专题六---几何探究题解题思路.doc

专题六 几何探究题的解题思路
一、方法简述
随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件----演绎----结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.
二、思想方法
1.分类讨论思想
分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
2.数形结合思想
数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。
3.函数与方程思想
函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。
4.转化与化归思想
转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。
三、典例分析
例1: 阅读理解：如图1，在直角
梯形中，∥，∠,
点在边上，当∠时，
易证∽，从而得到.
解答下列问题：
（1） 模型探究：如图2，在四边形中，
点在边上，当∠=∠=∠时，
求证：；
（2） 拓展应用：如图3，在四边形中，
∠=∠,
⊥于点，以为原点，以所在的直线
为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与端点、重合）．
① 当∠时，求点的坐标；
② 过点作⊥，交轴于点，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(1)证明：如图2，∵∠1=180-∠B-∠2 ∠3=180-∠APD-∠2 ∠B=∠APD
∴∠1=∠3 又∵∠B=∠C ∴ △ABP∽△PCD

∴ ∴

(2) ①如图3，当∠APD=60时 OB=
设P点坐标为（x，0），（0< x<8）则BP=2+x，PC=8-x
∵∠B=∠C=∠APD=60
∴ 即（2+x）(8-x)= 解得：x=2, =4
∴点P的坐标为P（2，0）或P（4，0）
②解法一：如图3，过点D作DM⊥x轴于点M
则CM=，DM= ∴OM=5
(Ⅰ)当点P在线段OM上设为P，PM=x-5 (0<x≤5)
∵∠EOP=∠DMP=∠EPD=90
∴OP••PM=OE•••DM 即)= ∴ (0<x≤5)
(Ⅱ) 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5<x<8)
∵∠1+∠3=90 ∠2+∠3=90 ∴∠1=∠2 ∴Rt△EOP∽Rt△PMD
∴ ∴ 即x(x-5)=
∴ (5<x<8)
解法二：如图3，过点D作DM⊥x轴于点M
则CM=，DM= ∴OM=5 ∴D(5，)
(Ⅰ)当点P在线段OM上设为P，PM=5-x (0<x≤5) 连接DE；
∵ 即 -x)+ ()=(-y)+5
∴ (0<x≤5)
(Ⅱ) 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5<x<8) 连接DE
∵ 即-5)+ ()=(+y)+5
∴ (5<x<8)
评析:本题通过“阅读理解—模型探究—拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）①）上升到新背景中的“特殊”（问题（2）②），使学生经历了“特殊—一般—特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ∽”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力.
例2. 已知菱形的边长为1，，等边两边分别交边、于点、.
（1）特殊发现：如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心；
（2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点.
①猜想验证：如图2，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，交边的延长线于点，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由

O
图1
F
E
D
C
B
A

解：（1）证明：如图1，分别连接、
∵四边形是菱形
∴⊥,平分，
∴

又∵、分别为、中点
∴、、
∴ ∴点即为的外心

（2）①猜想：外心一定落在直线上
证明：如图2，分别连接、，过点分别作于，于.
则 ∵ ∴
图2
J
I
P
F
E
D
C
B
A
∴
∵点是等边的外心，
∴，
∴ ∴
∴≌ ∴
∴点在的平分线上，即点落在直线上
分析：证点落在的平分线上，也就证明点到直线、的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，
从而利用圆的性质便有下面两种解法。
另解法一：分别连接、、 ∵四边形是菱形,
图3
P
F
E
D
C
B
A
∴,
∵点是等边的外心，
∴, ∴
∴、、、四点共圆，∴
∵ ∴≌
∴
∴落在的平分线上.即点落在直线上.
图4
P
F
E
D
C
B
A

