几何代数试题参考答案.doc

01-02学年第二学期几何与代数期终试题解答一 (30%) 填空题:1. 设a = (1, 2), b = (1, -1), 则abT = -1; aTb = ; (aTb)100 = .2. 设矩阵A = , B = , 则行列式|AB-1| = -1/70.3. 若向量组a1, a2, a3线性无关, 则当参数k 1时, a1-a2, ka2-a3, a3-a1也线性无关. 4. 矩阵A =的伴随矩阵A*= . 5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G = E-(A+E)-1 (其中E表示单位矩阵), 则G-1 = E+A-1. 6. 与向量a = (1, 0, 1), b = (1, 1, 1)均正交的单位向量为. 7. 四点A(1, 1, 1), B(1, 1, x), C(2, 1, 1), D(2, y, 3)共面的充分必要条件是x = 1 或y = 1. 8. 设实二次型f(x1, x2, x3) = x12 + kx22 + 2x2x3 + x32, 则当k满足条件k 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是椭球面; 则当k满足条件k = 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是柱面. 二 (8%) 记p1为由曲线绕z-轴旋转所产生的旋转曲面, p2为以p1与平面p3:x + y + z = 1的交线为准线, 母线平行于z-轴的柱面. 试给出曲面p1及p2的方程, 并画出p1被p3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点). 解: p1的方程为z = x2 + y2 - 3. 联立, 消去z得p2的方程: x2 + y2 + x + y - 4 = 0. p2在xOy平面上的投影曲线的方程为.p1被p3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图如下面的右图所示:Oxy p1与p3 p1, p2, p3 所求的投影区域三 (8%) 求经过直线且与xOy平面垂直的平面方程. 解: (法一) 设所求的平面方程为(x+2y-z-2)+l(-x+y-2z-1) = 0, 即 (1-l)x+(2+l)y-(1+2l)z-(2+l) = 0因为它与xOy平面垂直, 所以其法向量(1-l), (2+l), (1+2l)与向量0, 0, 1垂直. 因而1+2l = 0, 即l = -1/2. 于是得所求平面的方程: , 化简得:x + y= 1. (法二) 直线的方向向量可取为 = -3, 3, 3.所求平面的法向量应垂直于-3, 3, 3和0, 0, 1, 因而可取为 = 3, 3, 0. 在直线上取一点(0, 1, 0), 由此可得所求平面的方程: 3x + 3(y-1) = 0. 化简得:x + y= 1. (法三) 所求平面为直线到xOy平面上的投影平面. 因而从中消去z, 得x + y= 1. 这就是所求平面的方程. 四 (12%) 求矩阵方程XA = 2X + B的解, 其中A = , B = . 解: (法一) 原方程可化为X(A-2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A-2E = . A-2E的行列式|A-2E| = -1, 伴随矩阵(A-2E)* = . 因而(A-2E)-1 = . 于是X = B(A-2E) -1 = = . (注意X未必等于(A-2E) -1B !) (法二) 原方程可化为X(A-2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A-2E = . 初等列变换 = = . 于是X = B(A-2E) -1 = . 五 (12%) 设线性方程组. 1. 问: 当参数p, q满足什么条件时, 方程组无解; 有唯一解; 有无穷多解? 2. 当方程组有无穷多解时, 求出其通解. 初等行变换解: A, b = = . 由此可见, 当参数p = -2 且q -1时, 秩(A) = 2, 而秩A, b = 3, 此时方程组无解; 当参数p -2时, 秩(A) = 4, 此时方程组有唯一解; 当参数p = -2 且q = -1时, 秩(A) = 秩A, b = 2, 此时方程组无穷多解, (-1) = 由此可得方程组的通解, 即=c1+c2+(c1, c2为任意数). 六 (12%) 设矩阵A = . 已知秩(A) = 2. 1. 求参数k的值; 2. 求一个42矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2; 3. 问是否存在秩大于2的矩阵M使得AM = O? 为什么? 初等行变换解: .因为秩(A) = 2, 所以参数k = 0. 此时可得齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系: x1 = , x2 = . 于是可取矩阵B =使得AB = O, 且秩(B) = 2. 由于任何一个满足AM = O的矩阵M的列向量组都可以由x1, x2线性表示, 所以这样的矩阵M的秩一定 2. 因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM = O. 七 (12%) 设实对称矩阵A = 与B = 相似. 1. 求参数k, l的值; 2. 求一正交阵Q, 使得QTAQ = B. 解: 1. 因为实对称矩阵A与B相似, 所以 -k = |A| = |B| = l且k = 迹(A) = 迹(B) = 2+l. 由此可得k = 1, l = -1. 