第十章曲线积分与曲面积分.doc

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第九章 曲线积分与曲面积分
本章所讲的曲线积分于曲面积分都是定积分的推广
9．1 第一型曲线积分
一．第一型曲线积分的概念和性质
1．金属曲线的质量
设有金属曲线L(如图9－1）,L上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ(ｘ，ｙ）,求这曲线的质量。
把L分成n个小弧段：Δs，Δs，…,Δs，其中Δs（i=1,2，…n）也表示这些小弧段的长度。在Δs上任取一点(ξ，η），由于线密度函数是连续的，因此当Δs很小时，Δs的质量∆m便可近似地表示为：∆m≈ρ(ξ，η）Δs,于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ（ξ，η）Δs。记λ＝｛Δs}，令λ0取上式和式的极限,得M＝ρ(ξ，η)Δs.
2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义
定义：设L为xoy平面内的曲线弧，是L上的有界函数,把L分成n个小弧段： Δs,Δs，…，Δs,其中Δs（i=1,2，…n）也表示第i个小弧段的弧长. 记λ＝{Δs}，在每个小弧段Δs上任取一点（ξ，η），作和式Δs，如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ（x，y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分，记作，即=Δs称为被积函数,L为积分曲线弧。
注1：同前面一样,并非任一个函数在L上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若在L上连续，则其积分是存在的。故以后在不作特别说明的情况下，总假定在L上连续.
注2：显然物体M的质量为：M=
注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分: =
注4：若L为闭曲线，则在L上的对弧长的曲线积分记为
性质1.若（i=1，2…n)存在,C (i=1，2,…n）为常数，则=
性质2:如按段光滑曲线L由曲线L，L，…，L首尾相接而成,且 （i=1，2，…n)都存在,则=
性质3：若,都存在，且在L上，则
性质4:若存在，则也存在，且有
性质5：若存在，L的弧长为S,则存在常数C，使得=CS
二。第一型曲线积分的计算法
我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:
定理：设曲线L的方程为:,，，其中,在上具有连续的一阶导数， 为L上的连续函数,则有=
证:详细的证明书上有，大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题：我们用来表示L上的以为取值区间所对应部分的弧长，则有=。
两边求微分，得
进而：
又当在L上变化时，相应地在上取值，故
= . （注:并非严格的证明)
注1：若L的方程为，则=
若L的方程为,，则=
2：若空间曲线的方程为： ,,，。则有
=
3：定理。注1。2中的定积分的上下限,一定满足：下限上限。这是因为，在这里的L(或）是无向曲线弧段，因而单从L的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从L(或）的方程的形式来考虑.又〉0〉0
从而当很小时，>0.此时若视为L上某一段弧的弧长,应有>0>0.这说明此时的变化是由小到大的。而这里正是的一般形状，故下限上限.
[例1]: 设L是半园周: 0。 计算
解： ===
［例2］: 设为球面被平面所截的圆周,计算.
解：根据对称性知 ==
===的弧长==
第二节 第二型曲线积分
一. 第二型曲线积分的概念与性质
这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力=i+j的作用沿平面曲线L运动，求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力所做的功W.（这里假设，在L上连续）
首先,对有向曲线L作分割：用点M，M,…,M与M=A，M=B将L分成n个小段(i=1，2…n）。
以表示其弧长。记该分割的细度为λ＝｛Δs｝，当很小时，有向的小弧段可用有向的直线段来代替: =i+j，其中=，=。而,分别为M与M点的坐标。又在上任取一点（ξ，η）。当很小时,由于，在L上连续,故可用在（ξ，η）点处的力=i+j来近似代替上其它各点的力,因此变力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+
所以 W= 。
且当时,有W=.
2。第二型曲线积分（对坐标的曲线积分)的定义
定义:设L是面上从点A到点B的有向光滑曲线， ，在L上有界，把L分成n个小弧段Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1，2，…n）也表示第i个小弧段的弧长。在Δs（i=1,2，…n)上任取一点（ξ，η），做和式,其中和是分别在轴和轴上的投影.记λ＝{Δs｝，如果极限存在，且极限值与L的分法及点（ξ，η）在Δs上的取法无关，则称此极限值为函数,在有向曲线弧L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作
即有: =,
其中，称为被积函数，L称为积分曲线弧。同理,当,都在L上连续时，上述积分才存在.故今后总假定，在L上连续
注1： 完全可以类似地扩到空间曲线上,得
2: 当L为封闭曲线时,常记为:
3:这两类线积分,除了形式上不同之外，还有一关键性区别在于：第一类线积分与L的方向无关，而第二类线积分与L的方向有关.(下见性质2）
性质1：若L由有限有向曲线弧组成,例如L=L+L,则
=+
性质2：设–L是L的反向曲线弧，则
=
二. 第二型曲线积分的计算法
同前面一样，我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算,有下列定理：
定理： ,在有向曲线弧L上连续,L的方程为： ,。 当由变动到时，对应L上的动点从L的起点A变到终点B，，在上连续且不全为零，则
= (证明略)
注1:若L的方程为，在a ，b之间.且x=a且x=b分别为L的起点和终点，则有
=
同理，若L的方程为,也有类似的结果。
2：设空间曲线的方程为: ,,，,且,分别对应于的起点和终点，则有 =