另解法二：:分别连接、、
∵点是等边的外心
∴，
∴
∵
∴、、、 四点共圆.
N
图5
P
M
G
F
E
D
C
B
A
∵
∴落在的平分线上.即点落在直线上.
②为定值2
当时，面积最小，
此时点、分别为、中点
连接、交于点，由（1）
可得点即为的外心
解法一：如图，设交于点
设，则
∵∥，且，是的中点 ∴≌ ∴
∴ ∵∥ ∴∽
∴ ∴ ∴ ∴ 即
图6
P
N
M
G
F
E
D
C
B
A
分析：观察图形，得到结论，把1用或代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形，中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。
解法二：如图，连接 ∵点、分别为、的中点
∴，∥
∴∽ ∴
设，则 ∴
H
图7
P
N
M
G
F
E
D
C
B
A
∴ ∴
解法三：过点作直线∥交于点，
∵∥∴∽
∴
∴
∴

解法四：过点作直线∥交于点，过点作∥交于.
K
H
图8
P
N
M
G
F
E
D
C
B
A
∵∥，∥
∴∽，∽
∴， ∴，
∴
由≌得：
∴ ∴
解法五：如图，过点作于，于，则
图9
J
I
N
M
P
F
E
D
C
B
A
∵
∴
∴
∴ ∴
分析：因为，而正与的面积有关，其中，也可以看成是将分为和后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。
解法六：如图4，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系
设直线的解析式为
可求得点的坐标为 ∴
N
图10
y
x
P
M
O
F
E
D
C
B
A
∴
∴直线的解析式为
求得直线的解析式为

令，∴ ∴
令，∴ ∴
∴
评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略——试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。
其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线DB上，证点P落在∠ADC的平分线上，也就证明点P到直线AD、AC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第﹙2﹚小题第②以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。

四、强化训练
1. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点、点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
（1）求的度数；
（2）当取何值时，点落在矩形的边上？
（3）求与之间的函数关系式；
D
Q
C
B
P
R
A
第1题图
B
A
D
C
（备用图1）
B
A
D
C
（备用图2）

2.如图1，在中，，，是边上一点，是在边上的一个动点（与点、不重合），，与射线相交于点。
（1）如图1，如果点是边的中点，求证：；
（2）如图2，如果，求的值；
（3）如果，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

3.四边形是矩形，，，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是点关于的对称点，射线交射线于，设，，的面积为.
(1)如图1，当点在边上运动时，试用的代数式表示，并写出的取值范围；
（2）当点在射线上运动时，判断的面积是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用的代数式表示，并写出的取值范围.

4. 已知：在矩形中，，，四边形的三个顶点、、分别在矩形边、、上，.
（1）如图1，当四边形为正方形时，求的面积；
（2）如图2，当四边形为菱形，且时，求的面积（用含的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，的面积能否等于？请说明理由.

5.已知，是等腰直角三角形，，，是线段上一点，以为边，在的右侧作正方形．直线与直线交于点，连接．
（1）如图1，当时，求证：≌；
（2）如图2，当时，请在图中作出相应的图形，猜测线段与线段的关系，并说明理由；
A
B
C
F
D
E
G
图1
A
B
C
D
图2
（3）连接，判断线段为何值时，是等腰三角形．

6．有公共顶点大小不等的正方形与正方形，两个正方形分别绕着点旋转至下列图形的位置，其中(.
(1) 如图1，连接、，判断线段与的数量及位置之间的关系，并说明理由；
（2）连接、，过点的直线垂直于交于.
①如图2，求证与的面积相等；
②如图3，试判断是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

7. （1）如图1，在中，，，点在边上（不与点重合），过作于，连接，为的中点，连接.
①求证：是等腰直角三角形；
②若，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果把图1中的绕着点逆时针旋转至图2的位置，其它的条件不变，那么是否还是等腰直角三角形？请说明理由.

8.如图1，在菱形中，=4，∠，是边上的点，
∠（<<），点在边上，∠，、分别与相交于、两点，当∠绕着点旋转时，点、、、也随之运动.请解答下列问题；
（1）求证：是等边三角形；
（2）在∠旋转的过程中，当为何值时，四边形的周长最小？求四边形周长的最小值；

图 1
图 2
a
Q
P
N
M
D
C
B
A
Q
P
N
M
D
C
B
A
a
（3）如图2，当时，判断与之间的数量关系，并说明理由.

