1、E3[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
1．D　[解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)，答案为D.
6．D3、E1[2012·北京卷] 已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是(　　)
A．a1＋a3≥2a2
B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2
D．若a3>a1，则a4>a2
6．B　[解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式．
对于A选项，当数列{an}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如an＝(－1)n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a ＋ a≥2|a1 a3 | ＝ 2a，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a1(q2－1)>0，而a4－a2＝a2(q2－1)＝a1q(q2－1)的符号还受到q符号的影响，不一定为正，也就得不出a4>a2，故D错误．
E2 绝对值不等式的解法
9．E2[2012·天津卷] 集合A＝中的最小整数为________．
9．－3　[解析] 将|x－2|≤5去绝对值得－5≤x－2≤5，解之得－3≤x≤7，∴x的最小整数为－3.
E3　一元二次不等式的解法
13．E3[2012·江苏卷] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
13．9　[解析] 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．
由条件得a2－4b＝0，从而f(x)＝2，
不等式f(x)<c解集为－－<x<－＋，
故两式相减得＝3，c＝9.
12．E3[2012·湖南卷] 不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．
12．{x|2≤x≤3}　[解析] 本题考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式．
解不等式得 (x－2)(x－3)≤0，即2≤x≤3，所以不等式的解集是{x|2≤x≤3}．
[易错点] 本题易错一：把不等式解集的界点忘记，没包括2或者3，错解为{x|2<x<3}；易错二：没把解集写成集合或区间的形式，导致无分．
14．A2、A3、B3、E3[2012·北京卷] 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是________．
14．(－4,0)　[解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．
由已知g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，
当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即 可得m∈(－4,0)．
1．E1、E3[2012·北京卷] 已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
1．D　[解析] 本题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、一元二次不等式求解．
因为A＝{x|3x＋2>0}＝＝，
B＝{x|x<－1或x>3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
所以A∩B＝(3，＋∞)，21．B12、E3[2012·广东卷] 设0<a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
21．解：(1)x∈D⇔x>0且2x2－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝3(3a－1)(a－3)．
①当<a<1时，Δ<0，
∴∀x∈R，h(x)>0，∴B＝R.
于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②当a＝时，Δ＝0，此时方程h(x)＝0有唯一解
x1＝x2＝＝＝1，
∴B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③当0<a<时，Δ>0，此时方程h(x)＝0有两个不同的解
x1＝，
x2＝.
∵x1<x2且x2>0，
∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
又∵x1>0⇔a>0，
∴D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)上的单调性如下：
x
(0，a)
a
(a,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

①当<a<1时，D＝(0，＋∞)．
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点，x＝1为
f(x)在D内的极小值点．
②当a＝时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．
由表可得，x＝为f(x)在D内的极大值点．
③当0<a<时，D＝(0，x1)∪(x2，＋∞)．
∵x1＝
＝
≥[3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x1<<1，
x2＝
＝
>＝1，
∴a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点．
答案为D.
2．E3[2012·重庆卷] 不等式<0的解集为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
2．C　[解析] 原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，选C.
[点评] 分式不等式通常转化为整式不等式来解，其主要转化途径：(1)>0⇔f(x)g(x)>0；(2)<0⇔f(x)g(x)<0.
10．A1、E3、B6[2012·重庆卷] 设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x∈R|f(g(x))>0|，则N＝{x∈R|g(x)<2}，则M∩N为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(－∞，1)
10．D　[解析] 因为f(g(x))＝[g(x)]2－4g(x)＋3，所以解关于g(x)不等式[g(x)]2－4g(x)＋3＞0，得g(x)＜1或g(x)＞3，即3x－2＜1或3x－2＞3，解得x＜1或x＞log35，所以M＝(－∞，1)∪(log35，＋∞)，又由g(x)＜2，即3x－2＜2,3x＜4，解得x＜log34，所以N＝(－∞，log34)，故M∩N＝(－∞，1)，选D.
E4 简单的一元高次不等式的解法
11．E4[2012·江西卷] 不等式>0的解集是________．
11．{x|－3<x<2或x>3}　[解析] 原不等式可化为(x＋3)(x－3)(x－2)>0，利用穿针引线法可得{x|－3<x<2或x>3}．
17．B12、E4[2012·重庆卷] 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
17．解：因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16.
故有
即化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
E5　简单的线性规划问题
2．E5[2012·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－2y的最小值为(　　)
A．－5 B．－4
C．－2 D．3
2．B　[解析] 概括题意画出可行域如图．