3:定理及注1，2中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值，起点对应的值为下限,终点对应的值为上限。
[例3］ 计算.其中L为抛物线上的点A（—1,1)到B（4,—2)的一段。
解法一:由题知L的方程为 ， 从-1到—2,故
====
解法二: L的方程可写为， 从1到4
====
［例4] 求在力的作用下：
(1) 质点由点A(a，0，0）沿螺旋线L到点B(0，0,2πb）所作的功。 L:， ,
(2) 质点由A(a,0,0）沿直线L到点B(0,0,2πb）所作的功.
解: W==
(1) W=
==
（2) L: x=a， y=0，z=t (0≤t≤2πb) 则
W===。
三. 两类线积分之间的关系
直到现在为止,我们已学过两种曲线积分: 和.两者都是转化为定积分计算.那么两者有何联系呢？这两种曲线积分来源于不同的物理原型，有着不同的特性,但在一定的条件下，我们可建立它们之间的联系。
设有向曲线弧L表示成以弧长s为参数的参数方程: x=x(s)，y=y（s）， 0≤s≤ℓ，这里L由点A到点B的方向就是s增大的方向。又设α，β依次为从x轴正向，y轴正向到曲线L的切线的正向的夹角,则
,
(cosα，cosβ也称为有向曲线L上点(x，y)处的切向量的方向余弦,切向量的指向与曲线L的方向一致）.因此，得
=
=
注1： 上式可推广到空间曲线的曲线积分上去,有

=
其中cosα，cosβ，cosγ 是L上点（x，y,z)处的切向量的方向余弦。
[例5］ 把第二型曲线积分化为第一型曲线积分,其中L:上从(0，0)到(1，1）的一段弧.
解: ,L的切向量T=｛1，}
= =
于是 =
=。
第三节 格林公式
格林（Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。下面我们来规定L的正向：设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时，区域D总在他的左边.若与L的正向相反，就称为负方向.记作–L。
定理1 设闭区域D由分段光滑的闭曲线L围成，函数,在D上具有一阶连续偏导数,则
= (1)
其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L的正方向。公式（1)称为格林公式。
证:（i)首先我们证明一个特殊情况：D既可表示为X—型区域,也可表示为Y-型区域.由D可表示为X型区域,不妨设
D={(x,y） : a≤x≤b， ≤y≤} (如图)

则 =
=
又 =+= +
=
因此有 =
同理，D可表示为Y—型区域，不难证明: =
将上面两式相加得=。
(ii）对于一般的区域D，即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X—型区域,也可表示为Y—型区域），则可以在D内引进若干条辅助线把D分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件。在每快小区域上分别运用Ｇreen公式，然后相加即成.