2. |lE- A | = (l-1)2(l+1), 由(E- A)x = q可得A的对应于l = 1的两个特征向量x1 = 1, 0, 1T, x2 = 0, 1, 0T, 由(-E- A)x = q可得A的对应于l = -1的一个特征向量x3 = 1, 0, -1T, 令Q =, 则Q为正交阵且QTAQ = B. 八 (6%) 已知n阶方阵A相似于对角阵, 并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量. 证明: AB = BA. 证明: 因为n阶方阵A相似于对角阵, 所以A有n个线性无关的特征向量, 设为p1, p2, , pn,对应的特征值设为l1, l2, , ln. 又因为A的特征向量均是矩阵B的特征向量, 所以B也有n个线性无关的特征向量p1, p2, , pn, 对应的特征值设为t1, t2, , tn. (注意A与B的特征值未必相等!)令P = p1, p2, , pn, L = , T = . 则AP = PL, BP = PT, LT = TL. 于是AB = (PLP-1)(PTP-1) = PLTP-1 = PTLP-1 = (PTP-1)(PLP-1) = BA. 噼里啪啦地编辑着这份Word文档, 感觉自己在玩电子游戏(做PowerPoint课件时, 更是如此), 心情是快乐的. 但愿您也能分享到我的快乐!我也试图努力把它做得好看一些, 因为在我看来,出自我手中的东西都是我精心雕刻的艺术品, 尽管它还不够完美. 人们常说: 予人玫瑰, 手留余香. 我所喜欢的, 正是那淡淡的余香给我带来的晚风般的惬意02-03学年第二学期几何与代数期终试题解答一 填空题(每小题3分, 共36分):1. = ; 2. = ; 3. 若A是正交矩阵, 则行列式 |A3AT| = 1; 4. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3; 5. 点P(2, -1, 1)到直线l: 的距离为 1 ;6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 0 ; 7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B =, 则方阵A的特征多项式为(l-1)(l-3);8. 若3阶方阵A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 则A与对角阵相似(其中I是3阶单位矩阵); 9. 若A = 与对角阵相合, 则(x, y) = (1, -2).10. 设A = A1, A2, A3, A4, 其中列向量A1, A2, A4线性无关, A3 = 2A1 - A2 + A4, 则齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系是 x = 2, -1, -1, 1T; 11. 设A, B都是3阶方阵, AB = O, r(A) - r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = D ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;12. 设n阶矩阵A满足A2 = 2A, 则以下结论中未必成立的是 B . (A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I; (C) 若2不是A的特征值, 则A = O; (D) |A| = 0或A = 2I. (-1)二 计算题(每小题8分, 共24分)(-2)(-1)(-1)13. = = (-1)= = = = = 29. 14. 求直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程. 解: 过直线l且垂直于平面p的平面p1的法向量必垂直于向量2, 1, 2和1, 1, - 2, 因而可取为 = -4, 6, 1.又因为p1过直线l上的点(2, 1, -1), 由此可得平面p1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0 整理得4x -6 y - z - 3 = 0 于是可得直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: . 15. 设XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99. 解: 原方程可化为X(A-I) = AB, 其中I表示单位矩阵. A-I = , AB = . 初等列变换 = = .于是可得X = AB(A-I) -1 = , X2 = = , X 99 = (X 2)49X = = . (注意X未必等于(A-I) -1AB !)三 计算题, 解答题(3小题共32分). 16. 设向量组, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空间. 已知维(V) = 2, b V. (1) 求a, b; (2) 求V的一个基, 并求b在此基下的坐标; (3) 求V的一个标准正交基. 初等行变换解: (1) A = a1, a2, a3, b = . 因为维(V) = 2, b V. 所以a - 6 = b + 2 = 0, 即a = 6, b = - 2. (2) 由上述初等行变换的结果可知a1, a2构成V的一个基, 且b =3a1 - a2. (3) 令b1 = a1, b2 = a2 - = = , 再单位化得V的一个标准正交基 , . 17. 