第1章复变函数习题标准答案习题详解.doc

第一章习题详解
1． 求下列复数的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：
1)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
3)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
4)
解：
实部：
虚部：
共轭复数：
模：
辐角：
2． 当、等于什么实数时，等式成立？
解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

即、时，等式成立。
3． 证明虚数单位有这样的性质：
证明：

4． 证明
1)
证明：设，则

2)
证明：设，，则有：

3)
证明：设，，则有：

4)
证明：设，，则有：

5)
证明：设，则有

6)
证明：设，则

5． 对任何是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些值才成立？
解：设，则有：

故当，即是实数时，成立。
6． 当时，求的最大值，其中为正整数，为复数。
解：
即
的最大值是
7． 判定下列命题的真假：
1) 若为实常数，则；
解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。
2) 若为纯虚数，则；
解：真命题。设，则，显然。
3) ；
解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。
4) 零的幅角是零
解：假命题。复数的幅角是任意的，也是无意义的。
5) 仅存在一个数，使得；
解：假命题。有两个数，使成立。
6) ；
解：假命题。设有两个数，使不成立。
7)
解：真命题。
8． 将下列复数化为三角表示式和指数表示式：
1)
解：，

2)
解：，

3)
解：，

4)
解：

另：

另：

5)
解：
，

6)
解：

9． 将下列坐标公式写成复数的形式：
1) 平移公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

即：
2) 旋转公式：
解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：

10． 一个复数乘以，它的模与辐角有何改变？
解：设

即：一个复数乘以，它的模不变，辐角减小。
11． 证明：，并说明其几何意义。
证明：

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12． 证明下列各题：
1) 任何有理分式函数可以化为的形式，其中与为具有实系数的与的有理分式函数；
证明：设，则：
，
其中，，，，皆为关于的实系数多项式。

其中：，
为具有实系数的关于的有理分式函数。
2) 如果为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么；
证明：因为为具有实系数的有理分式函数，所以

其中：，
3) 如果复数是实系数方程的根，那么也是它的根。
证明：令
因为是方程的根，
又因为的系数为实数，
因此。即也是方程的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13． 如果，证明：
1)
证明：

2)
证明：

14． 求下列各式的值：
1)
解：

2)
解：

3)
解：

即：，，，，，
4)
解：

即：，，

15． 若,试求的值。
解：

16．
1) 求方程的所有根；
解：

即：，，
2) 求微分方程的一般解。
解：微分方程的特征方程为：。由前题得：，，
微分方程有三个线性无关的特解：，，
微分方程有三个线性实数特解：，，
一般解为：
17． 在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置：
解：
18． 已知两点与（或已知三点），问下列各点位于何处？
1) ；
解：位于与连线的中点。
2) ，其中为实数；
解：位于与连线上，其中。
3) 。
解：位于以,,为顶点的三角形的重心上。
19． 设三点适合条件，。证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
证明：（方法一）
,,位于以原点为圆心的单位圆上。
令，，
其中。 ，，

或
同理可得：或
分析：如果，，则；如果，，则与矛盾。。
同理。
是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
（方法二）
,,位于以原点为圆心的单位圆上。

同理：，。于是
是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
（方法三）
,,位于以原点为圆心的单位圆上。

是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
（方法四）
,,位于以原点为圆心的单位圆上。
设

而

同理，

即 同理 ，
是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
（方法五）
设，则是该方程的三个根。
而
，

所以是的三个根，即分别是复数的三次方根。又因为，所以均匀地分布在单位圆上，即是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。
（方法六）
如右图所示：