如图中D的边界曲线L,通过作辅助线AE将L分为L,L，同时将区域D分为D,D,它们都满足上述条件,于是
= , =
上面两式相加，并注意到=+ , =+, =。
又L=L+L， D= D+D， 于是 =。
注:在Ｇreen公式中,当， 时,有 =1–（–1）=2, 代入公式,得
= = (其中为的面积)
于是 . （2）
[例5] 计算椭圆 围成的面积。
解： 椭圆的参数方程为 ， ， 。
由式（2） ， 得 A=
==。
[例6] 求I= ， 其中L的为任一不含原点的闭区域D的边界.
解： ， 。 不难验证 ,
且P，Q在D上连续,故由Green公式，得
=
[例7] 计算 , 其中L是包围原点在内的区域D的正向边界曲线(如图）

解： , . 因, 在原点(0,0)处不连续，故不能直接利用格林公式。 选取充分小的半径〉0,在D内部作圆周: 。记与之间的区域为D， D的边界曲线为，这时D内不含原点， ， 在D上连续,应用格林公式. 由 ,
== =
其中的参数方程为： , ， 。
=.
第四节 平面曲线积分与路径无关的条件
从第二节的讨论,我们看到第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:中,当L的端点固定在(1，1)点和(4,2)点时，若L取不同的路径，所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而，存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关，只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A为起点,B为终点的曲线和,有=。
本段将讨论曲线积分在什么条件下,其值与路径无关。
首先，介绍单连通区域的概念：若对于平面开区域D内任一条封闭曲线L,均可以D以外的点而连续收缩于D中某一点，即L所围的点全属于D,那么就称D为单连通区域,通俗地说D是没有“洞”的区域。否则,称为复（多）连通区域。(如图).
定理： 设Ｇ是一个单连通的开区域，函数，在Ｇ内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的
1) 在D内恒成立;
2） 对G内任意闭曲线L成立；
3) 在G内与积分路径无关;
4) 存在可微函数，使得在G内恒成立.
证 1）2).
已知在G内恒成立,对G内任意闭曲线L，设其所包围的闭区域为D，由格林公式

2) 3）.

已知对G内任一条闭曲线L， . 对G内任意两点A和B,设和是G内从点A到点B的任意两条曲线(如图),则是G内一条封闭曲线，从而有
=+。
于是
即曲线积分与路径无关，其中L位于G内。
3） 4）.
已知起点为，终点为的曲线积分在区域G内与路径无关,故可记此积分为
.
当固定时，积分值仅取决于动点,因此上式是的函数，极为，即

下面证明在G内可微，且
由于都是连续函数，故只需证, .
不难证明 ==
== (详细过程见P157)
故的全微分存在,且.
4) 1).
已知存在一个函数,使得
从而 , ，
由于具有一阶连续偏导数，所以混合偏导数，连续,故=,即

［例8］ 证明 与路径无关。
证: =
与路径无关., ， , 在整个平面上连续,且,由定理,得 与路径无关。
[例9］ 讨论的原函数。
解： ， ， , 在整个平面上连续,且有， 即定理中的1）成立，所以4）成立.即为某个函数的全微分. 且 , 由于曲线积分与路径无关,可取先从点O（0,0)到点A（,0)的直线段OA: ，再沿从点A到点M的平行于轴的直线段AM,所以有

所求原函数为 （为任意常数）。
第五节 第一型曲面积分
一 第一型曲面积分的概念和性质
考虑这样一个实际问题：设某一物体占有空间曲面，其面密度函数为，求该物体的质量Ｍ.我们仍用以前惯用的方法,先分割为若干小块,再作和式:.最后取极限，得 M=其中 为各小块面直径的最大值.这就是曲面积分的思想。下面我们给出定义:
定义 设函数在曲面上有界,把分成n个小片，,…，，其中(i=1，2,…，n）也表示第i小片的面积，在上任取一点，作和式,若当此n个小曲面片的直径的最大值时,上述和式极限存在，且此极限值与的分法及点在上的取法无关,则称此极限值为函数在曲面上的第一型曲面积分或称为对面积的曲面积分,记作，即
= （1)
其中称为被积函数， 称为积分曲面.
注1： 同以前一样,今后总假定在曲面上连续.。
2: 由定义知, 物体的质量M=, 其中为面密度函数.
3: 对面积的曲面积分,同样具有被积函数的可加性与积分曲面的可加性,即
=+
=+
二 第一型曲面积分的计算法
设曲面的方程为,在平面上的投影区域为,在上具有连续的偏导数, 在上连续。下面来求.
由定义， = ，将往平面上投影,其投影区域为 =
利用二重积分的中值定理: , 得 =
又为上任一点，故不妨令， ，
=
=
事实上，由 也很快能得到上式.
[例1］ 设为圆锥面介于与之间得部分，求
解： ， ，
又在平面上的投影区域为

。
［例2] 是与围成的闭曲面.