当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值z＝0×3－2×2＝－4.
8．E5[2012·四川卷] 若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋4y的最大值是(　　)
A．12 B．26
C．28 D．33

8．C　[解析] 由已知，画出可行域如图，
可知当x＝4，y＝4时，z＝3x＋4y取得最大值，
最大值为28.
10．E5[2012·上海卷] 满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．
10．－2　[解析] 考查简单的线性规划问题，此题的难点是如何正确画出可行域．
画图可知，约束条件表示的区域是一个平行四边形区域，四个顶点分别是(0,1)，(2,0)(0，－1)(－2,0)．通过平移参照直线y－x＝0，可知在(2,0)处取得最小值，zmin＝0－2＝－2.
9．E5[2012·辽宁卷] 设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为(　　)
A．20 B．35
C．45 D．55
9．D　[解析] 本小题主要考查线性规划．解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．
不等式组表示的区域如图1－1所示，令z＝2x＋3y，目标函数变为y＝－x＋，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z＝2x＋3y经过点A时，z最大，由于⇒故而A的坐标为(5,15)，代人z＝2x＋3y，得到zmax＝55，即2x＋3y的最大值为55.
5．E5[2012·课标全国卷] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　)
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
5．A　[解析] 由正三角形的性质可求得点C，作出△ABC表示的可行域(如下图所示不含△ABC的三边)．
可知当直线z＝－x＋y经过点C(1＋，2)时，z＝－x＋y取得最小值，且zmin＝1－；当直线z＝－x＋y经过点B(1,3)时，z＝－x＋y取得最大值，且zmax＝2.因为可行域不含△ABC的三边，故z＝－x＋y的取值范围是.故选A.

5．E5[2012·广东卷] 已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．3 B．1
C．－5 D．－6
5．C　[解析] 作出可行域，如图所示．

目标函数变形为：y＝－x＋z，平移目标函数线，显然当直线经过图中A点时，z最小，由 得A(－1，－2)，所以zmin＝－1－4＝－5.所以选择C.
10．E5[2012·福建卷] 若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
10．B　[解析] 根据约束条件画出可行域如下图所示，

根据题意，显然当直线y＝2x与直线y＝－x＋3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x＝1.所以当m≤1时，直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.
14．E5[2012·全国卷] 若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．
14．－1　[解析] 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．
利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.

8．E5[2012·安徽卷] 若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)
A．－3 B．0 C. D．3

8．A　[解析] 作出不等式组 表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.
14．E5[2012·浙江卷] 设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．
14．[答案]
[解析] 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO及其内部，由目标函数z＝x＋2y可得y＝－x＋，直线x＋2y－z＝0平移通过可行域时，截距在B点取得最大值，在O点取得最小值，B点坐标为， 故z∈.

21．B9、B12、E5[2012·陕西卷] 设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；
(3)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．
21．解：(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.
∵ff(1)＝×1＜0.
∴f(x)在内存在零点．
又当x∈时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，
∴f(x)在上是单调递增的，
∴f(x)在内存在唯一零点．

(2)解法一：由题意知即
由图像知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，
在点(0,0)取到最大值0，
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法二：由题意知
－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
①×2＋②得
－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法三：由题意知
解得b＝，c＝，
∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.
又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，
∴－6≤b＋3c≤0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
(3)当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：
①当＞1，即|b|＞2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾．
②当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，
M＝f(1)－f＝2≤4恒成立．
③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f(－1)－f＝2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.
注：②，③也可合并证明如下：
用max{a，b}表示a，b中的较大者．
当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，
M＝max{f(1)，f(－1)}－f
＝＋－f
＝1＋c＋|b|－
＝2≤4恒成立．
3．E5、K3[2012·北京卷] 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A. B.
C. D.

