几何代数试题参考答案.doc

01-02学年第二学期
《几何与代数》期终试题解答
一 (30%) 填空题:
1. 设a = (1, 2), b = (1, -1), 则abT = -1; aTb = ; (aTb)100 = .
2. 设矩阵A = , B = , 则行列式|AB-1| = -1/70.
3. 若向量组a1, a2, a3线性无关, 则当参数k ¹1时, a1-a2, ka2-a3, a3-a1也线性无关.
4. 矩阵A =的伴随矩阵A*= .
5. 设矩阵A及A+E均可逆, 且G = E-(A+E)-1 (其中E表示单位矩阵), 则G-1 = E+A-1.
6. 与向量a = (1, 0, 1), b = (1, 1, 1)均正交的单位向量为.
7. 四点A(1, 1, 1), B(1, 1, x), C(2, 1, 1), D(2, y, 3)共面的充分必要条件是x = 1 或y = 1.
8. 设实二次型f(x1, x2, x3) = x12 + kx22 + 2x2x3 + x32, 则当k满足条件k > 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是椭球面; 则当k满足条件k = 1时, 为f(x1, x2, x3) =1是柱面.
二 (8%) 记p1为由曲线绕z-轴旋转所产生的旋转曲面, p2为以p1与平面p3:
x + y + z = 1的交线为准线, 母线平行于z-轴的柱面. 试给出曲面p1及p2的方程, 并画出p1被p3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点).
解: p1的方程为z = x2 + y2 - 3. 联立, 消去z得p2的方程: x2 + y2 + x + y - 4 = 0.
p2在xOy平面上的投影曲线的方程为.
p1被p3所截有界部分在xOy平面上的投影区域的草图如下面的右图所示:
O
x
y

p1与p3 p1, p2, p3 所求的投影区域
三 (8%) 求经过直线且与xOy平面垂直的平面方程.
解: (法一) 设所求的平面方程为(x+2y-z-2)+l(-x+y-2z-1) = 0, 即
(1-l)x+(2+l)y-(1+2l)z-(2+l) = 0
因为它与xOy平面垂直, 所以其法向量{(1-l), (2+l), (1+2l)}与向量{0, 0, 1}垂直.
因而1+2l = 0, 即l = -1/2. 于是得所求平面的方程: , 化简得:
x + y= 1.
(法二) 直线的方向向量可取为 = {-3, 3, 3}.
所求平面的法向量应垂直于{-3, 3, 3}和{0, 0, 1}, 因而可取为
= {3, 3, 0}.
在直线上取一点(0, 1, 0), 由此可得所求平面的方程: 3x + 3(y-1) = 0. 化简得:
x + y= 1.
(法三) 所求平面为直线到xOy平面上的投影平面. 因而从中消去z, 得x + y= 1. 这就是所求平面的方程.
四 (12%) 求矩阵方程XA = 2X + B的解, 其中A = , B = .
解: (法一) 原方程可化为X(A-2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A-2E = .
A-2E的行列式|A-2E| = -1, 伴随矩阵(A-2E)* = .