解: 在面的投影区域为
=+
=+
=+
==
［例3] 是被 所截下的一块曲面.
解: 由于关于面对称，而是的奇函数, 故。从而原式=
在面的投影区域为 关于轴对称.
原式==
= （被积函数是关于的偶函数,且关于轴对称)
= （为对称区域的一半)
===。
第六节 第二型曲面积分
一 第二型曲面积分的概念和性质
首先介绍双侧曲面和有向曲面的概念.我们通常遇到的曲面都是双侧的，如果规定某侧为正侧,则另一侧为负侧.对简单闭曲面如球面有内侧和外侧之分;对曲面有上、下侧之分；曲面有左、右之分；曲面有前、后侧之分。在讨论第二型曲面积分时，我们需要选定曲面的侧.所谓侧的选定,就是曲面上每点的法线方向的选定。具体的说,对于简单闭曲面,如果它的法向量指向朝外，我们认定曲面为外侧;对曲面，如果它的法向量指向朝上,我们就认定曲面为上侧.因此我们称规定了侧的曲面为有向曲面。习惯上对简单闭曲面,规定外侧为正侧,内侧为负侧，对规定上侧为正侧，即法向量与轴正向夹角小于的一侧为正侧。类似地,对规定右侧为正侧;对规定前侧为正侧.
设为一有向曲面,在上取一小块曲面，将投影到平面上，得一投影区域。记投影区域得面积为。假设上各点得法向量与轴的夹角的余弦具有相同的符号。规定在平面上的投影为:
可见，总为正，可正可负.事实上,
定义： 设为光滑的有向曲面，函数在上有界.将分成若干个小块(也表示其面积），。 在面的投影为,又在上任取一点，如果当小曲面的直径的最大值时,极限存在,则称该极限值为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分,记作 ，即
=.
其中称为被积函数， 称为积分曲面.
类似地，我们可定义在有向曲面上对的曲面积分： ；在有向曲面上对的曲面积分: .即
=
=
注1: 前面我们所规定的的正侧时就而言的，对于,中的正侧，我们分别规定:前正后负，右正左负.事实上，是分别用与轴正向,正向夹角为锐角的法向量的指向为正侧。
2： 中的与中的不同.前者可正可负，是的象征,后者恒正,是的象征.
3: 一般地都假定,，在上都连续，使得积分存在.这时可定义:
为一般的第二型曲面积分或对坐标的曲面积分。其中左边的为指定的一侧,而右边的三个的正向视情况不同而依各自的规定设定,此条须特别注意。
［物理意义］ 某物体的速度从曲面的一侧;流向另一侧时的总流量为:

曲面积分的性质:
性质 ！：若曲面=+, 则
性质2:若表示的负侧曲面，则 。
二、第二型曲线积分的计算法
设积分曲面是由所决定的曲面的上侧， 在平面上的投影区域为.在上具有连续的一阶偏导数,被积函数在上连续.下面来求.
由定义知: =
又此处取上侧,故
=
=
转化为上面这个二重积分来计算。
若取下侧,则有 ， 故有
=.
同理， 若的方程为,则有
当取前侧时,右边取“+”，当取后侧时,右边取“―".其中为在平面上的投影区域.
若为,则有
其中为在平面上的投影区域. 当取右侧时，右边取“+",当取左侧时,右边取“―"。
[例1] 计算.其中由球面在部分的外侧。
解: 在面的投影为 : 又曲面为
由公式得， ==
[例3］ 求,其中由平面与三个坐标面所围成得四面体得表面。取其外侧。

解： 由可分为，，和四个小块（如图），它们的方程分别为： :,：，:，：.当取外侧时, 取下侧， 取后侧， 取左侧, 取正侧. 不难验证 ，同理 .下求上的积分。此时