3．D　[解析] 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识．
如图所示，P＝＝＝.
14．E5[2012·湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．
14．[答案] 2
[解析] 作出不等式组 所表示的可行域，如下图阴影部分所示(含边界)．
可知当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝1与直线3x－y＝3的交点M(1,0)时，z＝2x＋3y取得最小值，且zmin＝2.

6．E5[2012·山东卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,6] D.
6．A　[解析] 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题．
可行域为如图所示阴影部分．

当目标函数线l移至可行域中的A点(2,0)时，目标函数有最大值z＝3×2－0＝6；当目标函数线l移至可行域中的B点时，目标函数有最小值z＝3×－3＝－.
E6　基本不等式
9．E6[2012·浙江卷] 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A. B.
C．5 D．6
9．C　[解析] 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生观察、变形判断的能力．
由x>0，y>0，x＋3y＝5xy得＋＝1，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5，当且仅当＝即x＝1，y＝时等号成立．
10．E6、E8[2012·陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
10．A　[解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v＝＝，又∵a<b，∴<<＝，∴a<v<，A成立．
E7 不等式的证明方法
21．B12、E7[2012·辽宁卷] 设f(x)＝lnx＋－1，证明：
(1)当x>1时，f(x)<(x－1)；
(2)当1<x<3时，f(x)<.
21．解：(1)(证法一)
记g(x)＝lnx＋－1－(x－1)．则当x>1时，
g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，有g(x)<0，即
f(x)<(x－1)．
(证法二)
由均值不等式，当x>1时，2<x＋1，故
<＋.①
令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1<0，
故k(x)<0，即
lnx<x－1.②
由①②得，当x>1时，f(x)<(x－1)．
(2)(证法一)
记h(x)＝f(x)－，由(1)得
h′(x)＝＋－
＝－<－
＝
令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.
因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g(1)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.
因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又h(1)＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)<.
(证法二)
记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当1<x<3时，由(1)得
h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9
<(x－1)＋(x＋5)－9
＝[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]
<
＝(7x2－32x＋25)
<0.
因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<.
E8　不等式的综合应用
14．E8[2012·江苏卷] 已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．
14．[e,7]　[解析] 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．
题设条件可转化为记x＝，y＝，则且目标函数为z＝，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组得交点坐标为C，此时zmax＝7.又过原点作曲线y＝ex的切线，切点为(x0，y0)，因y′＝ex，故切线斜率k＝ex0，切线方程为y＝ex0x，而y0＝ex0且y0＝ex0x0，解之得x0＝1，故切线方程为y＝ex，从而zmin＝e，所求取值范围为[e,7]．

15．E8[2012·福建卷] 已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．(0,8)　[解析] 不等式在R上恒成立，则满足Δ＝a2－4×2a<0，解得0<a<8.
10．E6、E8[2012·陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
10．A　[解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为v＝＝，又∵a<b，∴<<＝，∴a<v<，A成立．
21．B12、E8[2012·课标全国卷] 设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以，f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．
(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x　(x>0)．　　　　①
令g(x)＝＋x，
则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.
22．B12、E8[2012·湖北卷] 设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x＞0)，n为整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的最大值；
(3)证明：f(x)＜.
22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.
因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a，
又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1.
令f′(x)＝0，解得x＝，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x0＝.
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增；
而在上，f′(x)<0，f(x)单调递减．
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝
n＝.
(3)证明：令φ(t)＝lnt－1＋(t＞0)，则φ′(t)＝－＝(t＞0)．
在(0,1)上，φ′(t)＜0，故φ(t)单调递减；
而在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增．
故φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0.所以φ(t)＞0(t＞1)，
即lnt＞1－(t＞1)．
令t＝1＋，得ln＞，即lnn＋1＞lne，
所以n＋1＞e，即＜.
由(2)知，f(x)≤＜，故所证不等式成立．
9．A2、E8[2012·湖北卷] 设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
9．A　
[解析] 先考察充分性：
当abc＝1时，＋＋＝＋＋＝＋＋，
又因为2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2(当且仅当a＝b＝c＝1时取等号)，
即＋＋＝＋＋≤a＋b＋c，故充分性成立；
再考察必要性：
取a＝b＝c＝3，显然有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，故必要性不成立．应选A.
E9 单元综合
17．E9[2012·江苏卷] 如图1－5，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