因而(A-2E)-1 = .
于是X = B(A-2E) -1 = = .
(注意X未必等于(A-2E) -1B !)
(法二) 原方程可化为X(A-2E) = B, 其中E表示单位矩阵. A-2E = .
初等列变换
= = .
于是X = B(A-2E) -1 = .
五 (12%) 设线性方程组.
1. 问: 当参数p, q满足什么条件时, 方程组无解; 有唯一解; 有无穷多解?
2. 当方程组有无穷多解时, 求出其通解.
初等行变换
解: [A, b] = = .
由此可见, 当参数p = -2 且q ¹ -1时, 秩(A) = 2, 而秩[A, b] = 3, 此时方程组无解;
当参数p ¹ -2时, 秩(A) = 4, 此时方程组有唯一解;
当参数p = -2 且q = -1时, 秩(A) = 秩[A, b] = 2, 此时方程组无穷多解,
´(-1)
=
由此可得方程组的通解,
即=c1+c2+(c1, c2为任意数).
六 (12%) 设矩阵A = . 已知秩(A) = 2.
1. 求参数k的值;
2. 求一个4´2矩阵B, 使得AB = O, 且秩(B) = 2;
3. 问是否存在秩大于2的矩阵M使得AM = O? 为什么?
初等行变换
解: .
因为秩(A) = 2, 所以参数k = 0. 此时可得齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系:
x1 = , x2 = .
于是可取矩阵B =使得AB = O, 且秩(B) = 2.
由于任何一个满足AM = O的矩阵M的列向量组都可以由x1, x2线性表示, 所以这样的矩阵M的秩一定£ 2. 因而不存在秩大于2的矩阵M使得AM = O.
七 (12%) 设实对称矩阵A = 与B = 相似.
1. 求参数k, l的值;
2. 求一正交阵Q, 使得QTAQ = B.
解: 1. 因为实对称矩阵A与B相似, 所以 -k = |A| = |B| = l且k = 迹(A) = 迹(B) = 2+l.
由此可得k = 1, l = -1.
2. |lE- A | == (l-1)2(l+1),
由(E- A)x = q可得A的对应于l = 1的两个特征向量x1 = [1, 0, 1]T, x2 = [0, 1, 0]T,
由(-E- A)x = q可得A的对应于l = -1的一个特征向量x3 = [1, 0, -1]T,
令Q =, 则Q为正交阵且QTAQ = B.
八 (6%) 已知n阶方阵A相似于对角阵, 并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量.
证明: AB = BA.
证明: 因为n阶方阵A相似于对角阵, 所以A有n个线性无关的特征向量, 设为p1, p2, …, pn,
对应的特征值设为l1, l2, …, ln.
又因为A的特征向量均是矩阵B的特征向量, 所以B也有n个线性无关的特征向量
p1, p2, …, pn, 对应的特征值设为t1, t2, …, tn. (注意A与B的特征值未必相等!)
令P = [p1, p2, …, pn], L = , T = .
则AP = PL, BP = PT, LT = TL.
于是AB = (PLP-1)(PTP-1) = PLTP-1 = PTLP-1 = (PTP-1)(PLP-1) = BA.