用正交变换化简二次曲面方程: x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1 求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 解: 二次型f(x1, x2, x3) = x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3的矩阵A = . A的特征多项式|lI -A | = = (l - 3)( l - 1)( l + 2). A的特征值l1 = 3, l2 = 1, l = -2. 由(liI -A)x = q求得A的对应于l1 = 3, l2 = 1, l = -2的特征值向量:, , . 它们已经两两正交, 单位化得, , . 令P = , 则PTP = I, 且P-1AP = PTAP = . 令x = Py, 则原二次曲面的方程化为3y12 + y22 - 2y32 = 1. 可见该二次曲面为单叶双曲面. Oyz218. 设D为由yOz平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z2 = 2, 围成的平面区域. 将D绕y轴旋转一周得旋转体W. (1) 画出平面区域D的图形; (2) 分别写出围成W的两块曲面S1, S2的方程; (3) 求S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程; (4) 画出S1, S2和l, C的图形. 解: (1) 平面区域D的图形如右图所示: Oyz2lS1CS2x(2) W由锥面S1: 和旋转抛物面S2: y = 2- x2 - z2围成. (3) 由和y = 2- x2 - z2消去y得x2 + z2 = 1. 由此可得S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程: (4) S1, S2和l, C的图形如右图所示:四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分). 19. 设h是线性方程组Ax = b的一个解, b q, x1, x2是导出组Ax = q的基础解系. 证明: h, x1+h, x2+h线性无关. 证明: 因为Ah = b q, 所以h不是线性方程组Ax = q的解. 而x1, x2是Ax = q的基础解系, 故h, x1, x2线性无关, 否则h能由x1, x2线性表示, 从而是线性方程组Ax = q的解, 矛盾! 假若k1h + k2(x1+h) + k3(x2+h) = q, 则(k1 + k2 + k3)h + k2x1 + k3x2 = q.于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0, 即k1 = k2 = k3 = 0. 所以h, x1+h, x2+h线性无关. 20. 设a是3维非零实列向量, |a| =. 又A = aaT. (1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值; (3) 问A是否与对角阵相似? (4) 求|I - A3|. 解: (1) 设a = a, b, cT q, 则A = aaT = O, 且秩(A) = 1. (2) 设b q是A的对应于特征值l的特征向量. 即aaTb = lb. 若aTb = 0, 则lb = aaTb = q, 而b q, 故l = 0. 此时, b是aTx = 0的解向量. 而秩(aT) = 1, 故aTx = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成. 即对应于l = 0, A有两个线性无关的特征向量, 若aTb 0, 则由aaTb = lb 可得aTaaTb = laTb. 从而l = aTa. 此时, 由于aaTa = la. 故可取b = a作为对应于l = aTa的特征向量. 综上所述, A的全部特征值有: l = 0和l = aTa = |a|2 = 4. (另解) 因为A2 = (aaT)(aaT) = a(aTa)aT = 4aaT = 4A, 所以A2-4A = O, 即l2 - 4l是A的零化多项式, 因而A的所有可能的特征值有: 0, 4. 注意到秩(A) = 1, 可见都是A的全部特征值有0(二重)和4.(3) 由(2)可见A有3个线性无关的特征向量, 所以A与对角阵相似. (另解) 因为实矩阵AT = (aaT)T = (aT)TaT = aaT = A, 所以A与对角阵相似. (4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P, 使P-1AP = . 因此|I - A3| = |P-1|I - A3|P| = |(P-1IP - P-1A3P)| = |I - (P-1AP)3| = = 1- 43. If you want something badly enoughYou must let it go freeIf it comes back to youIts yoursIf it doesntYou really never had it, anyway03-04学年第二学期几何与代数期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量, ,共面, 则参数a, b满足ab = 1. 2. 过点P(1, 2, 1)且包含x轴的平面方程为y - 2z = 0. 3. 已知矩阵A满足A2 + 2A - 3I = O, 其中I 表示单位矩阵, 则A的逆矩阵A-1 = . 4. 设矩阵A =, B =, 则行列式|A2B-1| = 1/70 . 5. 设向量组a1 = , a2 = , a3 = , 则当参数k =0时, a1, a2, a3线性相关. 6. 向量空间R2中向量h = (2, 3)在R2的基,与a = (1, 1) b = (0, 1)下的坐标为(2, 1). 