专题六---几何探究题解题思路.doc

专题六 几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件-演绎-结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2.数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3.函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4.转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析例1: 阅读理解：如图1，在直角梯形中，,点在边上，当时，易证，从而得到.解答下列问题：（1） 模型探究：如图2，在四边形中，点在边上，当=时，求证：；（2） 拓展应用：如图3，在四边形中，=,于点，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与端点、重合） 当时，求点的坐标； 过点作，交轴于点，设，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围(1)证明：如图2，1=180-B-2 3=180-APD-2 B=APD 1=3 又B=C ABPPCD (2) 如图3，当APD=60时 OB=设P点坐标为（x，0），（0 x8）则BP=2+x，PC=8-xB=C=APD=60 即（2+x）(8-x)= 解得：x=2, =4点P的坐标为P（2，0）或P（4，0）解法一：如图3，过点D作DMx轴于点M则CM=，DM= OM=5()当点P在线段OM上设为P，PM=x-5 (0x5)EOP=DMP=EPD=90OPPM=OEDM 即)= (0x5)() 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5x8)1+3=90 2+3=90 1=2 RtEOPRtPMD 即x(x-5)= (5x8)解法二：如图3，过点D作DMx轴于点M则CM=，DM= OM=5 D(5，)()当点P在线段OM上设为P，PM=5-x (0x5) 连接DE； 即 -x)+ ()=(-y)+5 (0x5)() 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5x8) 连接DE 即-5)+ ()=(+y)+5 (5x8)评析:本题通过“阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）上升到新背景中的“特殊”（问题（2），使学生经历了“特殊一般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力. 例2. 已知菱形的边长为1，等边两边分别交边、于点、.（1）特殊发现：如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心；（2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点.猜想验证：如图2，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，交边的延长线于点，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由O 图1FEDCBA解：（1）证明：如图1，分别连接、四边形是菱形,平分，又、分别为、中点、 点即为的外心（2）猜想：外心一定落在直线上证明：如图2，分别连接、，过点分别作于，于.则 图2JIPFEDCBA 点是等边的外心， 点在的平分线上，即点落在直线上分析：证点落在的平分线上，也就证明点到直线、的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接、 四边形是菱形,图3PFEDCBA,点是等边的外心，, 、四点共圆， 落在的平分线上.即点落在直线上.图4PFEDCBA另解法二：:分别连接、点是等边的外心，、 四点共圆.N图5PMGFEDCBA落在的平分线上.即点落在直线上.为定值2当时，面积最小，此时点、分别为、中点连接、交于点，由（1）可得点即为的外心解法一：如图，设交于点设，则，且，是的中点 即图6PNMGFEDCBA分析：观察图形，得到结论，把1用或代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形，中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 点、分别为、的中点， 设，则 H图7PNMGFEDCBA 解法三：过点作直线交于点， 解法四：过点作直线交于点，过点作交于.KH图8PNMGFEDCBA， ， ， 由得： 解法五：如图，过点作于，于，则图9JINMPFEDCBA 分析：因为，而正与的面积有关，其中，也可以看成是将分为和后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系设直线的解析式为可求得点的坐标为 N图10yxPMOFEDCBA直线的解析式为求得直线的解析式为令， 令， 评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线DB上，证点P落在ADC的平分线上，也就证明点P到直线AD、AC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第2小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1. 如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点、点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；DQCBPRA第1题图BADC（备用图1）BADC（备用图2）2.