噼里啪啦地编辑着这份Word文档,
感觉自己在玩电子游戏(做PowerPoint课件时, 更是如此),
心情是快乐的.
但愿您也能分享到我的快乐!~~~

我也试图努力把它做得好看一些,
因为在我看来,
出自我手中的东西都是我精心雕刻的艺术品,
尽管它还不够完美.

人们常说: 予人玫瑰, 手留余香.
我所喜欢的,
正是那淡淡的余香给我带来的晚风般的惬意……

02-03学年第二学期
《几何与代数》期终试题解答
一 填空题(每小题3分, 共36分):
1. = ;
2. = ;
3. 若A是正交矩阵, 则行列式 |A3AT| = 1;
4. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3;
5. 点P(2, -1, 1)到直线l: 的距离为 1 ;
6. 若4阶方阵A的秩为2, 则伴随矩阵A*的秩为 0 ;
7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B =, 则方阵A的特征多项式为(l-1)(l-3);
8. 若3阶方阵A使I-A, 2I-A, A+3I都不可逆, 则A与对角阵相似(其中I是3阶单位矩阵);
9. 若A = 与对角阵相合, 则(x, y) = (1, -2).
10. 设A = [A1, A2, A3, A4], 其中列向量A1, A2, A4线性无关, A3 = 2A1 - A2 + A4, 则齐次线性方程组Ax = q的一个基础解系是 x = [2, -1, -1, 1]T;
11. 设A, B都是3阶方阵, AB = O, r(A) - r(B) = 2, 则r(A) + r(B) = D ;
(A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;
12. 设n阶矩阵A满足A2 = 2A, 则以下结论中未必成立的是 B .
(A) A-I可逆, 且(A-I)-1 = A-I; (B) A = O或A = 2I;
(C) 若2不是A的特征值, 则A = O; (D) |A| = 0或A = 2I.
´(-1)
二 计算题(每小题8分, 共24分)
´(-2)
´(-1)
´(-1)
13. = =
´(-1)
= = = = = 29.
14. 求直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程.
解: 过直线l且垂直于平面p的平面p1的法向量必垂直于向量{2, 1, 2}和{1, 1, - 2},
因而可取为 = {-4, 6, 1}.
又因为p1过直线l上的点(2, 1, -1), 由此可得平面p1的点法式方程
-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0
整理得
4x -6 y - z - 3 = 0
于是可得直线l: 在平面p : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: .
15. 设XA = AB + X, 其中A = , B =求X 99.
解: 原方程可化为X(A-I) = AB, 其中I表示单位矩阵.
A-I = , AB = .
初等列变换
= = .
于是可得X = AB(A-I) -1 = , X2 = = ,
X 99 = (X 2)49X = = .
(注意X未必等于(A-I) -1AB !)
三 计算题, 解答题(3小题共32分).
16. 设向量组, , , . V = L(a1, a2, a3)是由a1, a2, a3生成的空间. 已知维(V) = 2, b Î V.
(1) 求a, b; (2) 求V的一个基, 并求b在此基下的坐标; (3) 求V的一个标准正交基.
初等行变换
解: (1) A = [a1, a2, a3, b] = .
因为维(V) = 2, b Î V. 所以a - 6 = b + 2 = 0, 即a = 6, b = - 2.
(2) 由上述初等行变换的结果可知a1, a2构成V的一个基, 且b =3a1 - a2.
(3) 令b1 = a1, b2 = a2 - = = ,
再单位化得V的一个标准正交基
, .
17. 用正交变换化简二次曲面方程:
x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3 = 1
求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型.
解: 二次型f(x1, x2, x3) = x12 + x22 - 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3的矩阵A = .
A的特征多项式|lI -A | = = (l - 3)( l - 1)( l + 2).
A的特征值l1 = 3, l2 = 1, l = -2.
由(liI -A)x = q求得A的对应于l1 = 3, l2 = 1, l = -2的特征值向量:
, , .
它们已经两两正交, 单位化得, , .
令P = , 则PTP = I, 且P-1AP = PTAP = .
令x = Py, 则原二次曲面的方程化为3y12 + y22 - 2y32 = 1.
可见该二次曲面为单叶双曲面.

O
y
z
2
18. 设D为由yOz平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y ³ 0)及抛物线y + z2 = 2, 围成的平面区域. 将D绕y轴旋转一周得旋转体W.
(1) 画出平面区域D的图形;
(2) 分别写出围成W的两块曲面S1, S2的方程;
(3) 求S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线C的方程;
(4) 画出S1, S2和l, C的图形.
解: (1) 平面区域D的图形如右图所示:
O
y
z
2
l
S1
C
S2
x
(2) W由锥面S1: 和旋转抛物面S2: y = 2- x2 - z2围成.
(3) 由和y = 2- x2 - z2消去y得x2 + z2 = 1.
由此可得S1, S2的交线l在zOx平面上的投影曲线
C的方程:
(4) S1, S2和l, C的图形如右图所示:

四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分).
19. 设h是线性方程组Ax = b的一个解, b ¹ q, x1, x2是导出组Ax = q的基础解系. 证明: h, x1+h, x2+h线性无关.
证明: 因为Ah = b ¹ q, 所以h不是线性方程组Ax = q的解.
而x1, x2是Ax = q的基础解系, 故h, x1, x2线性无关, 否则h能由x1, x2线性表示, 从而是线性方程组Ax = q的解, 矛盾!
假若k1h + k2(x1+h) + k3(x2+h) = q, 则(k1 + k2 + k3)h + k2x1 + k3x2 = q.
于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0, 即k1 = k2 = k3 = 0.
所以h, x1+h, x2+h线性无关.