图1－5
17．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10 km.
(2)因为a>0，所以
炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6.
所以当a不超过6 km时，可击中目标．
16．E9[2012·四川卷] 设a，b为正实数，现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；
②若－＝1，则a－b<1；
③若|－|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．
(写出所有真命题的编号)
16．①④　[解析] 由a2－b2＝1，所以a2＝1＋b2＞1，又a是正实数，故a＞1，进而a＋b＞1，
分解因式得(a＋b)(a－b)＝1，
∴a－b＝＜1.①正确．
由－＝1且a、b是正实数，可得a－b＝ab，不能保证小于1，如b＝，a＝2，
此时a－b＝ab＝＞1.②错误．
由|－|＝1，取a＝4，b＝1可知|a－b|＝3＞1，故③错误．
由|a3－b3|＝1，不妨设a＞b，即a3－b3＝1，于是a3＝1＋b3，因为a、b都是正实数，
故a3＝1＋b3＞1⇒a＞1，
于是(a－b)(a2＋ab＋b2)＝1⇒a－b＝＜1，从而④正确．
21．H10、E9[2012·四川卷] 如图1－6，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.

图1－6
(1)求轨迹C的方程；
(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|<|PR|，求的取值范围．
21．解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在．
于是x≠1且x≠－1，此时，MA的斜率为，MB的斜率为，
由题意，有·＝4，
化简可得，4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
(2)由消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)
对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1，
结合题设(m>0)可知，m>0，且m≠1.
设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根．
因为|PQ|<|PR|，所以|xQ|<|xR|，xQ＝，xR＝.
所以＝＝＝
1＋.
此时>1，且≠2.
所以1<1＋<3，且1＋≠，
所以1<＝<3，且＝≠.
综上所述，的取值范围是∪.
22．B14、E9、J3、D5[2012·四川卷] 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
(1)用a和n表示f(n)；
(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；
(3)当0<a<1时，比较＋＋…＋与6·的大小，并说明理由．
22．解：(1)由已知得，交点A的坐标为，对y＝－x2＋an求导得y′＝－2x，则拋物线在点A处的切线方程为y＝－，即y＝－x＋an.则f(n)＝an.
(2)由(1)知f(n)＝an，则≥成立的充要条件是an≥2n＋1.
即知，an≥2n＋1对所有n成立．特别地，取n＝1得到a≥3.
当a＝3，n≥1时，an＝3n＝(1＋2)n＝1＋C·2＋…≥2n＋1.
当n＝0时，an＝2n＋1.故a＝3时，≥对所有自然数n均成立．
所以满足条件的a的最小值为3.
(3)由(1)知f(k)＝ak.
下面证明：＋＋…＋>6·.
首先证明：当0<x<1时，>6x.
设函数g(x)＝6x(x2－x)＋1,0<x<1.
则g′(x)＝18x.
当0<x<时，g′(x)<0；当<x<1时，g′(x)>0.
故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min＝g＝>0.
所以，当0<x<1时，g(x)>0，即得>6x.
由0<a<1知0<ak<1(k∈N*)，因此>6ak，从而
＋＋…＋
＝＋＋…＋>6(a＋a2＋…＋an)
＝6·
＝6·.