如图1，在中，是边上一点，是在边上的一个动点（与点、不重合），与射线相交于点。（1）如图1，如果点是边的中点，求证：；（2）如图2，如果，求的值；（3）如果，设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；3.四边形是矩形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是点关于的对称点，射线交射线于，设，的面积为.(1)如图1，当点在边上运动时，试用的代数式表示，并写出的取值范围；（2）当点在射线上运动时，判断的面积是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用的代数式表示，并写出的取值范围.4. 已知：在矩形中，四边形的三个顶点、分别在矩形边、上，.（1）如图1，当四边形为正方形时，求的面积；（2）如图2，当四边形为菱形，且时，求的面积（用含的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，的面积能否等于？请说明理由.5.已知，是等腰直角三角形，是线段上一点，以为边，在的右侧作正方形直线与直线交于点，连接（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，请在图中作出相应的图形，猜测线段与线段的关系，并说明理由；ABCFDEG图1ABCD图2（3）连接，判断线段为何值时，是等腰三角形6有公共顶点大小不等的正方形与正方形，两个正方形分别绕着点旋转至下列图形的位置，其中(.(1) 如图1，连接、，判断线段与的数量及位置之间的关系，并说明理由；（2）连接、，过点的直线垂直于交于.如图2，求证与的面积相等；如图3，试判断是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.7. （1）如图1，在中，点在边上（不与点重合），过作于，连接，为的中点，连接.求证：是等腰直角三角形；若，的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果把图1中的绕着点逆时针旋转至图2的位置，其它的条件不变，那么是否还是等腰直角三角形？请说明理由.8.如图1，在菱形中，=4，是边上的点，（），点在边上，、分别与相交于、两点，当绕着点旋转时，点、也随之运动.请解答下列问题；（1）求证：是等边三角形；（2）在旋转的过程中，当为何值时，四边形的周长最小？求四边形周长的最小值；图 1图 2aQPNMDCBAQPNMDCBAa（3）如图2，当时，判断与之间的数量关系，并说明理由.9.如图，在中，过点作，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作交线段于，交于，设的面积为，.（1）用的代数式表示；（2）求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）连接，若与相似，求的长.10.如图，点、都是斜边上的动点，点从 向运动（不与点重合），点从向运动，点，分别是点，以，为对称中心的对称点， 于交于点当点到达顶点时，、同时停止运动设的长为，的面积为（1）求证：；（2）求关于的函数解析式并求的最大值；（3）当为何值时，为等腰三角形？11.（1）在正方形中，点在延长线上，且，为边上一点，为的中点，点在直线上（点、不重合）.如图1，点、重合，为的中点，试探究与的位置关系及的值， 并证明你的结论； 如图2，点、不重合，你在中得到的两个结论是否成立， 若成立，请加以证明； 若不成立， 请说明理由； （2）如图3，如果把（1） 中的“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，那么你在中得到的两个结论是否成立，请直接写出你的结论.12. 如图，在中，点到两边的距离相等，且（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断ABP的形状，并说明理由；（2）设，试用、的代数式表示的周长和面积；（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由专题六 几何探究题1.解：(1)PQBD CQP=BDC在RtBDC种，C=90 tanBDC= CQP=BDC=30(2)如备用图1，点R落在AB上。CPQ=90-CQP=60RPQ=CPQ=60RPB=60BP=PR=CP=则 （3）有两种情况：当时，当时，如备用图2。PB= PN=2PB=RN=2.（1）证明：连接CD如图1.ABC是直角三角形，C=90，AC=BC 点D是AB的中点CDAB,CD=DB FCD=B=45BDF=90-FDCEDF=90CDE=90-FDC BDF=CDE CDEBDF DE=DF（2）过D作DGAB交AC于G如图2.则AD=DG，EGD=B=45又EDG=FDBGDEBDF （3）AB=ADDB=12 DG=AD= BD=AG=有两种情况：如图2，当时。由GDEBDF得： 如备用图，当时。由GDEBDF得： 3.解：（1）如图1，当时 四边形是矩形 当时 （2）为定值，分三种情况：当时，如图1：方法一： 由（1）得： 方法二： = = 由（1）得： 当时，点、重合。 当时，如图2：方法一：四边形是矩形 方法二：四边形是矩形 又 综上所述：为定值。4解：（1）如图1，过点G作于M. 在正方形EFGH中， . 又， AHEBEF. 同理可证：MFGBEF. GM=BF=AE=2. FC=BC-BF=10. （2）如图2，过点G作于M.连接HF. 又AHEMFG. GM=AE=2. （3）GFC的面积不能等于2. 若则12- a =2，a=10.此时，在BEF中， 在AHE中，. AHAD.即点H已经不在边AB上.故不可能有 解法二：GFC的面积不能等于2. 点H在AD上，菱形边长EH的最大值为.BF的最大值为. 