20. 设a是3维非零实列向量, ||a|| =. 又A = aaT.
(1) 求A的秩; (2) 求A的全部特征值;
(3) 问A是否与对角阵相似? (4) 求|I - A3|.
解: (1) 设a = [a, b, c]T ¹ q, 则A = aaT = ¹ O, 且秩(A) = 1.
(2) 设b ¹ q是A的对应于特征值l的特征向量. 即aaTb = lb.
若aTb = 0, 则lb = aaTb = q, 而b ¹ q, 故l = 0.
此时, b是aTx = 0的解向量. 而秩(aT) = 1,
故aTx = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成.
即对应于l = 0, A有两个线性无关的特征向量,
若aTb ¹ 0, 则由aaTb = lb 可得aTaaTb = laTb. 从而l = aTa.
此时, 由于aaTa = la. 故可取b = a作为对应于l = aTa的特征向量.
综上所述, A的全部特征值有: l = 0和l = aTa = ||a||2 = 4.
(另解) 因为A2 = (aaT)(aaT) = a(aTa)aT = 4aaT = 4A,
所以A2-4A = O, 即l2 - 4l是A的零化多项式,
因而A的所有可能的特征值有: 0, 4.
注意到秩(A) = 1, 可见都是A的全部特征值有0(二重)和4.
(3) 由(2)可见A有3个线性无关的特征向量, 所以A与对角阵相似.
(另解) 因为实矩阵AT = (aaT)T = (aT)TaT = aaT = A, 所以A与对角阵相似.
(4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P, 使P-1AP = .
因此|I - A3| = |P-1||I - A3||P| = |(P-1IP - P-1A3P)| = |I - (P-1AP)3|
= = 1- 43.
If you want something badly enough
You must let it go free
If it comes back to you
It’s yours
If it doesn’t
You really never had it, anyway

03-04学年第二学期
《几何与代数》期终试题解答
一 (24%) 填空题:
1. 若向量, ,共面, 则参数a, b满足ab = 1.
2. 过点P(1, 2, 1)且包含x轴的平面方程为y - 2z = 0.
3. 已知矩阵A满足A2 + 2A - 3I = O, 其中I 表示单位矩阵, 则A的逆矩阵A-1 =
.
4. 设矩阵A =, B =, 则行列式|A2B-1| = 1/70 .
5. 设向量组a1 = , a2 = , a3 = , 则当参数k =0时, a1, a2, a3线性相关.
6. 向量空间R2中向量h = (2, 3)在R2的基,与a = (1, 1) b = (0, 1)下的坐标为(2, 1).
7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与a = (1, 2, 1)正交; ③凡与a正交的向量均可由它们线性表示.
8. 已知2×2矩阵A = , 若对任意的2维列向量h有hTAh = 0, 则a, b, c, d满足条件
a = d = 0, b = -c.
二 (12%) 假设矩阵A, B满足A - B = AB, 其中A =, 求B.
解: (法一) 由A - B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = .
A+I的行列式|A+I| = 1, 伴随矩阵(A+I)* = . 因而(A+I)-1 = .
于是B = (A+I) -1A = = .
(注意B未必等于A(A+I) -1 !)
(法二) 由A - B = AB得 (A+I)B = A, 其中I表示单位矩阵. A+I = .
初等行变换
[A+I, A] = = [I, (A+I) -1A]
于是B = (A+I) -1A = .
三 (15%) 设向量a1 = (a, 2, 10)T, a2 = (-2, 1, 5)T, a3 = (-1, 2, 4)T, b = (2, b, c)T, 问当参数a, b, c满足什么条件时
1. b能用a1, a2, a3唯一线性表示?
2. b不能用a1, a2, a3线性表示?
3. b能用a1, a2, a3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时b用a1, a2, a3线性表示的一般表达式.
解: 令A = [a3, a2, a1] = , (注: 这里把a3放在第一列纯粹是为了方便)
初等行变换
[A, b] = =
1. 当参数a ¹ -4时, 秩(A) = 3, 此时b能用a1, a2, a3唯一线性表示.
2. 当参数a = -4, 而b - c ¹ 4时, 秩(A) =2, 秩(A, b) = 3, 此时b不能用a1, a2, a3线性表示.
3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A) = 秩(A, b) = 2, 此时b能用a1, a2, a3线性表示, 但表示方法不唯一.
初等行变换
这时 =
由此可得Ax = b的通解, 其中x3为自由未知量.
因而b用a1, a2, a3线性表示的一般表达式为
b = ta1 + [-2t + 2(b+1)/3]a2 -2a3
其中t为任意数.
四 (8%) 设实二次型f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2axy + 2ayz. 问: 实数a满足什么条件时, 方程f(x, y, z) = 1表示直角坐标系中的椭球面?
解: 实二次型f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2axy + 2ayz的矩阵A = .
A的顺序主子式a11 = 1 > 0; = 1 - a2; |A| = 1 - 2a2.
f(x, y, z) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A正定, 当且仅当A的顺序主子式全为正数, 即a2 < 1/2.
五 (12%) 设3阶方阵A的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA3 - 4aA + I.
1. 求参数a的值, 使得矩阵B不可逆.
2. 问矩阵B是否相似于对角阵? 请说明你的理由.
解: 1. 因为3阶方阵A有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P, 使得
P-1AP = .
于是P-1BP = P-1(aA3 - 4aA + I)P = a(P-1AP)3 - 4a(P-1AP) + I = .
因而矩阵B不可逆当且仅当|B| = 0, 而|B| = |P-1BP| = 1 -3a.
所以当a = 1/3时, 矩阵B不可逆.
2. 由1可知矩阵B相似于对角阵.
六 (12%) 已知二次曲面S1的方程为z = 3x2 + y2, S2的方程为z = 1 - x2.
1. 问: S1与S2分别属于哪一类二次曲面?
x
y
z
1
O
2. 求S1与S2的交线在xOy平面上的投影曲线方程;
3. 画出由S1与S2所围成的立体的草图.
解: 1. S1与S2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.
2. 由z = 3x2 + y2和z = 1 - x2消去z得S1与S2的交线
在xOy平面上的投影曲线方程:

3. 由S1与S2所围成的立体的草图如右图所示:
七 (10%) 设3×3实对称矩阵A的秩为2, 并且AB = C, 其中B = 与C =.
求A的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A及A9999.
解: 因为A是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A| = 0, 因而有一个特征值为0.
又因为AB = C, 其中B = 与C =, 令p1 = , p2 = ,
则Ap1 = -p1, Ap2 = p2, 可见p1, p2分别是A的对应于l = -1和l = 1的特征向量.
由于A是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p1, p2正交,
由此可得对应于特征值0的一个特征向量p3 = .
令P = [p1, p2, p3], 则P-1AP = L = .
故A = PLP-1 = = .
A9999 = (PLP-1)9999 = PL9999P-1 = PLP-1 = A = .
八 (7%) 证明题:
1. 设h1, h2, …, ht是齐次线性方程组Ax = q的线性无关的解向量, b不是其解向量.
证明: b, b+h1, b+h2, …, b+ht也线性无关.
证明: 因为h1, h2, …, ht是齐次线性方程组Ax = q的线性无关的解向量, b不是其解向量.
所以b, h1, h2, …, ht线性无关, 否则b能由h1, h2, …, ht线性表示, 从而是线性方程组Ax = q的解, 矛盾!
假若k1b + k2(b+h1) + k3(b+h2) + … + kt+1(b+ht)= q,
则(k1 + k2 + k3 + … + kt+1)b + k2h1 + k3h2 + … + kt+1ht = q.
于是(k1 + k2 + k3 + … + kt+1) = k2 = k3 = … = kt+1 = 0,
即k1 = k2 = k3 = … = kt+1 = 0.
所以b, b+h1, b+h2, …, b+ht线性无关.

2. 设A是n阶正定矩阵, 证明: |I+A| > 1, 其中I是n阶单位矩阵.
证明: 因为A是n阶正定矩阵, 所以A的特征值l1, l2, …, ln都是正数.
于是存在可逆矩阵P, 使得P-1AP = L = .
因而|I+A| = |P-1||I+A||P| = |P-1(I+A)P| = |I+ P-1AP| =
= (1+l1)(1+l2)…(1+ln) > 1.

生活的辩证法就是这样：
当苦难压来时，
只有具备善良的愿望，坚定信念的人；
只有不计回报，只求奉献的人；
只有坚强不屈，不折不挠的人，
才有希望趟过苦难，收获甘甜。
苦难的尽头将是：
你不期而遇的幸福，
不曾奢望的甘甜。
——摘自《知音》1999.5下半月版

04-05学年第二学期
《几何与代数》期终试题解答
一 (24%)填空题:
1. 以点A(1, 1, 2), B(-2, -1, 1), C(-1, 1, -1)为顶点的三角形的面积为;
2. 设3阶矩阵A = [a1, a2, a3], B = [a2+a3, a1-2a3, a1]. 若A的行列式|A| = 3, 则B的行列式|B| = -6.
3. 若向量a = (1, 0, 1), b = (2, 1, -1), g = (-1, 1, k)共面, 则参数k = -4;
4. 若A为n阶方阵, 则方阵B =的逆矩阵B-1 = (其中I是n阶单位矩阵, O是n阶零矩阵);
5. 已知向量h = 是矩阵A = 的特征向量, 则参数a = 1 , 相应的特征值等于 3 ;
6. 假设矩阵A = , 则在实矩阵B = , C = , D = , E = , F = 中, 与A相抵的有B, C, D, F; 与A相似的有 F ; 与A相合的有B, C ;
二 (8%) 计算行列式
按第3列展开
´(-1)
=