9.如图，在中，，，过点作∥，点、分别
是射线、线段上的动点，且，过点作∥交线段于，交于，设的面积为，.
（1）用的代数式表示；
（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若与相似，求的长.

10.如图，，，，．点、都是斜边上的动点，点从 向运动（不与点重合），点从向运动，．点，分别是点，以，为对称中心的对称点， 于交于点．当点到达顶点时，、同时停止运动．设的长为，的面积为．
（1）求证：∽；
（2）求关于的函数解析式并求的最大值；
（3）当为何值时，为等腰三角形？

11.（1）在正方形中，点在延长线上，且，为边上一点，为的中点，点在直线上（点、不重合）.
①如图1，点、重合，为的中点，试探究与的位置关系及的值， 并证明你的结论；
② 如图2，点、不重合，，你在①中得到的两个结论是否成立， 若成立，请加以证明； 若不成立， 请说明理由；
（2）如图3，如果把（1）② 中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，那么你在②中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.

12. 如图，在中，，点到两边的距离相等，且．
（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

专题六 几何探究题
1.解：(1)∵PQ∥BD ∴∠CQP=∠BDC
在Rt△BDC种，∵∠C=90 ∴tan∠BDC= ∴∠CQP=∠BDC=30
(2)如备用图1，点R落在AB上。
∵∠CPQ=90-∠CQP=60
∴∠RPQ=∠CPQ=60
∴∠RPB=60
∴BP=PR=CP=
则 ∴
（3）有两种情况：①当时，
②当时，如备用图2。
∵PB= ∴PN=2PB=
∴RN=

∴
2.（1）证明：连接CD如图1.
∵△ABC是直角三角形，∠C=90，AC=BC
点D是AB的中点
∴CD⊥AB,CD=DB ∠FCD=∠B=45
∠BDF=90-∠FDC
∵∠EDF=90
∴∠CDE=90-∠FDC ∴∠BDF=∠CDE ∴△CDE≌△BDF ∴DE=DF
（2）过D作DG⊥AB交AC于G如图2.
则AD=DG，∠EGD=∠B=45
又∵∠EDG=∠FDB
∴△GDE∽△BDF
∴ ∴
（3）AB=
∵AD∶DB=1∶2 ∴DG=AD= BD=
∴AG=
有两种情况：①如图2，当时。
由△GDE∽△BDF得：
∴
②如备用图，当时。
由△GDE∽△BDF得：
∴
3.解：（1）如图1，当时
∵四边形是矩形
∴∥ ∴∥
∴∽
∴ ∴
∴
当时
（2）为定值，分三种情况：
①当时，如图1：
方法一：
由（1）得： ∴
方法二：
=
=
由（1）得：
∴
②当时，点、、重合。

③当时，如图2：
方法一：
∵四边形是矩形
∴∥ ∴∥
∴∽
∴ ∴ ∴

方法二：∵四边形是矩形 ∴∥ ∴∥
∴∽ ∴ ∴
∴
又∵ ∴
综上所述：为定值。
4．解：（1）如图1，过点G作于M.
在正方形EFGH中，
.

又∵，
∴⊿AHE≌⊿BEF.
同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.
∴GM=BF=AE=2.
∴FC=BC-BF=10.
（2）如图2，过点G作于M.连接HF.

又
∴⊿AHE≌⊿MFG.
∴GM=AE=2.