又因为函数的值随着a的增大而减小，所以的最小值为. 又，GFC的面积不能等于2. 5解：（1）四边形ADEF是正方形， ABC是等腰直角三角形，ABAC，ADAF，BACDAF90 BADCAF，ABDACF （2）作图如右： 猜测：CFBD，CFBD 理由是：同（1）可得ABDACFCFBD，ACFABDACB45FCB90，CFBD （3）连接GF AE是正方形ADEF的对角线 FAEDAE45 又ADAF，AGAGAFGADG FGDG 若RtCFG是等腰三角形，则CGCF 设CFx，得CGCFBDx如图1，当BD1时，FGDG22x在RtCFG中，根据勾股定理得 FG 2CG 2CF2（22x）22x2 解得：x121（舍去），x22 如图2，当BD1时，CGBD FGDGBC2在RtCFG中，根据勾股定理得 FG 2CG 2CF2，222x2解得：x1（舍去），x2 综上所得，当BD等于2或时，CFG是等腰三角形 6. 解：（1） 理由： 方法一：四边形与四边形都是正方形 可以看作由顺时针旋转得到的（或可以看作由逆时针旋转得到的），故，方法二：连接如图.证得，= (2) 方法一：过作,过.则 ，又 ，方法二：过作交直线于. 则， 同理：又 又 所以为定值方法三：过作交.，, 又 同理可证： 即， 所以为定值方法四：过作直线于，过作直线于， 又 同理可证: 又， 又 由得， ， 又 所以为定值7. （1）方法一：如图1-1.， 又 即是等腰直角三角形方法二：如图1-2.把绕着点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，连接. 则， ， 四边形是矩形. 又 点是矩形的中心 点、在同一直线上.且 又 所以是等腰直角三角形方法三：如图1-2.延长到，使得，连接、.于 又 四边形是矩形. 又， ， 所以是等腰直角三角形方法一：在中 又， （）方法二：如图1-3.过点作于.， 又 （）(2)方法一：如图2-1.把绕着点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，连接、.则， ， ， 四边形是平行四边形.又 点是平行四边形的中心 点、在同一直线上.且 又， 所以是等腰直角三角形方法二：如图2-2. 延长到，使得，连接、.则四边形是平行四边形. ，设绕点逆时针旋转角则， 又 ， 所以是等腰直角三角形8.（1）连接AC如图1.四边形ABCD是菱形，BAD=120 ACB=ABC=CAB=ACN=60AC=AB 又MAN=60 BAM=CAN=60-MAN BAMCANAM=AN AMN是等边三角形(2) BAMCAN BM=CN CM+CN=BC=AB=4 四边形AMCN的周长=AM+CM+CN+AN四边形AMCN的周长=2AM+4 当AM最小时，四边形AMCN的周长最小即 当AMBC，=30时，四边形AMCN的周长最小. 此时AMB=90，BAM=30 BM=AB=2 四边形AMCN的周长最小值为：（3）理由：方法一:把ABM绕着点A顺时针旋转，使得点B与点D重合，点P落在点处如图.则BP=D=2DQ，DA=PBA=ADQ=30 DQ=60，连接Q，记D的中点为T，连接TQ. 又TD=DQ= DTQ是等边三角形 TQ=TD=TDQ=QT=30，DQT=60 DQ=90 Q=3 PAQ=60，BAD=120PAB+DAQ=60AD=PAB AQ=PAQ=60又A=AP，AQ=AQ AQPAQ PQ=Q 方法二：作点D关于直线AN的对称点，连接Q、P、A，取P的中点T，连接QT.则DQ=Q、AD= A.证APBAP得P=BP，其它步骤与方法一类似。9.解（1）如图2， ， 即.，（2）如图3，在等腰中， 则边上的高为.所以.由 得 即所以. 又与是同高三角形，所以于是，（3）如图4， 又 是等腰三角形与有一个公共的，而且只存在的情况。当时，也是等腰三角形，解得：10.（1）A、D关于点Q成中心对称，HQAB，=90，HD=HA，DHQABC（2）如图1，当时， ED=，QH=，此时 当时，最大值如图2，当时，ED=，QH=，此时 当时，最大值y与x之间的函数解析式为y的最大值是（3）如图1，当时，若DE=DH，DH=AH=， DE=，=，显然ED=EH，HD=HE不可能； 如图2，当时，若DE=DH，=，； 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则EDHHDA， 当x的值为时，HDE是等腰三角形.11.解：（1）与的位置关系是；. 证明：如图1，过点作于, 则 矩形中, ， 矩形为正方形. , /, , 为的中点，/, 为()的中点， , . . , ， .于是 .（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图2，延长交的延长线于点，连结、，过作，交于点 四边形是矩形， ， 为的中点 ， 由（1）得 ， ， =. （3）；不一定等于. 12. 解：（1）依题意，点P既在的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上.如图1，作的平分线，作线段的垂直平分线，与的 交点即为所求的P点。 是等腰直角三角形. 理由：过点P分别作、，垂足为E、F如图2. 平分，、，垂足为E、F， .又 ， . . ， 从而. 又 是等腰直角三角形.（2）如图2，在中，. . 由，可得，.在中， . . 所以的周长为：. 因为的面积=的面积的面积的面积 = =（）. 或 .（3）方法一：过点分别作、，垂足为、如图3. 易得 . 由得 ；由得 +，得 ，即 . ， 即 . 方法二：（前面同法1）又 ，. . ，即 . 方法三：过点作，垂足为如图4. 在中， 由得 ； +，得 ，即 . ，即 . 方法四：过点作，交射线于点如图5.易得 ，.，. ，. 即 . 方法五：过点作的平行线，交射线于点 如图6.得，又 ， 即 ， 所以 ， 方法六：分别过点、分别作的平行线，交射线于点，交射线于点如图7.得， 又 ， ，即，36 / 35