= = (1-x)2(1-x-x2).
三 (10%) 假设A = , B =, 求矩阵方程3X = B + XA的解.
解: 原方程可化为X(3I -A) = B, 其中I表示单位矩阵, 3I - A = ,
初等列变换
= = .
于是可得X = B(3I - A) -1 = . (注意X未必等于(3I - A) -1B !)
四 (14%) 假设矩阵A = , q = , b = .
1. 已知齐次线性方程组Ax = q的基础解系中含有两个线性无关的解向量, 试确定这时参数l的值, 并求这时Ax = q的一个基础解系.
2. 若在非齐次线性方程组Ax = b的解集中存在两个线性无关的解向量, 但不存在更多的线性无关的解向量, 试确定这时参数l及a的值, 并求这时Ax = b的通解.
初等行变换
解: 1. A = .
因为齐次线性方程组Ax = q的基础解系中含有两个线性无关的解向量,
所以秩(A) = 1, 因而l = 1. 此时 = .
由此可得Ax = q的一个基础解系:
, .
2. 若非齐次线性方程组Ax = b的解集中有两个线性无关的解向量, 但不存在更多的线性无关的解向量, 则Ax = q的基础解系中只有一个线性无关的解向量.
所以秩(A, b) = 秩(A) = 2. 此时l = -1.
初等行变换
[A, b] = .
可见a = -2, Ax = b化为, 于是Ax = b的通解为:
(c为任意数).
五 (10%) 已知直线l过点P(1, 1, 3), 与平面p : x + y - z = 1平行, 且与直线l:
相交. 求直线l的方向向量, 并写出直线l的方程.
解: 过点P(1, 1, 3)且与平面p : x + y - z = 1平行的平面方程为: (x-1) + (y-1) - (z-3) = 0,
即: x + y - z = -1.
把直线l的参数方程: x = t, y = 2t, z = t+1代入x + y - z = -1得t = 0.
故直线l与平面x + y - z = -1的交点为Q(0, 0, 1), 且点直线PQ平行于平面p.
因此直线l的方向向量可取为{1-0, 1-0, 3-1} = {1, 1, 2}.
直线l的方程为.
六 (10%) 假设二次曲面p1的方程为: x2 + 4y2 = 2z; 平面p2的方程为: x = z -1.
1. p1与p2的交线向xOy平面作投影所得的投影曲线l的方程为. .
该投影曲线绕x轴旋转所得的旋转曲面p的方程为(x-1)2 + 4y2 + 4z2 = 3.
2. 在坐标系(1)中画出投影曲线l的草图(请给坐标轴标上名称).
解: 投影曲线l的草图如(1)所示.
3. 在坐标系(2)中画出p1与p2所围成的立体的草图
(请给坐标轴标上名称).
解: p1与p2所围成的立体的草图如(2)所示.
(1) 投影曲线l的草图
(2) p1与p2所围成的立体的草图
x
O
y