（3）⊿GFC的面积不能等于2.
∵若则12- a =2，∴a=10.
此时，在⊿BEF中，

在⊿AHE中，
.
∴AH＞AD.
即点H已经不在边AB上.故不可能有
解法二：⊿GFC的面积不能等于2.
∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为.
∴BF的最大值为.
又因为函数的值随着a的增大而减小，
所以的最小值为. 又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2.
5．解：（1）∵四边形ADEF是正方形，△ ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90º
∴∠BAD＝∠CAF，∴△ABD≌△ACF
（2）作图如右：
猜测：CF＝BD，CF⊥BD
理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝∠ACB＝45º
∴∠FCB＝90º，∴CF⊥BD
（3）连接GF
∵AE是正方形ADEF的对角线 ∴∠FAE＝∠DAE＝45º
又AD＝AF，AG＝AG
∴△AFG≌△ADG ∴FG＝DG
若Rt△CFG是等腰三角形，则CG＝CF
设CF＝x，得CG＝CF＝BD＝x
①如图1，当BD＜1时，FG＝DG＝2－2x
在Rt△CFG中，，根据勾股定理得 FG 2＝CG 2＋CF2
∴（2－2x）2＝2x2 解得：x1＝2＋＞1（舍去），x2＝2－
②如图2，当BD＞1时，∵CG＝BD ∴FG＝DG＝BC＝2
在Rt△CFG中，，根据勾股定理得 FG 2＝CG 2＋CF2，22＝2x2
解得：x1＝－（舍去），x2＝
综上所得，当BD等于2－或时，△CFG是等腰三角形
6. 解：（1）
理由： 方法一：∵四边形与四边形都是正方形
∴ ∴
∴≌ 可以看作由顺时针旋转得到的（或可以看作由逆时针旋转得到的），故，

方法二：连接如图.
证≌得，

∴
= ∴ ∴
(2) ①方法一：过作,
过.
则∥ ∴
∵，
∴
又∵
∴≌ ∴
∵ ，
∴
方法二：①过作∥交直线于. 则
∵， ∴
∴ 同理：
又∵ ∴≌
∴
∵ ∴
又∵ ∴≌
∴ ∴
∴
② ∵≌ ∴ ∵≌ ∴
∴ ∴ 所以为定值
方法三：①过作交.
∵，
∴
∵,
∴ 又∵
∴≌ ∴
同理可证： ∴
即
②∵≌，∴ ∵ ≌ ∴
∴ 所以为定值
方法四：①过作⊥直线于，过作⊥直线于
∵，
∴ 又∵
∴≌ ∴
同理可证: ≌
∴
∴ 又∵，
∴≌ ∴ ∴
又∵ ∴
②由①得≌，≌ ∴，
∴， 又∵≌ ∴
∴ 所以为定值
7. （1）方法一：如图1-1.
∵，
∴
∴
又∵ ∴
∴ 即
∴是等腰直角三角形
方法二：如图1-2.
把绕着点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，连接.
则， ，， ∵
∴ ∴ ∥ ∴四边形是矩形.
又∵ ∴点是矩形的中心
∴ 点、、在同一直线上.且
又∵
∴ 所以是等腰直角三角形
方法三：如图1-2.
延长到，使得，连接、、.
∵于 ∴
又∵ ∴四边形是矩形.
∴
又∵，
∴≌ ∴，
∴
∴ 所以是等腰直角三角形
②方法一：
在中 ∵
∴ ∴
又∵，
∴
∴ （）
方法二：如图1-3.过点作于.
∵，
∴ ∴
∴
又∵
∴ ∴ （）
(2)方法一：如图2-1.
把绕着点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，连接、.
则， ， ，
∵ ∴ ∴ ∥
∴四边形是平行四边形.
又∵ ∴点是平行四边形的中心
∴ 点、、在同一直线上.且
又∵
∴，
所以是等腰直角三角形
方法二：如图2-2. 延长到，使得，连接、、、.
则四边形是平行四边形.
∴ ∵
∴ ∴
∵，
∴
设绕点逆时针旋转角
则，
∵，
∴ ∴
又∵ ∴≌ ∴
∴
∴， 所以是等腰直角三角形