=++
=++
==。
三、两类曲面积分之间的联系
设为有向曲面,方程为。在平面上的投影区域为,在上具有连续的一阶偏导数.在上连续.
若取上侧，则=.又当取上侧时， 上任一点处的法线向量的方向余弦为 ， ,
由公式，得 =
==。
即 =. 当取上侧时成立.又若取下侧，右端的也要改变符号。故此时,上式仍然成立.因此，不管取哪一侧，上式均成立。又由积分曲面的可加性，对任一有向曲面上式成立.同理，对于为任一有向曲面,下列等式也成立：
=
=
合起来，即得: .
这就是两类曲面积分的联系。其中,,为上任一点处的指向的侧的法线向量的方向余弦。
第七节 高斯公式与斯托克斯公式
一、 高斯公式
高斯（Gauss）公式表达的是空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这是格林公式的推广。
高斯（Gauss）公式： 设空间有界闭曲面V是由分片光滑的闭曲面所围成,函数,在V上具有连续偏导数,则有: =
其中左端的曲面积分是沿边界曲面的外侧.
证 先假定穿过V内部且平行于坐标轴的直线与有两个交点（如图),

设分成上、下两块和,和的方程分别为和，则由曲面积分的计算公式,有
=+
=
=
又由三重积分法，有
==
从而得
=
类似可证
=， =
把以上三式相加，即得高斯公式: =.
如果穿过V内部且平行于坐标轴的直线于边界曲面的交点为两个这一条不满足，那么我们可用添加辅助曲面的方法把V分成若干个满足这样条件的闭区域。由于沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消,因此对一般闭曲面V高斯公式也成立。
注1： 由上一节的内容,高斯公式也可以表示成:

=
注2： 利用三重积分计算曲面积分,利用二重积分计算曲线积分。
[例 1］ 计算 如图，取外侧.

解： ，,
由高斯公式，得 原式===
[例2] 计算 是介于与之间的曲面。取其外侧。

解： 由于不是封闭的曲面，故不能直接利用高斯公式。所以，加一个曲面,取其上侧。这样，就构成了一个封闭的曲面,设其围成的区域为V，在面的投影区域为。由图象中可以观察到V关于面对称.由两类曲面积分之间的关系及高斯公式,得

==
=
=++
由于V关于面对称，故=
从而 =
==.
定理: 设空间开区域G是一个单连通区域, ，在G内具有连续的一阶偏导数。下面三条命题等价: （1)若为G内的一个封闭曲面,则 =
(2)若为G内的一个曲面，曲面积分与无关，只与的边界曲线有关。
(3)在G内恒有： 。 (证明略)
二、 斯托克斯公式
斯托克斯(Stokes)公式介绍的是曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线L的曲线积分之间的联系
Stokes公式: 设L为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以L为边界的分片光滑的有向曲面。L的正向与的侧符合右手规则, ,在包含L的曲面上连续，且具有一阶连续的偏导数，则有:

=.
证: 先假定与平行与轴的直线相交不多于一点，并设为曲面的上侧， 的正向边界曲线L在面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为（如图）.

因在曲线C上点的值在曲线L上对应于点处的值一样，并且两曲线上对应小弧段在上投影也一样，因此有

再利用格林公式,并注意到,
因此有
因为有向曲面 的法向量的方向余弦为
, ,
故 . 将的表达式代入上面等式右端的二重积分,则得

从而得
如果取下侧,L也相应的改变方向,则上式两端同时改变符号，上式仍然成立.如果与平行于轴的直线的交点多于一个，那么可作辅助曲线把曲面分成几部分,使之满足条件，在各部分曲面上应用上述公式并相加,由于沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,所以对这样的曲面,上述公式也成立.
同理可证: ,
，
把上述三式相加即得Stokes公式：
=
注1: 为便于记忆，常把Stokes公式写成：
= =
定理： 设空间开区域G是单连通区域，函数,在G内具有一阶连续偏导数，则下列各命题是等价的。
1) ， , 在G内恒成立；
2） 对G内任意闭曲线L成立；
3） 在G内与路径无关;
4） 在G内存在可微函数, 使。
注: 不计一常数之差,可用下式求出(如图）

=
=++
［例3] 计算

取：的上侧，则由Stokes公式，得

法1：
则 上式=
==
=
法2: 由上图知,不是封闭曲面，则为利用高斯公式,则补充， 取下侧，,取其后侧,取其左侧.三个曲面与一起构成一个封闭的曲面,其所围成的区域为V。在面投影为则由高斯公式得，
上式=
=+++
====.
[例4] 计算.其中L为球在第一象限内的边界曲线。(如图）

取：的上侧，补充， 取下侧，,取其后侧，取其左侧，则由Stokes公式,得
=
=
=