1

七 (14%)设二次型f(x1, x2, x3) = -x12 + 2x22 - x32 + 2kx1x3.
1. 试就参数k不同的取值范围, 讨论二次曲面f(x1, x2, x3) = 1的类型.
2. 假设k > 0. 若经正交变换x = Qy, f(x1, x2, x3)可化成标准形2y12 + 2y22 - 4y32, 求参数k及一个合适的正交矩阵Q.
解: 1. 二次型f(x1, x2, x3) = -x12 + 2x22 - x32 + 2kx1x3的矩阵A = .
A的特征多项式|lI -A | = = (l - 2)(l + 1 - k)(l + 1 + k).
A的特征值l1 = 2, l2 = k - 1, l3 = -1 - k.
k的取值
k < - 1
k = - 1
- 1< k < 1
k = 1
k > 1
l2 = k - 1
< 0
< 0
< 0
= 0
> 0
l3 = -1 - k
> 0
= 0
< 0
< 0
< 0
f(x1, x2, x3) = 1的类型
单叶双曲面
双曲柱面
双叶双曲面
双曲柱面
单叶双曲面
2. 若经正交变换X = QY, f(x1, x2, x3) 可化成标准形2y12 + 2y22 - 4y32.
则A的特征值l1 = 2, l2 = k - 1 = 2, l3 = -1 - k = - 4. 即k = 3.
此时由(liI -A)x = q求得A的分别对应于l1 = l2 = 2和l3 = -4的特征值向量
, 和.
它们已经两两正交, 单位化得, , .
令Q = , x = Qy, 则f(x1, x2, x3)可化成标准形2y12 + 2y22 - 4y32.
四 (10%)证明题.
1. 假设n维向量b1 = aa1 + ba2, b2 = ca1 + da2. 若b1, b2线性无关. 证明: a1, a2线性无关, 且行列式.
证明: 令A = [a1, a2], B = [b1, b2], C =, 则B = AC.
所以秩(B) £ 秩(A)} £ 2, 秩(B) £ 秩(C)} £ 2.
若b1, b2线性无关, 则秩(B) = 2. 因而秩(A) =秩(C) = 2.
所以a1, a2线性无关, 且行列式.
2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且, A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: 由假设条件可知, 存在n阶可逆矩阵P, 使得
P-1AP = ,
其中, l1, l2, …, ln > a. 于是
P-1(A-aI)P =,
其中, I是n阶单位矩阵, l1-a, l2-a, …, ln -a > 0.
所以A-aI是正定矩阵. 类似的, B-bI也是正定矩阵.
因而对于任意的n维向量x,
xT(A+B-(a+b)I)x = xT(A-aI)x + xT(B-bI)x > 0.
这就是说, A+B-(a+b)I也是正定矩阵. 因此其特征值都大于0.
下面设l是A+B的任意一个特征值, 则l-(a+b)是A+B-(a+b)I的特征值,
故l-(a+b) > 0, 即l > a+b.

公 益 宣 传

保护环境 节约资源 关爱弱者
05-06学年第二学期
《几何与代数》期终试题解答
一 (24%)填空题:
1. 过点P(1, 0, 1)且与直线垂直的平面的方程为2x + y + z - 3 = 0;
2. 设P = , Q = , A = , 则P5AQ5 =.
3. 直角坐标系中向量a = (1, 1, 2)与b = (1, 0, 1)的向量积为(1, 1, - 1);
4. 若3´3矩阵A的秩为2, a1, a2是线性方程组Ax = b的解向量, 并且a1 + a2 = (2, 2, 4)T,
a1 - a2 = (0, 1, 1)T, 则Ax = b的通解是x = k(0, 1, 1)T + (1, 3/2, 5/2)T.
5. 设A是3´3矩阵, 若矩阵I + A, 2I - A, 2I - 3A均不可逆(其中I表示3阶单位矩阵), 则行列式|A| = - 4/3.
6. 若3是n´n矩阵A的特征值, 行列式|A| = 2, 则A的伴随矩阵A*的一个特征值为 3/2.
7. 若x2 + 2y2 + z2 + 2kxz = 1表示一单叶双曲面, 则k满足条件是k > 1或 k < - 1.
8. 设a是n维列向量(n > 1), 则n阶方阵A = aaT 的行列式|A|的值为 0.
二 (12%) 设A = , B = , C = , 求A-1, B-1以及矩阵X, 使
, 其中O表示相应的零矩阵.
初等行变换
解: [A, I, C] =
= [I, A-1, A-1C],
初等行变换
[B, I] = = [I, B-1].
于是可得A-1 = , B-1 = ,
X = = = = .
三 (12%) 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问: 参数l, m满足什么条件时, 向量组a1 + la2,
a2 + ma3, a1 + a3也线性无关?
解: 因为向量组a1, a2, a3线性无关, 所以秩(a1, a2, a3) = 3.
向量组a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3线性无关等价于秩(a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3) = 3.
而(a1 + la2, a2 + ma3, a1 + a3) = (a1, a2, a3)P,