8.（1）连接AC如图1.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120 ∴∠ACB=∠ABC=∠CAB=∠ACN=60
∴AC=AB 又∵∠MAN=60 ∴∠BAM=∠CAN=60-∠MAN ∴△BAM≌△CAN
∴AM=AN ∴△AMN是等边三角形
(2) ∵△BAM≌△CAN ∴BM=CN ∴CM+CN=BC=AB=4
∵四边形AMCN的周长=AM+CM+CN+AN
∴四边形AMCN的周长=2AM+4 ∴当AM最小时，四边形AMCN的周长最小
即 当AM⊥BC，α=30时，四边形AMCN的周长最小.
此时∵∠AMB=90，∠BAM=α=30 ∴BM=AB=2
∴ 四边形AMCN的周长最小值为：
（3）
理由：方法一:把△ABM绕着点A顺时针旋转，
使得点B与点D重合，点P落在点处如图.
则BP=D=2DQ，∠DA=∠PBA=∠ADQ=30
∴∠DQ=60，连接Q，记D的中点为T，
连接TQ. 又∵TD=DQ=
∴△DTQ是等边三角形
∴TQ=TD=T∴∠DQ=∠QT=30，
∵∠DQT=60 ∴∠DQ=90
∴Q=3
∴
∵∠PAQ=60，∠BAD=120
∴∠PAB+∠DAQ=60
∵∠AD=∠PAB ∴∠AQ=∠PAQ=60
又A=AP，AQ=AQ
∴△AQ≌△PAQ ∴PQ=Q
∴
方法二：作点D关于直线AN的对称点，
连接Q、P、A，取P的
中点T，连接QT.则DQ=Q、AD= A.
证△AP≌△BAP得P=BP，其它步骤与
方法一类似。

9.解（1）如图2，∵∥
∴∽，∽
∴ 即.
∴，
（2）如图3，在等腰中，，
则边上的高为.
所以.由∽
得 即
所以.
又∵与是同高三角形，
所以
于是，
（3）如图4，∵， ∴
又∵∥ ∴ ∴≌
∴ ∴是等腰三角形
∵与有一个公共的，
而且
∴只存在的情况。
当∽时，也是等腰三角形，
∴，解得：

10.（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，
∴△DHQ∽△ABC．
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时．
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． 当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是．
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，． ∴当x的值为时，
△HDE是等腰三角形.
11.解：（1）与的位置关系是；.
证明：如图1，过点作于, 则．
∵ 矩形中, ，∴ 矩形为正方形.
∴ , ．
∴ //, , ．
∵ 为的中点，//,
∴ ∴
∵ 为()的中点， ∴
∴ , .
∴ ≌ ∴ .
∵ ∴ ∴ ∴．
∵ , ∴ ， .
于是 .
（2）在（1）中得到的两个结论均成立.
证明：如图2，延长交的延长线于点，连结、，过作，交于点．
∵ 四边形是矩形，
∴ ∥ ∴ ，
∵ 为的中点 ∴
∴ ≌ ∴ ，
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∴
由（1）得 ∴ ．
∴ ，
∵ ∴ ∴ ≌．
∴ ， ∵ ∴
∵ ∴=.
（3）；不一定等于.

12. 解：（1）依题意，点P既在的平分线上，
又在线段AB的垂直平分线上.
如图1，作的平分线，
作线段的垂直平分线，与的
交点即为所求的P点。
是等腰直角三角形.
理由：过点P分别作、，
垂足为E、F如图2.
∵平分，、，垂足为E、F，
∴.
又∵ ，∴ ≌.
∴ .
∵，，，
∴， 从而.
又 ∴ 是等腰直角三角形.
（2）如图2，在中，，
，. ∴.
由≌，≌，
可得，.
∴.
在中，，，，
∴. ∴.
所以的周长为：.
因为的面积=的面积的面积的面积
==
=（）.
或 .
（3）方法一：过点分别作、，垂足为、如图3.
易得 .
由∥得 ①；
由∥得 ②
①+②，得 ，即 .
∴ ， 即 .
方法二：（前面同法1）又 ，.
∴
∴.
∴ ，即 .
方法三：过点作，垂足为如图4.
在中，，
由∥得 ①； ②
①+②，得 ，即 .
∴ ，即 .
方法四：过点作∥，交射线于点如图5.
易得 ，
.
∵∥，∴.
∴ ，.
即 .
方法五：过点作的平行线，交射线于点 如图6.
得，，
又 ， 即 ，
所以 ，
方法六：分别过点、分别作的平行线，
交射线于点，交射线于点如图7.
得，
又 ，
∴ ，
即，

36 / 35