7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: 它们是线性无关的; 其中的每个向量均与a = (1, 2, 1)正交; 凡与a正交的向量均可由它们线性表示. 8. 已知22矩阵A = , 若对任意的2维列向量h有hTAh = 0, 则a, b, c, d满足条件a = d = 0, b = -c. 二 (12%) 假设矩阵A, B满足A - B = AB, 其中A =, 求B.解: (法一) 由A - B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = . A+I的行列式|A+I| = 1, 伴随矩阵(A+I)* = . 因而(A+I)-1 = . 于是B = (A+I) -1A = = . (注意B未必等于A(A+I) -1 !) (法二) 由A - B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = . 初等行变换A+I, A = = I, (A+I) -1A 于是B = (A+I) -1A = . 三 (15%) 设向量a1 = (a, 2, 10)T, a2 = (-2, 1, 5)T, a3 = (-1, 2, 4)T, b = (2, b, c)T, 问当参数a, b, c满足什么条件时 1. b能用a1, a2, a3唯一线性表示?2. b不能用a1, a2, a3线性表示?3. b能用a1, a2, a3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时b用a1, a2, a3线性表示的一般表达式. 解: 令A = a3, a2, a1 = , (注: 这里把a3放在第一列纯粹是为了方便)初等行变换A, b = = 1. 当参数a -4时, 秩(A) = 3, 此时b能用a1, a2, a3唯一线性表示. 2. 当参数a = -4, 而b - c 4时, 秩(A) =2, 秩(A, b) = 3, 此时b不能用a1, a2, a3线性表示. 3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A) = 秩(A, b) = 2, 此时b能用a1, a2, a3线性表示, 但表示方法不唯一. 初等行变换这时 = 由此可得Ax = b的通解, 其中x3为自由未知量. 因而b用a1, a2, a3线性表示的一般表达式为b = ta1 + -2t + 2(b+1)/3a2 -2a3其中t为任意数. 四 (8%) 设实二次型f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2axy + 2ayz. 问: 实数a满足什么条件时, 方程f(x, y, z) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2axy + 2ayz的矩阵A = . A的顺序主子式a11 = 1 0; = 1 - a2; |A| = 1 - 2a2. f(x, y, z) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A正定, 当且仅当A的顺序主子式全为正数, 即a2 1, 其中I是n阶单位矩阵. 证明: 因为A是n阶正定矩阵, 所以A的特征值l1, l2, , ln都是正数. 于是存在可逆矩阵P, 使得P-1AP = L = . 因而|I+A| = |P-1|I+A|P| = |P-1(I+A)P| = |I+ P-1AP| = = (1+l1)(1+l2)(1+ln) 1. 生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。苦难的尽头将是：你不期而遇的幸福，不曾奢望的甘甜。摘自知音1999.5下半月版04-05学年第二学期几何与代数期终试题解答一 (24%)填空题:1. 以点A(1, 1, 2), B(-2, -1, 1), C(-1, 1, -1)为顶点的三角形的面积为; 2. 设3阶矩阵A = a1, a2, a3, B = a2+a3, a1-2a3, a1. 若A的行列式|A| = 3, 则B的行列式|B| = -6. 3. 若向量a = (1, 0, 1), b = (2, 1, -1), g = (-1, 1, k)共面, 则参数k = -4; 4. 若A为n阶方阵, 则方阵B =的逆矩阵B-1 = (其中I是n阶单位矩阵, O是n阶零矩阵); 5. 已知向量h = 是矩阵A = 的特征向量, 则参数a = 1 , 相应的特征值等于 3 ; 6. 假设矩阵A = , 则在实矩阵B = , C = , D = , E = , F = 中, 与A相抵的有B, C, D, F; 与A相似的有 F ; 与A相合的有B, C ;二 (8%) 计算行列式 按第3列展开(-1)= = = (1-x)2(1-x-x2). 三 (10%) 假设A = , B =, 求矩阵方程3X = B + XA的解. 解: 原方程可化为X(3I -A) = B, 其中I表示单位矩阵, 3I - A = , 初等列变换 = = . 于是可得X = B(3I - A) -1 = . (注意X未必等于(3I - A) -1B !) 四 (14%) 假设矩阵A = , q = , b = . 1. 已知齐次线性方程组Ax = q的基础解系中含有两个线性无关的解向量, 试确定这时参数l的值, 并求这时Ax = q的一个基础解系. 2. 若在非齐次线性方程组Ax = b的解集中存在两个线性无关的解向量, 但不存在更多的线性无关的解向量, 试确定这时参数l及a的值, 并求这时Ax = b的通解.初等行变换解: 1. A = . 因为齐次线性方程组Ax = q的基础解系中含有两个线性无关的解向量, 所以秩(A) = 1, 因而l = 1. 