所以为等边三角形。同理可知为等边三角形，于是有：

同理 ，
，所以均匀地分布在单位圆上。命题得证。
20． 如果复数满足等式，证明，并说明这些等式的几何意义。
证明： 且
是等边三角形的充分必要条件是

因此，满足的点，，为顶点的三角形是等边三角形，必有

21． 指出下列各题中点的轨迹或所在范围，并作图：
1) ；
解：设，则
即是以为圆心，半径为6的圆周。
2) ；
解：设，则
即是以为圆心，半径为1的圆周及其外部。
3) ；
解：设，则
即是平行于y轴的通过的直线。
4) ；
解：设，则
即是平行于x轴的通过的直线。
5) ；
解：设，则
即是平行于x轴。
6) ；
解：设，则
即是以，为焦点，长的半轴为2，短半轴为的椭圆。
7) ；
解：设，则
即是过的平行于x轴的直线及其下半平面。
8) ；
解：设，则
即是去掉过的半平面。
9) ；
解：满足的图形是不包含实轴的上半平面。
10) 。
解：设，则
即是以为端点的射线，。
22． 描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：
1) ；
解：设，则，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。
2) ；
解：设，由得，表示以为圆心半径为的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。
3) ；
解：设，则，表示介于直线和之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。
4) ；
解：表示介于圆与之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。
5) ；
解：设，由，表示直线右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。
6) ；
解：表示由射线与所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。
7) ；
解：设，由，表示以为圆心半径为的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。
8) ；
解：表示以与为焦点长半轴短半轴的椭圆及其内部，是有界的单连通闭域。
9) ；
解：表示以与为焦点实半轴虚半轴的双曲线左边一支的左侧，是无界的单连通域。
10) 。
解：设，由，表示以点为圆心半径为的圆及其内部，是有界的单连通闭域。
23． 证明复平面上的直线方程可写成：，（为复常数，为实常数）。
证明：设点在直线上，则直线方程可写成：
又，

整理得：
令，则。因为不全为零，所以。
是复平面上的直线方程（为复常数，为实常数）。
24． 证明复平面上的圆周方程可写成：（其中为复常数，为实常数）。
证明：设点在圆上任意一点，点为圆心，半径为，则圆的方程为：

，。代入上式，得：。
整理得：
令，，
是复平面上的圆的方程（为复常数，为实常数）。
25． 将下列方程（为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：
1) ；
解：设，则
2) ，（为实常数）；
解： 设，则
3) ；
解：设，则
4) ；
解：设，则
5) ，（为实常数）；
解：设，则
6) ；
解：设，则
7) ，（为复数）。
解：设，则

26． 函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？
1) ；
解：设，，则
是w平面上的圆。
2) ；
解：设，，则
且是w平面上的直线。
3) ；
解：设，，则
是w平面上的圆。
4) 。
解：设，，则
是w平面上的直线。
27． 已知映射，求：
1) 点，，在平面上的象；
解：

2) 区域在平面上的象。
解：
28． 证明§6定理二与定理三。
定理二 如果，，那么
1) ；
2) ；
3)
证明：
1) ，，则
，使时，有
，使时，有
取，则当时，必有
成立。
故。
2) ，则及，使时，
，，，使时，有；
又，故存在，使时，有
取，则当时，必有

故。
3) ，则及，使时，
，，，使时，有

，使时，有
取，则当时，必有

故。
定理三 函数在处连续的充要条件是：和在点处连续。
证明：在处连续，，即

，
即和在点处连续。
29． 设函数在连续且，那么可找到的小邻域，在这邻域内。
证明：
函数在连续，即
可取，存在，使得当时，有

又

即存在的邻域，在这邻域内。
30． 设，证明在的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数，使在的某一去心邻域内有。
证明：，即，，当时，有，取，则有。
31． 设。试证当时的极限不存在。
证明：（方法一）
设，则

显然，当沿着不同的路径时，有不同的值，不存在。
（方法二）

令，则
于是，

沿着不同的路径时，的值不同，故不存在，于是不存在。
32． 试证在原点与负实轴上不连续。
证明：当时，不确定，所以在处不连续。
当点在负实轴上时，动点从上半平面趋于时，趋于；而动点从下半平面趋于时，趋于。故不存在，所以在负实轴上不连续。
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