此时 = . 由此可得Ax = q的一个基础解系:, . 2. 若非齐次线性方程组Ax = b的解集中有两个线性无关的解向量, 但不存在更多的线性无关的解向量, 则Ax = q的基础解系中只有一个线性无关的解向量. 所以秩(A, b) = 秩(A) = 2. 此时l = -1.初等行变换A, b = .可见a = -2, Ax = b化为, 于是Ax = b的通解为:(c为任意数). 五 (10%) 已知直线l过点P(1, 1, 3), 与平面p : x + y - z = 1平行, 且与直线l: 相交. 求直线l的方向向量, 并写出直线l的方程. 解: 过点P(1, 1, 3)且与平面p : x + y - z = 1平行的平面方程为: (x-1) + (y-1) - (z-3) = 0, 即: x + y - z = -1. 把直线l的参数方程: x = t, y = 2t, z = t+1代入x + y - z = -1得t = 0. 故直线l与平面x + y - z = -1的交点为Q(0, 0, 1), 且点直线PQ平行于平面p. 因此直线l的方向向量可取为1-0, 1-0, 3-1 = 1, 1, 2. 直线l的方程为. 六 (10%) 假设二次曲面p1的方程为: x2 + 4y2 = 2z; 平面p2的方程为: x = z -1. 1. p1与p2的交线向xOy平面作投影所得的投影曲线l的方程为. . 该投影曲线绕x轴旋转所得的旋转曲面p的方程为(x-1)2 + 4y2 + 4z2 = 3. 2. 在坐标系(1)中画出投影曲线l的草图(请给坐标轴标上名称). 解: 投影曲线l的草图如(1)所示.3. 在坐标系(2)中画出p1与p2所围成的立体的草图(请给坐标轴标上名称). 解: p1与p2所围成的立体的草图如(2)所示.(1) 投影曲线l的草图(2) p1与p2所围成的立体的草图xOy1七 (14%)设二次型f(x1, x2, x3) = -x12 + 2x22 - x32 + 2kx1x3. 1. 试就参数k不同的取值范围, 讨论二次曲面f(x1, x2, x3) = 1的类型. 2. 假设k 0. 若经正交变换x = Qy, f(x1, x2, x3)可化成标准形2y12 + 2y22 - 4y32, 求参数k及一个合适的正交矩阵Q. 解: 1. 二次型f(x1, x2, x3) = -x12 + 2x22 - x32 + 2kx1x3的矩阵A = . A的特征多项式|lI -A | = = (l - 2)(l + 1 - k)(l + 1 + k). A的特征值l1 = 2, l2 = k - 1, l3 = -1 - k. k的取值k - 1k = - 1- 1 k 1l2 = k - 1 0 0 0l3 = -1 - k 0= 0 0 0 a. 于是P-1(A-aI)P =,其中, I是n阶单位矩阵, l1-a, l2-a, , ln -a 0. 所以A-aI是正定矩阵. 类似的, B-bI也是正定矩阵.因而对于任意的n维向量x, xT(A+B-(a+b)I)x = xT(A-aI)x + xT(B-bI)x 0.这就是说, A+B-(a+b)I也是正定矩阵. 因此其特征值都大于0. 下面设l是A+B的任意一个特征值, 则l-(a+b)是A+B-(a+b)I的特征值, 故l-(a+b) 0, 即l a+b. 公 益 宣 传 保护环境 节约资源 关爱弱者05-06学年第二学期几何与代数期终试题解答一 (24%)填空题:1. 过点P(1, 0, 1)且与直线垂直的平面的方程为2x + y + z - 3 = 0; 2. 设P = , Q = , A = , 则P5AQ5 =. 3. 直角坐标系中向量a = (1, 1, 2)与b = (1, 0, 1)的向量积为(1, 1, - 1); 4. 若33矩阵A的秩为2, a1, a2是线性方程组Ax = b的解向量, 并且a1 + a2 = (2, 2, 4)T, a1 - a2 = (0, 1, 1)T, 则Ax = b的通解是x = k(0, 1, 1)T + (1, 3/2, 5/2)T. 5. 设A是33矩阵, 若矩阵I + A, 2I - A, 2I - 3A均不可逆(其中I表示3阶单位矩阵), 则行列式|A| = - 4/3. 6. 若3是nn矩阵A的特征值, 行列式|A| = 2, 则A的伴随矩阵A*的一个特征值为 3/2.7. 若x2 + 2y2 + z2 + 2kxz = 1表示一单叶双曲面, 则k满足条件是k 1或 k 1), 则n阶方阵A = aaT 的行列式|A|的值为 0. 二 (12%) 设A = , B = , C = , 求A-1, B-1以及矩阵X, 使, 其中O表示相应的零矩阵. 初等行变换解: A, I, C = = I, A-1, A-1C, 初等行变换B, I = = I, B-1. 于是可得A-1 = , B-1 = , X = = = = .三 (12%) 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问: 参数l, m满足什么条件时, 向量组a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3也线性无关?解: 因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以秩(a1, a2, a3) = 3. 向量组a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3线性无关等价于秩(a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3) = 3.而(a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3) = (a1, a2, a3)P,